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        一類具有階段結(jié)構(gòu)的時滯捕食系統(tǒng)的正周期解

        2021-01-25 08:14:52吳羅義鄭航
        延邊大學學報(自然科學版) 2020年4期
        關(guān)鍵詞:系統(tǒng)研究

        吳羅義,鄭航

        (武夷學院 數(shù)學與計算機學院, 福建 武夷山 354300 )

        0 引言

        Lotka[1]和Volterra[2]提出捕食者的數(shù)學模型后,許多學者對其相關(guān)模型進行了改進,并對相關(guān)定性問題進行了研究[3-13].例如:魏鳳英等[11]研究了食餌具有階段結(jié)構(gòu)和避難機能的捕食者系統(tǒng)的分支及其穩(wěn)定性問題; Srinivasu等[12]研究了捕食者具有附加食餌的捕食者系統(tǒng)的相關(guān)性質(zhì),并討論了附加食餌的“數(shù)量”對系統(tǒng)的影響.白玉珍等[13]研究了具有階段結(jié)構(gòu)和附加食餌與避難機能相結(jié)合的自治捕食系統(tǒng)的分支及其穩(wěn)定性問題,其研究的模型為:

        (1)

        其中:x1(t)、x2(t)、y(t)表示未成年食餌、成年食餌和捕食者在t時刻的種群密度;m為避難參數(shù),m∈[0,1];k1(1-m)是捕食者的捕獲率;h2表示捕食者處理單位數(shù)量的額外食物所需的時間;A′表示額外食物量.系統(tǒng)(1)中的其他數(shù)學符號的生物意義見文獻[13].為減少參數(shù)以便計算,文獻[13]還將系統(tǒng)(1)簡化為了如下形式:

        (2)

        文獻[13]考慮的是自治系統(tǒng),且假設(shè)的系數(shù)均為正常數(shù).而事實上,生態(tài)系統(tǒng)中很多因素是隨時間不斷變化的,如環(huán)境的周期性變化、繁殖的周期性變化等,因此研究非自治系統(tǒng)的周期解問題具有重要意義.本文考慮將系統(tǒng)(2)改進為非自治系統(tǒng),并假設(shè)未成年食餌固有增長率a、 未成年食餌死亡率b、 成年食餌死亡率c、 捕食者死亡率r、 未成年食餌到成年食餌的成長率α和成年食餌內(nèi)部競爭率d等參數(shù)為時間t的連續(xù)周期函數(shù).由上述假設(shè)系統(tǒng)(2)可轉(zhuǎn)化為如下非自治系統(tǒng):

        (3)

        以下本文將應(yīng)用迭合度理論探討系統(tǒng)(3)至少存在一個正周期解的充分條件.

        1 主要結(jié)果及其證明

        (a)對任意的λ∈(0,1), 方程Lx=λNx的解滿足x??Ω∩DomL;

        (b)對任意的x∈?Ω∩KerL,QNx≠0, deg{JQN,Ω∩KerL,0}≠0,

        定理1系統(tǒng)(3)至少存在1個正周期解,若系統(tǒng)(3)滿足以下3個條件:

        (a) (1-m)(1+βρ)>ρ;

        (4)

        顯然,在以上定義的范數(shù)下,X和Z為Banach空間.為了應(yīng)用引理2, 本文定義以下映射:

        由空間X、Z和映射L的定義可知:

        以下在定理1的條件下求解滿足引理2的有界開集Ω.由方程Lx=λNx,λ∈(0,1)得

        (5)

        再對式(5)的兩邊取絕對值,然后對其兩邊同時在[0,ω]上積分得

        (6)

        首先,根據(jù)定理1中的條件(a)、引理1以及系統(tǒng)(5)中的第3式可得

        于是有

        (7)

        (8)

        另外,由定理1條件中的(a)、引理1以及系統(tǒng)(5)中的第3式還可得

        于是有

        (9)

        (10)

        (11)

        主要觀察指標:針灸操作評分表,單人徒手心肺復蘇術(shù)評分表,新疆醫(yī)科大學外科基本技能評分表,體格檢查考核評分標準(模塊一、二、三、四)??荚囃ㄟ^率主要參照學生參與執(zhí)業(yè)醫(yī)師考試并獲得資格證書進行計算。在本次研究中考察學生的就業(yè)率,即已就業(yè)人數(shù)除以畢業(yè)總?cè)藬?shù)乘以100%。

        (12)

        (13)

        另外,由系統(tǒng)(5)中的第1式和第2式分別可得:

        (14)

        (15)

        由式(14)和式(15)可得

        (16)

        綜合式(8)、(10)、(11)、(12)、(13)和式(16)可得:

        由定理1中的條件知代數(shù)方程組

        (17)

        下面證明Ω滿足引理2中的條件(b).當(u1(t),u2(t),v(t))∈?Ω∩KerL時, (u1(t),u2(t),v(t))是常向量,且‖(u1(t),u2(t),v(t))‖=H, 所以QNx≠0.因為ImQ=KerL=R3, 所以同構(gòu)映射J可取恒等映射.由于式(17)存在唯一正解,因此直接計算即可得

        定理2系統(tǒng)(3)至少存在一個正周期解,若系統(tǒng)(3)滿足以下3個條件:

        (a) (1-m)(1+βρ)<ρ;

        證明因證明方法與定理1相似,且只需注意函數(shù)的單調(diào)性即可,因此本文在此省略.

        2 數(shù)值模擬

        由(a)、(b)、(c)可知,所取的參數(shù)滿足定理1的3個條件.在上述參數(shù)下系統(tǒng)(3)的解如圖1所示.由圖1可知,系統(tǒng)(3)的解是周期解.

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