李 毅，苗春賀，徐松林,2，張金詠，王鵬飛

（1. 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)中國(guó)科學(xué)院材料力學(xué)行為和設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230027；2. 中國(guó)地震局地震預(yù)測(cè)研究所高壓物理與地震科技聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室，北京 100036；3. 武漢理工大學(xué)材料復(fù)合新技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430070）

超結(jié)構(gòu)/材料是解決復(fù)雜防護(hù)效應(yīng)問(wèn)題的關(guān)鍵之一，是一種微觀異構(gòu)、宏觀連續(xù)的介質(zhì)，表現(xiàn)出一些特別優(yōu)異的功能和物理力學(xué)性質(zhì)，例如同時(shí)兼具高強(qiáng)度和高韌性，在高技術(shù)領(lǐng)域，已經(jīng)形成了分類眾多的工藝和產(chǎn)品。梯度密度材料是近幾年制作工藝逐漸成熟的一種超結(jié)構(gòu)/材料，形成了生物功能梯度材料、光學(xué)功能梯度材料等，并逐漸在多種領(lǐng)域得到了應(yīng)用。由于這種介質(zhì)含有大量的多尺度的細(xì)微觀結(jié)構(gòu)，這些細(xì)微觀結(jié)構(gòu)會(huì)使得應(yīng)力波產(chǎn)生波形彌散和衰減現(xiàn)象[1-2]，其宏觀響應(yīng)均具有一定的黏彈性特征。研究沖擊載荷作用下這種梯度材料的黏彈性響應(yīng)特征，有助于揭示介質(zhì)的細(xì)微觀結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)力波傳播的影響規(guī)律，為材料的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供依據(jù)。本文中將結(jié)合分離式霍普金森壓桿(SHPB)實(shí)驗(yàn)技術(shù)對(duì)梯度密度黏彈性材料的沖擊響應(yīng)進(jìn)行研究。

SHPB 技術(shù)廣泛應(yīng)用于測(cè)量材料動(dòng)態(tài)力學(xué)特性[3]。Zhao 等[4]給出了采用黏彈性波導(dǎo)桿時(shí)確定試件動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系的方法，Bacon[5]、王寶珍等[6]采用傳播系數(shù)法較系統(tǒng)地分析了黏彈性試件中波傳播過(guò)程中的彌散和衰減規(guī)律，以及動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系的測(cè)試方法；朱玨等[7]分析了試件中傳播的黏彈性波對(duì)SHPB 實(shí)驗(yàn)過(guò)程中應(yīng)力均勻性等因素的影響規(guī)律。黏彈性波的傳播理論是研究波傳播特性的關(guān)鍵[8]，Ting 等[9]、Tedsco 等[10]、Han 等[11]基于波動(dòng)方程的Laplace 變換方法研究了黏性層狀介質(zhì)中彈性波的傳播特性和頻率域中的等效分析方法，Mukerji[12]通過(guò)測(cè)試研究了層狀介質(zhì)中彈性波的衰減和彌散。這些研究對(duì)彈性波在不同的多層彈性介質(zhì)中的傳播規(guī)律進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)和理論探索，揭示了彈性波波速對(duì)材料細(xì)觀結(jié)構(gòu)特征的頻率相關(guān)性。進(jìn)一步，周風(fēng)華等[13]、鄭宇軒等[14]基于波動(dòng)方程的Laplace 變換和數(shù)值Laplace 逆變換對(duì)SHPB 實(shí)驗(yàn)過(guò)程中黏彈性波的傳播做了卓有成效的工作。這些研究都是針對(duì)均勻的黏彈性材料進(jìn)行的，如果黏彈性材料不是均勻的，即其密度具有一定的分布特征，則會(huì)給波動(dòng)分析帶來(lái)較大的困難。張鳴等[15]基于Euler 方程的形式給出了垂直入射情況下梯度密度黏彈性材料中波動(dòng)傳播分析的一個(gè)近似解，得到了一些初步結(jié)論。

基于此，本文中將在張鳴等[15]工作的基礎(chǔ)上，進(jìn)行垂直入射情況下多層梯度密度黏彈性材料中波動(dòng)傳播的分析，結(jié)合梯度鈦-硼化鈦材料[16]和碳纖維增強(qiáng)樹(shù)脂材料[17]進(jìn)行初步實(shí)驗(yàn)研究。

1 沖擊下多層梯度密度黏彈性介質(zhì)中波的傳播

1.1 控制方程和近似解

梯度密度黏彈性介質(zhì)中，密度ρ 是位置x的函數(shù)，即：ρ=ρ(x)。其中的變形連續(xù)方程、動(dòng)量守恒方程分別為：

1.2 垂直入射多層梯度介質(zhì)中波的傳播

圖 1 垂直入射雙層周期性疊合介質(zhì)示意圖Fig. 1 Schematic diagram of a two-layer periodically-superimposed medium with normal incidence

2 梯度密度鈦-硼化鈦材料的動(dòng)力學(xué)行為

2.1 材料

梯度鈦-硼化鈦(TiB2-TiB-Ti)陶瓷材料由武漢理工大學(xué)材料復(fù)合新技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室采用沉積燒結(jié)的工藝制備[16]。梯度材料的第1 層為純鈦，后續(xù)各層中逐次減少10%的鈦，并以同體積的硼化鈦進(jìn)行填充，由此制備的樣品從光亮的白色（鈦）逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)榘档幕液谏ㄅ鸹仯?，如圖2 所示。隨著硼化鈦含量的增加，樣品的硬度[16]逐漸增加，表現(xiàn)出較強(qiáng)的梯度分布特征。對(duì)3 個(gè)樣品中的密度分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，沿厚度方向均勻地切取6 個(gè)直徑(4±0.1) mm、厚度(1.5±0.1) mm 的圓柱體測(cè)量其密度，結(jié)果如圖2 所示，隨著硼化鈦含量的增加，樣品的密度逐漸增加。采用 ρ =A(x+δ)p對(duì)梯度密度分布進(jìn)行擬合，δ 取為1.0，可得到密度遞增時(shí)的參數(shù)為：A=4.45 g/cm3，p=2.0。將此樣品反過(guò)來(lái)，可得到密度遞減時(shí)的參數(shù)為：A=4.56 g/cm3，p=-2.45。采用相似的形式也可對(duì)梯度硬度的分布進(jìn)行擬合。

應(yīng)用SHPB 加載裝置分別對(duì)單個(gè)試件和兩個(gè)樣品組合試件進(jìn)行動(dòng)態(tài)加載實(shí)驗(yàn)，以對(duì)應(yīng)研究單層梯度介質(zhì)與雙層梯度介質(zhì)中應(yīng)力波的傳播。實(shí)驗(yàn)采用了比較低的沖擊速度，例如本實(shí)驗(yàn)中的5.0 m/s，以研究介質(zhì)的黏彈性行為。單個(gè)試件尺寸為：直徑(13±0.1) mm，厚度(10±0.1) mm。

圖 2 梯度鈦-硼化鈦樣品中密度和硬度[16]分布Fig. 2 Distributions of density and hardness[16]in gradient Ti-TiB2 specimen

2.2 單層和雙層梯度鈦-硼化鈦材料的波傳播

實(shí)驗(yàn)中入射波信號(hào)如圖3(a)所示，所有實(shí)驗(yàn)中基本控制不變。測(cè)得的透射信號(hào)如圖3(b)所示，包含有：?jiǎn)螌用芏冗f增、單層密度遞減、雙層密度遞增疊合、雙層密度遞減疊合、單層密度遞增與單層密度遞減疊合，以及單層密度遞減與單層密度遞增疊合等6 組實(shí)驗(yàn)，每組重復(fù)3～5 次。

圖 3 梯度鈦-硼化鈦實(shí)驗(yàn)波形Fig. 3 Recorded wave profiles in the gradient Ti-TiB2 specimens

基于上述理論分析，對(duì)于單層試件，由解的形式(6)和試件兩端的入射波信號(hào) σin(t) 、透射波信號(hào)σout(t) ，可以得到：

將不同試件的入射波信號(hào)和透射波信號(hào)代入式(16)或式(17)進(jìn)行計(jì)算。由于入射波信號(hào) σint(t) 與透射波信號(hào) σout(t) 均為離散的數(shù)據(jù)，進(jìn)行Laplace 數(shù)值逆變換計(jì)算比較麻煩，因此，為簡(jiǎn)化分析過(guò)程，對(duì)波形的加載部分均采用Asin(wt) 的形式進(jìn)行擬合，然后進(jìn)行Laplace 逆變換。圖4 為單層試件的分析結(jié)果，其中實(shí)線為采用SHPB 實(shí)驗(yàn)的三波法進(jìn)行處理的結(jié)果，虛線為上述理論模型計(jì)算的結(jié)果，分別進(jìn)行了試件的撞擊端(x=0)、支撐端(x=L)，以及試件中部(x=L/2)的應(yīng)力波形的計(jì)算。由此可見(jiàn)：(1)三個(gè)位置計(jì)算得到的應(yīng)力-時(shí)間曲線有一定的差異，說(shuō)明此梯度鈦-硼化鈦陶瓷材料中內(nèi)界面的存在，使得梯度材料表現(xiàn)出一定的黏性，雖然還很弱；(2)計(jì)算得到的應(yīng)力-時(shí)間曲線與SHPB 三波法處理得到的結(jié)果非常接近，此時(shí)反射波的波形結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，黏性對(duì)SHPB 三波法分析影響不大。

圖5 為雙層材料疊合試件的計(jì)算結(jié)果。實(shí)線為采用SHPB 實(shí)驗(yàn)的三波法進(jìn)行處理的結(jié)果，虛線為計(jì)算結(jié)果，包含了試件的撞擊端(x=0)、支撐端(x=2L)，以及兩個(gè)試件之間(x=L)的計(jì)算波形，以作對(duì)比。由此可見(jiàn)：三波法處理得到的結(jié)果與兩個(gè)試件中部的計(jì)算結(jié)果比較接近；3 個(gè)位置計(jì)算得到的應(yīng)力-時(shí)間曲線的幅值有一定的差別，且密度遞減介質(zhì)中隨傳播距離的增加，應(yīng)力幅值減小的幅度相對(duì)較大。雖然單層梯度鈦-硼化鈦陶瓷材料中由于內(nèi)界面的存在產(chǎn)生的黏性不是很強(qiáng)，但是雙層密度梯度材料的疊合制造了新的宏觀界面，使疊合介質(zhì)整體表現(xiàn)出更強(qiáng)的黏彈性特征，這主要表現(xiàn)在應(yīng)力幅值和應(yīng)力波形的上升過(guò)程隨傳播距離的增加都出現(xiàn)了明顯變化，反映出一種介質(zhì)中多種微結(jié)構(gòu)組成導(dǎo)致的黏彈性機(jī)制[12]。疊合試件的黏性使SHPB 三波法分析結(jié)果與材料的性能之間存在一定的差異。

3 碳纖維增強(qiáng)樹(shù)脂材料的動(dòng)力學(xué)行為

3.1 復(fù)合材料

碳纖維增強(qiáng)環(huán)氧樹(shù)脂材料[17]中碳纖維粉末的型號(hào)為XGCP-300，密度為1.75 g/cm3。在環(huán)氧樹(shù)脂中加入4 種質(zhì)量分?jǐn)?shù)(0%、10%、30%、50%)的碳纖維粉末來(lái)制備4 種密度的復(fù)合材料，制得的材料如圖6 所示，隨著碳纖維含量的增加，樣品的密度顯著增加，即從質(zhì)量分?jǐn)?shù)0%時(shí)密度為(1.17±0.1) g/cm3，增加到質(zhì)量分?jǐn)?shù)10%時(shí)密度為(1.21±0.1) g/cm3、質(zhì)量分?jǐn)?shù)30%時(shí)密度為(1.35±0.2) g/cm3，最后增加到質(zhì)量分?jǐn)?shù)50%時(shí)密度為(1.57±0.2) g/cm3。環(huán)氧樹(shù)脂（碳纖維含量0%）弛豫模量為(1.20±0.1) GPa，其布洛克菲爾德黏度為800 MPa·s。隨碳纖維含量增加，弛豫模量增加到質(zhì)量分?jǐn)?shù)為10%時(shí)的(1.24±0.1) GPa、質(zhì)量分?jǐn)?shù)為30%時(shí)的(1.38±0.2) GPa，最后增加到質(zhì)量分?jǐn)?shù)為50%時(shí)的(1.61±0.2) GPa。同時(shí)，隨著碳纖維粉末含量的增加，樣品由透明狀逐漸變?yōu)楹谏?；樣品的灰度統(tǒng)計(jì)基于試樣表面顯微鏡拍攝圖片分析處理而來(lái)，灰度分布隨碳纖維含量的增加向灰度值較小的黑色區(qū)域移動(dòng)，灰度分布區(qū)域隨含量的增加越來(lái)越集中，樣品的均勻性相對(duì)也較好。碳纖維增強(qiáng)環(huán)氧樹(shù)脂試件表現(xiàn)出明顯的黏性特性；但隨著碳纖維含量的增加，試件顯得越來(lái)越脆[17]。

圖 6 制備的碳纖維增強(qiáng)樹(shù)脂復(fù)合材料的密度隨碳纖維質(zhì)量分?jǐn)?shù)的變化Fig. 6 Density change of prepared carbon-fiber reinforced resin composites with carbon fiber mass fraction

梯度密度黏彈性材料的制備很困難，初始擬采用不同密度的多層黏彈性材料來(lái)疊合成梯度密度介質(zhì)，但是沖擊實(shí)驗(yàn)成功率非常低，重復(fù)性也不好。因此，將僅對(duì)雙層黏彈性材料疊合介質(zhì)應(yīng)用SHPB 加載裝置進(jìn)行動(dòng)態(tài)加載實(shí)驗(yàn)，以研究雙層黏彈性介質(zhì)組成的近似“梯度密度”試件中應(yīng)力波的傳播。實(shí)驗(yàn)采用比較低的沖擊速度，例如5.0 m/s。單個(gè)試件尺寸為：直徑(8±0.1) mm，厚度(4±0.1) mm。

3.2 雙層碳纖維增強(qiáng)樹(shù)脂材料中的波傳播

圖7 為雙層材料疊合的近似“梯度密度”試件的計(jì)算結(jié)果。實(shí)線為SHPB 實(shí)驗(yàn)三波法處理的結(jié)果，以作對(duì)比；分別進(jìn)行了試件的撞擊端(x=0)、支撐端(x=2L)，以及兩個(gè)試件之間(x=L)的應(yīng)力波形的計(jì)算。圖7(a)、(b)、(c)所示雙層疊合材料分別對(duì)應(yīng)碳纖維質(zhì)量分?jǐn)?shù)由50%減小到30%、10%、0%；圖7(d)、(e)、(f)所示雙層疊合材料分別對(duì)應(yīng)碳纖維質(zhì)量分?jǐn)?shù)由0%增加到10%、30%、50%。由此可見(jiàn)：三波法處理得到的結(jié)果與兩個(gè)試件中部的計(jì)算結(jié)果比較接近；三個(gè)位置計(jì)算得到的應(yīng)力-時(shí)間曲線的幅值有較大的差別，且隨傳播距離的增加，應(yīng)力幅值出現(xiàn)較大的減小幅度，表現(xiàn)出比單層材料更強(qiáng)的黏彈性特征。這種黏性特性包含材料本身的黏性和微結(jié)構(gòu)組成導(dǎo)致的黏性等兩種機(jī)制。疊合試件的黏性使SHPB 三波法分析結(jié)果與材料的性能之間存在較大的差異：由于SHPB 三波法選取了入射桿與透射桿得到的入射波、反射波與透射波，在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，得到的是兩桿之間試件應(yīng)力情況的平均值。而實(shí)驗(yàn)所選取的材料具有變密度特性，而且對(duì)于碳纖維增強(qiáng)樹(shù)脂材料，其兩桿之間的密度變化較大，在試件的不同位置處，其應(yīng)力會(huì)有一定的差距。因此采用SHPB 三波法分析得到的平均應(yīng)力不能較好地反映試件密度的變化特性，也較難得到試件不同位置的應(yīng)力變化情況。

圖 7 雙層碳纖維增強(qiáng)樹(shù)脂疊合試件中的應(yīng)力波形Fig. 7 Stress-time curves in two-layer superimposed specimens of carbon fiber reinforced resin

將雙層材料疊合的試件等效成單層等效的梯度密度黏彈性介質(zhì)。首先，采用 ρ =A(x+δ)p的形式對(duì)近似梯度密度試件進(jìn)行擬合，δ 取為1.0，可以得到密度遞減時(shí)的參數(shù)分別為：50% → 30% 時(shí)，A=1.57 g/cm3，p=-18.95；50% → 10%時(shí)，A=1.57 g/cm3，p=-32.69；50% → 0%時(shí)，A=1.57 g/cm3，p=-36.91。以及密度遞增時(shí)的參數(shù)分別為：0% → 10%時(shí)，A=1.17 g/cm3，p=4.22；0% → 30%時(shí)，A=1.17 g/cm3，p=17.96；0% → 50%時(shí)，A=1.17 g/cm3，p=36.91。其次，采用式(13)求解雙層材料的等效弛豫模量g。由此，計(jì)算等效的梯度密度黏彈性介質(zhì)中波的傳播，結(jié)果如圖8 所示，圖中只列出了兩種密度差別較大的情況，即50% → 0%(遞減)和0% → 50%(遞增)?？梢钥闯觯簝煞N計(jì)算方法在試件兩側(cè)得到的結(jié)果基本一致；在試件夾層中間的位置，兩種計(jì)算方法得到的結(jié)果差別不是很大，但有一些差異，隨密度梯度增大，這種差異也越大。這體現(xiàn)了疊合試件中各種微結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)力波形產(chǎn)生了影響。

圖 8 等效梯度密度材料和雙層疊合試件中的應(yīng)力波形的對(duì)比Fig. 8 Comparison of stress-time curves in the equivalent gradient-density materials with those in two-layer superimposed specimens

4 結(jié) 論

推導(dǎo)了多層梯度密度黏彈性材料中波傳播分析的理論解，結(jié)合SHPB 動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)技術(shù)，分析了梯度鈦-硼化鈦材料與碳纖維增強(qiáng)樹(shù)脂材料中波的傳播過(guò)程，主要結(jié)論如下。

（1）當(dāng)密度和材料的彈性常數(shù)滿足一定的形式時(shí)，可得到梯度密度黏彈性材料中波傳播特性的一個(gè)近似解。原則上，擬合相關(guān)材料系數(shù)，此解能夠得到廣泛應(yīng)用。將此解應(yīng)用于M層梯度密度黏彈性材料，結(jié)合層間的應(yīng)力與位移連續(xù)條件和兩側(cè)的邊界條件，可以得到多層介質(zhì)中波傳播的理論解。

（2）將此理論解應(yīng)用于單層和雙層梯度鈦-硼化鈦材料，發(fā)現(xiàn)：?jiǎn)螌犹荻肉?硼化鈦材料中存在內(nèi)界面，使得其表現(xiàn)出較弱的黏性，但這種黏性對(duì)SHPB 三波法分析影響不大；而雙層材料的疊合產(chǎn)生了新的宏觀界面，使其整體表現(xiàn)出更強(qiáng)的黏彈性特征，疊合試件的黏性使SHPB 三波法分析結(jié)果與材料的性能之間存在一定的差異。

（3）將此理論解應(yīng)用于雙層碳纖維增強(qiáng)樹(shù)脂材料，發(fā)現(xiàn)：隨傳播距離的增加，碳纖維增強(qiáng)樹(shù)脂材料中的應(yīng)力幅值減小較大，表現(xiàn)出更強(qiáng)的黏彈性特征，此過(guò)程包括材料本身的黏性和微結(jié)構(gòu)組成導(dǎo)致的黏性等兩種機(jī)制。疊合試件的黏性使SHPB 三波法分析結(jié)果與材料的性能之間存在較大的差異。

基于此分析方法，為分析材料內(nèi)部界面的實(shí)際情況，可進(jìn)一步建立界面斜入射的情況。由于試樣制備比較困難，本文的相關(guān)結(jié)論尚需更多驗(yàn)證和提高。