鞠火旺 (廣東省中山紀(jì)念中學(xué) 528454)

1 問題的提出

解析幾何中的定點問題是一類綜合性問題，在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中，當(dāng)直線滿足一定的約束條件時，直線往往會過定點或者形成包絡(luò)線[1]． 下面是2020年廣州市一模文、理科數(shù)學(xué)第20題，兩題的題干和第(1)問相同，只是第(2)問略有不同． 本文對該問題進行探究與推廣．

(1)求曲線C的方程.

圖1 圖2

(1)求曲線C的方程.

2 探究與推廣

圖3 圖4

3 進一步推廣

由上可知，過橢圓的上頂點或右頂點作兩直線，當(dāng)兩直線的斜率之積為定值時，所張的弦恒過定點． 那么過橢圓上任意一點作兩條直線與橢圓相交(圖5)，當(dāng)這兩條直線的斜率之積為定值時，過兩交點的直線還會過定點嗎？經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn)直線的確過定點(圖6)，于是我們得到如下結(jié)論．

圖5 圖6

上述結(jié)論中的點B是橢圓上的任意一點． 自然有追問：若點B為橢圓內(nèi)或橢圓外任意一點，過點B作兩條直線BP，BQ，它們分別與橢圓相交于點P和Q(圖7)，且BP和BQ的斜率之積為δ，那么直線l是否仍然過定點？經(jīng)過實驗發(fā)現(xiàn)動直線l形成包絡(luò)線(圖8)． 為了方便研究，不妨將點B取在坐標(biāo)原點，這并不影響問題的本質(zhì)．

圖7 圖8

(ⅰ)當(dāng)δ<0且δ≠-1時，包絡(luò)線為橢圓． 其中, 當(dāng)δ∈(-∞,-1)時焦點在y軸上；當(dāng)δ∈(-1,0)時焦點在x軸上．

4 推廣與統(tǒng)一

結(jié)論證明的過程中會涉及大量的符號運算，具體的證明我們留給感興趣的讀者. 我們借助TI圖形計算器的CAS運算功能，求出了一個關(guān)于x，y的二元四次方程，該方程的形式過于復(fù)雜，本文就不再給出具體的表達式了．

圖9和圖10給出的是當(dāng)λ≠1且δ<0時包絡(luò)線對應(yīng)的圖象，由于當(dāng)點B在橢圓內(nèi)部時，直線BP和BQ與橢圓共產(chǎn)生了四個交點，故圖9和圖10疊合在一起才是完整的包絡(luò)線圖象．

圖9 圖10

至此，我們已經(jīng)對這道試題及其推廣形式有了比較完整的認(rèn)識. 在雙曲線中也有類似的結(jié)果，限于篇幅我們就不再贅述了．