崔世堂

（中國科學技術大學近代力學系中科院材料力學行為和設計重點實驗室， 安徽 合肥 230027）

相變是一種典型的自然現(xiàn)象，固體材料在受到爆炸、高速撞擊等強沖擊載荷作用時，可能會發(fā)生屈服甚至相變。沖擊下材料的相變特性對于材料和結構的動態(tài)響應有著重大影響，因為相變后的材料實質上已經(jīng)成為一種新材料[1]。TiNi 合金是一種典型的相變材料，其響應受熱彈性馬氏體相變支配，具有獨特的偽彈性效應和形狀記憶效應。由于其獨特的熱力學性質，在航空航天、交通運輸、生物醫(yī)學等高技術領域得到大量的應用[2]。

相變引起的材料非線性會強烈改變沖擊波波形，造成沖擊相變特有的三波結構和卸載沖擊波，這些奇特的現(xiàn)象引起越來越多的關注。基于一維的應力-應變關系，以半無限長桿為研究對象，Chen 等[3]和Bekker 等[4]研究了階躍載荷作用下相變波的傳播問題，研究發(fā)現(xiàn)沖擊載荷高于某一幅值時，相變區(qū)的應力和溫度不連續(xù)，但對于卸載問題，并沒有涉及。王文強等[5]利用簡化的相變本構模型來研究宏觀相邊界的傳播規(guī)律，在緩慢卸載的應力邊界條件下，處于混合相的試件會成為變密度梯度材料。基于相同的理論模型，Bouvet 等[6]提出了一種沖擊載荷作用下制備功能梯度材料的新方法。和常規(guī)彈塑性材料不同的是，相變材料在卸載時會產(chǎn)生卸載沖擊波。在矩形脈沖載荷作用下，由于應力波和宏觀相邊界的相互作用，Dai 等[7]發(fā)現(xiàn)了一些奇異的現(xiàn)象，如不可逆相變可能會出現(xiàn)成分連續(xù)變化的混合相區(qū)，可逆相變的卸載相變界會出現(xiàn)分叉等。此外，采用不同的本構模型以及考慮邊界條件的影響，進行了大量有關相變波和相邊界傳播規(guī)律方面的研究[8-11]。

以上的這些研究都是基于一維應力狀態(tài)條件下進行的。大量的研究結果表明，復雜應力狀態(tài)下的相變現(xiàn)象和單軸加載會有所不同。Sittner 等[12]在研究多晶Cu-Al-Zn-Mn 形狀記憶合金時發(fā)現(xiàn)馬氏體相變過程和加載路徑有關。Sun 等[13]對形狀記憶合金薄壁管進行了一系列的實驗方面的研究，揭示了外部應力狀態(tài)及內(nèi)部微觀結構對材料宏觀行為的影響。為了確定相變材料在復雜應力狀態(tài)下的力學行為，大量實驗和理論方面的工作就此展開[14-20]。這些研究主要是在準靜態(tài)復合加載條件下進行，目的是為了得到描述材料相變行為的本構模型。而在復雜應力狀態(tài)下，有關沖擊相變方面的研究并不多。

近年來，復合應力狀態(tài)下相變波的研究已有零星的文獻發(fā)表。Song 等[21]采用廣義特征理論，研究了TiNi 合金薄壁圓管在復合加載下相變波的傳播規(guī)律。在薄壁圓管端部施加階躍純扭轉載荷至混合相，首先會出現(xiàn)彈性壓縮波，而在傳統(tǒng)彈塑性材料中不會出現(xiàn)軸向應力的變化。在強沖擊載荷作用下，材料具有二相硬化效應，奧氏體會直接轉化為馬氏體。Wang 等[22]考慮了二相硬化效應的影響，采用數(shù)值方法，研究了拉-扭聯(lián)合作用下彈性波追趕相變耦合波過程中波系結構的變化。然而，相變材料通常具有明顯的拉壓不對稱性[1]，相變面在σ-τ 平面上沿著σ 軸移動，與拉-扭聯(lián)合加載相比，壓-扭聯(lián)合加載下薄壁圓管內(nèi)會出現(xiàn)一些新的現(xiàn)象。本文在以上工作的基礎上，以半無限長處于偽彈性狀態(tài)的TiNi 合金薄壁圓管為研究對象，綜合考慮材料的二相硬化效應和拉壓不對稱性，得到TiNi 合金薄壁管內(nèi)相變耦合波傳播的特征波速和簡單波解，并分析兩類典型初始條件下相變波傳播的應力路徑。

1 動力學方程和相變本構模型

1.1 動力學基本方程

考慮半無限長TiNi 合金薄壁圓管，壁厚為δ，內(nèi)外圓截面的平均半徑為R，且δ ?R。以其端部截面的中心為圓點O，以軸線為X軸建立如圖1 所示的坐標系。假設薄壁管除端部受有拉(壓)扭載荷作用外，不受其他外載。由于管壁較薄，忽略慣性效應的影響，各物理量在厚度方向是均勻的，從而可以把管內(nèi)波的傳播簡化為一維復合應力波沿著X軸的傳播。

薄壁圓管的運動方程為：

圖 1 TiNi 合金的薄壁管幾何示意圖Fig. 1 Geometry of the TiNi alloy thin-walled tubes

式中：ρ 為密度，σ 和τ 分別為軸向應力和環(huán)向切應力，u和v分別為質點的軸向速度和環(huán)向速度。根據(jù)柱坐標中應變和質點速度的定義，可以得到系統(tǒng)的連續(xù)性方程為：

式中：ε 為軸向應變，γ 為環(huán)向切應變。

1.2 相變準則

圖 2 σ-τ 平面的的相變橢圓Fig. 2 Phase transformation ellipse in the σ-τ plane

對于管內(nèi)某點處的應力狀態(tài)(σ, τ)，通過式(6)都可以唯一確定相應的正數(shù)k，假設k1和k2分別為相變起始和相變結束時對應的相變參數(shù)。若0＜k＜k1，材料處于奧氏體彈性狀態(tài)；當k1＜k＜k2時，材料進入混合相；而當k≥k2時，材料完全轉化為馬氏體。

1.3 增量型的本構關系

對處于偽彈性狀態(tài)的TiNi 合金而言，其一維應力條件下準靜態(tài)拉伸的應力-應變曲線如圖3 所示。圖中A和B分別為馬氏體相變的起始點和完成點，D和F為逆相變的起始點和完成點，AB 和DF之間的區(qū)域為混合相區(qū)。

材料的相變演化行為，不同文獻中有很多不同的描述形式。這里采用一種相對簡單的增量型本構關系，用以描述相變材料的力學行為。材料發(fā)生相變時其應變率分為如下兩部分：

圖 3 偽彈性狀態(tài)下TiNi 合金的應力-應變示意圖Fig. 3 Schematic stress-strain cueves for pseudo-elastic effect of TiNi alloy

式中：下標“e”和“p”分別代表彈性應變和相變應變部分。對于各向同性的TiNi 合金而言，應變率的彈性部分和相變部分可分別表示為：

式中： λ˙ 為表征相變程度的相變因子，其值恒為正。采用各向同性硬化的加載準則，相變功率w可以表示為：

1.4 特征關系和簡單波解

矩陣A和B及柔度張量H都是實對稱矩陣。由廣義特征理論可知，薄壁管中的特征波速C由矩陣B相對于矩陣A的特征值決定的，即

2 數(shù)值計算及討論

在薄壁管的拉-扭或壓-扭動態(tài)試驗中，Clifton 等[24-26]基于霍普金森壓桿，建立了一套薄壁圓管預扭沖擊加載裝置，對3003 鋁材和α-Ti 進行了實驗研究，觀察到了復合應力波在薄壁管內(nèi)的傳播。TiNi 合金壓縮時的臨界應力較高且材料“偏脆”，在進行預扭沖擊壓縮實驗時，薄壁管容易發(fā)生屈曲。加載幅值在相變臨界應力附近，在靠近薄壁管的端部出現(xiàn)了局部破裂。無法在實驗中觀察到相變耦合波的傳播。考慮到TiNi 合金的拉壓不對稱性，且拉伸比壓縮更容易發(fā)生相變，王波等[27]對TiNi 合金薄壁管進行了預扭沖擊拉伸實驗，觀察到了拉-扭復合應力狀態(tài)下相變波的傳播。數(shù)值計算的結果和實驗吻合的較好，可以較好地區(qū)分出相變耦合快波和慢波的波系結構。在以上工作的基礎上，為避免實驗上的不確定性，本文中采用數(shù)值方法來研究應力波在TiNi 合金薄壁管中的傳播規(guī)律。

2.1 差分格式

采用一階Lax-Friedrichs 格式對控制方程進行離散，聯(lián)立相變材料的本構方程和初、邊值條件，就可以得到拉(壓)-扭載荷聯(lián)合作用下相變復合波在薄壁管內(nèi)的傳播規(guī)律。控制方程的離散形式為：

式中：Δt和Δx為時間增量和空間步長。將本構方程(18)和(19)進行改寫后的離散格式為

根據(jù)相應的初始條件和邊界條件，知道了n時間步的應力、應變和粒子速度之后，通過控制方程和本構方程的離散形式(32)和(33)，可以確定第n+1 時間步的應力、應變和粒子速度，從而得到了相變波在管內(nèi)的傳播規(guī)律。計算中所用的材料參數(shù)如表1 所示。

表 1 TiNi 合金的材料參數(shù)Table 1 Material Parameters of TiNi Alloy

需要說明的是，表1 中的Em為材料進入混合相時的模量，材料由奧氏體直接轉變?yōu)轳R氏體時的模量根據(jù)加載前后應力的幅值重新計算。

2.2 計算結果

如果管內(nèi)材料始終處于奧氏體彈性狀態(tài)，薄壁管內(nèi)傳播的是互不耦合的彈性縱波和彈性橫波，我們更關心管內(nèi)材料發(fā)生相變后波的傳播規(guī)律。假設初始應力狀態(tài)(σi, τi)時的相變參數(shù)為ki，最終應力狀態(tài)(σf, τf)時的相變參數(shù)為kf，以下的算例都基于ki＜kf且k1＜kf。需要說明的是，若k1＜kf＜k2，此時薄壁管內(nèi)相變波的結構同常規(guī)彈塑性材料類似；若kf＞k2，加載后材料由奧氏體直接轉變?yōu)轳R氏體，管內(nèi)形成相變耦合沖擊波，在σ-τ 空間的應力路徑為從初始相變面上某點出發(fā)的廣義Hugoniot 線[28]。兩者雖然有本質的不同，但在σ-τ 應力空間內(nèi)很容易區(qū)分，以下統(tǒng)一稱為相變耦合波。根據(jù)不同的初始條件和邊界條件，討論以下兩種典型情況。

(1)假定TiNi 合金薄壁管最初是靜止的且不受任何作用力，在端部突然施加正應力σ =10 MPa 和剪應力τ = 480 MPa。

根據(jù)前面的理論分析，在圖4 的σ-τ 平面上的應力路徑為：

式(34)中的單位為MPa。不同時刻管內(nèi)的應力分布如圖5 所示。圖4 上τs為純扭轉時的相變起始應力，τm為相變起始面上剪應力最大值點。對比圖4 和圖5 可以發(fā)現(xiàn)，盡管突然施加在管端部的軸向載荷為拉應力，但在管內(nèi)首先是以波速C0傳播的彈性壓縮波，將材料由零應力狀態(tài)加載至A2(-8.01 MPa, 0)，隨后依次傳播的是剪切波和相變耦合慢波。計算的結果表明，對于初始狀態(tài)自然靜止的半無限長TiNi 合金薄壁管，桿端突然施加的恒值載荷位于應力空間中藍色區(qū)域(包括區(qū)域的邊界)時，管內(nèi)都會出現(xiàn)類似的現(xiàn)象。這種現(xiàn)象在常規(guī)彈塑性材料的薄壁管中并不會出現(xiàn)。原因在于材料發(fā)生相變時引起體積變化，在σ-τ 平面上相變起始面左移，相變耦合慢波路徑的起點A3位于相變起始面上，其剪應力幅值處于τs和τm之間。在奧氏體彈性階段，管內(nèi)傳播的是互不耦合的彈性縱波和彈性橫波，在σ-τ 平面上的應力路徑只能是沿著OA2傳播的彈性縱波及隨后沿著A2A3傳播的彈性橫波。

圖 4 σ-τ 平面的相變橢圓及應力路徑Fig. 4 Phase transformation ellipse and stress paths in σ-τ plane

圖 5 不同時刻管內(nèi)的應力分布Fig. 5 Stress distribution in the tubes at different times

(2) 薄壁管的端部預先施加扭轉載荷τi= 270 MPa，在t= 0 時刻突然施加恒值的壓-扭載荷至最終應力狀態(tài)B2(-550 MPa，400 MPa)。其應力路徑如圖6 所示。

材料由初始狀態(tài)B經(jīng)相變復合快波以波速Cf加載至B1時，管內(nèi)正應力的幅值單調(diào)增大，而切應力的幅值則先增大后減小，如圖7 所示。這種現(xiàn)象在施加拉-扭階躍載荷時并不會出現(xiàn)。根據(jù)式(28)，相變耦合快波的速度Cf高于剪切波波速C2，在跨過相變橢圓的最高點的右側，根據(jù)式(32), dσ/dτ＜0，因此隨著正應力幅值的增大，剪應力的幅值也會增大；而在相變橢圓最高點的左側，根據(jù)式(32), dσ/dτ＞0，因此隨著正應力幅值的增大，剪應力的幅值會降低。從而在快波區(qū)剪應力的幅值會出現(xiàn)先增大后減小這種現(xiàn)象。

圖 6 σ-τ 空間的應力路徑Fig. 6 Stress paths in σ-τ plane

圖 7 不同時刻管內(nèi)的應力分布Fig. 7 Stress distribution in the tubes at different times

3 結 論

相變過程伴隨著體積和形狀的改變，使得相變材料具有明顯的拉壓不對稱性。本文采用考慮靜水壓力和偏應力聯(lián)合作用的相變準則，基于增量型相變本構模型，得到相變耦合波在半無限長TiNi 合金薄壁圓管內(nèi)傳播的控制方程。利用廣義特征理論分析了TiNi 合金薄壁管的特征波速和簡單波解，確定了決定應力路徑的微分方程。利用一階Lax-Friedrichs 有限差分格式對控制方程及相變本構關系進行離散。數(shù)值算例分析了兩種典型初始條件，即初始狀態(tài)靜止以及預扭至混合相時，在階躍聯(lián)合載荷作用下薄壁管內(nèi)相變耦合波傳播的應力路徑，以及各階段應力隨時間的變化，并對反?，F(xiàn)象進行了解釋。