陳元千，徐佳倩，2，傅禮兵

（1.中國石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083；2.中國石油大學（北京）石油工程學院，北京 102249）

非常規(guī)頁巖氣藏由超致密的基質和次生裂縫組成。頁巖氣分別以吸附狀態(tài)和自由狀態(tài)儲存于這兩種介質中。頁巖氣的產量及其遞減的快慢除與基質的吸附氣含量和次生裂縫發(fā)育程度有關外，還與水平井的鉆井、完井和壓裂效果有關。頁巖氣井的開采表現為定容、封閉、消耗式和投產即進入遞減的特點。因此，利用線性遞減模型［1-2］、廣義遞減模型［3］和冪函數遞減模型［4］預測頁巖氣井產量和可采儲量均取得了較好效果。為此，基于廣義單峰周期預測模型［5］，建立預測頁巖氣井產量和可采儲量的泛指數遞減模型，并介紹該模型的派生、無因次產量曲線和模型的求解方法。

1 泛指數遞減模型的建立

在廣義翁氏模型［6］、威布爾模型［7］、陳-郝模型［5］和瑞利模型［8］的基礎上，陳元千等建立了廣義單峰周期預測模型［5］，其中產量、峰值產量、峰值出現時間和可采儲量計算式分別為：

由（1）式—（4）式可以看出，廣義單峰周期預測模型有a，b，c和m四個常數。其中常數a控制峰值的高低，a值愈大峰值產量愈高，反之愈低。常數b控制峰位，b值愈大，峰位距縱軸愈遠，反之愈近。常數c控制峰值后產量遞減的快慢，c值愈大產量遞減愈慢，反之愈快。時間指數m用于判別模型的類別：當m=1 時可得廣義翁氏模型；當m=2 時可得陳-郝模型；當m=b+1 時可得威布爾模型；當m=2 且b=1時可得瑞利模型。對于廣義單峰周期預測模型，當b=0時即得投產進入遞減的泛指數遞減模型。

泛指數遞減模型的產量和可采儲量計算公式分別為：

由（6）式可見，GR與a和均成正比，與m成反比。

在（6）式中的Γ(1)值可查伽馬函數表或由相關經驗公式［9］求得，相關經驗公式為：

將（9）式代入（10）式得泛指數遞減模型的遞減率為：

由（11）式可以看出，泛指數遞減模型的遞減率與m成正比，與c成反比。當t=0 時，初始遞減率趨近于無窮大。

2 泛指數遞減模型的派生

當m=0.5 時，Γ(1)=1.0，由（5）式、（6）式和（11）式可得具有實用價值的0.5 型泛指數遞減模型，其產量、可采儲量和遞減率計算式分別為：

當m=1 時，Γ(1)=1.0，由（5）式、（6）式和（11）式可得著名的指數遞減模型，其產量、可采儲量和遞減率計算式分別為：

3 泛指數遞減模型的無因次關系

為了建立泛指數遞減模型的無因次產量曲線，首先將（5）式改寫為：

泛指數遞減模型的無因次產量和無因次時間分別為：

將（19）式和（20）式代入（18）式，且由（15）式可以看出，當t=0 時，q=a=q0，由此得泛指數遞減模型的無因次產量與無因次時間之間的關系式為：

由（21）式可以看出：當m=0時，qD為常數；當m=1 時，qD=etD，qD為指數遞減。當取c=5 時，由（21）式求得不同m值時qD與tD的無因次關系（圖1）；當m=0.5 時，由（21）式求得不同c值時qD與tD的無因次關系（圖2）。由圖1 和圖2 可以看出，m值比c值對qD的影響明顯。

圖1 c=5時泛指數遞減模型qD與tD的關系Fig.1 The qD-tD curves of PEDM，c=5

4 泛指數遞減模型的求解方法

圖2 m=0.5時泛指數遞減模型qD與tD的關系Fig.2 The qD-tD curves of PEDM，m=0.5

由（5）式可以看出，泛指數遞減模型是帶有a和c及m三個常數的非線性遞減模型，需根據實際生產數據，利用線性迭代試差法進行求解。為此，首先將（5）式等號兩端同時取自然對數得：

再利用（25）式進行線性迭代試差法求解。當m值為0～1 時，可按步長為0.05 給定不同的m值，求得相關系數最高直線的m值，即為欲求的正確m值，并由（25）式進行線性回歸，確定直線的截距α、斜率β和相關系數R2。最后，由（23）式和（24）式分別確定a和c值。

5 應用實例

圖3 M1和M2井q與t的關系Fig.3 The q-t curves of M1 and M2 wells

圖4 M1和M2井的lnq與tm最佳的直線關系Fig.4 The optimal linear lnq-tm relations of M1 and M2 wells

將美國賓州Marcellus 頁巖氣藏的M1和M2井投產后的產量遞減數據［11］繪于圖3，利用線性迭代試差法，由（25）式求得兩口井的最佳直線關系并繪于圖4。由圖4 的線性回歸求得：M1井的m值為0.5，α值為6.460 6，β值為0.280 5，相關系數為0.990 0；M2井的m值為0.5，α值為5.837 3，β值為0.277 9，相關系數為0.994 0。由（23）式和（24）式分別求得兩口井的a和c值：M1井的a和c值分別為639.44和3.57；M2井的a和c值分別為342.85 和3.60。將兩口井的a，c和m值分別代入（5）式，得M1和M2井的產量預測公式分別為：

由（26）式和（27）式分別預測兩口井的理論產量并繪于圖3。由圖3可以看出，預測曲線與實際數據符合得很好。

將M1和M2井的m和c值分別代入（11）式，將預測得到的兩口井的遞減率繪于圖5。由圖5可見，兩口井的遞減率隨時間的變化基本一致，這與兩口井的m和c值均基本相同有關。

圖5 M1和M2井的D與t的關系Fig.5 The D-t relations of M1 and M2 wells

將M1和M2井的m值代入（7）式，可得兩口井的完全伽馬函數，Γ（1/m）=Γ（2）=1.0。將2口井的完全伽馬函數值以及a，c和m值分別代入（6）式，可得M1和M2井的可采儲量分別為：

6 結論

通過對廣義單峰周期預測模型的簡化，得到預測頁巖氣井投產即進入遞減的泛指數遞減模型。該模型適用性較強，可對不同頁巖氣井的產量、可采儲量和遞減率進行預測。泛指數遞減模型的遞減指數為0～1。隨著m值的增加，產量的遞減率增加，隨著c值的增加，產量的遞減率減小。由m=0.5和m=1 可分別得到0.5 型的泛指數遞減模型和著名的指數遞減模型。由于M1和M2井的m和c值均基本相同，因而兩口井的遞減率幾乎是重合的。實例應用結果表明，所建立的泛指數遞減模型是實用有效的。

符號解釋

a——廣義單峰周期預測模型和泛指數遞減模型的產量常數，104m3/mon；

b——廣義單峰周期預測模型的峰位指數，dim；

c——廣義單峰周期預測模型和泛指數遞減模型的時間常數，mon；

D——遞減率，mon-1；

GR——頁巖氣井可采儲量，104m3；

m——泛指數遞減模型的時間指數，dim；

q——頁巖氣井產量，104m3/mon；

q0——當t=0時的初始理論產量，104m3/mon；

qD——無因次產量，dim；

qpeak——廣義單峰周期預測模型的峰值產量，104m3/mon；

R2——相關系數，dim；

t——生產時間，mon；

tD——無因次時間，dim；

tpeak——廣義單峰周期預測模型峰值出現的時間，mon；

Z——完全伽馬函數的變量；

α和β——泛指數遞減模型最佳直線的截距和斜率；

Γ（Z+1）——完全伽馬函數。