王明泉 周心如 李博文

（1、南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 南京210044 2、南京信息工程大學(xué)大氣科學(xué)學(xué)院，江蘇 南京210044 3、南京信息工程大學(xué)計(jì)算機(jī)與軟件學(xué)院，江蘇 南京210044）

1 問(wèn)題重述

1.1 問(wèn)題背景

回流焊過(guò)程是集成電路板等電子產(chǎn)品生產(chǎn)制造中重要的工藝環(huán)節(jié)之一，它是通過(guò)回焊爐加熱從而達(dá)到自動(dòng)焊接電子元件。此過(guò)程對(duì)回焊爐的各部分溫度保持工藝要求極高，可以說(shuō)焊接質(zhì)量將直接影響到高精度電子產(chǎn)品的可靠度。目前，這方面工藝的關(guān)鍵即設(shè)定回焊爐的爐溫曲線大多通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)試來(lái)進(jìn)行調(diào)控的。

從回焊爐截面角度進(jìn)行觀察，其內(nèi)部設(shè)置分為4 個(gè)功能區(qū)，包括預(yù)熱區(qū)、恒溫區(qū)、回流區(qū)和冷卻區(qū)。傳送帶勻速將電路板送入回焊爐內(nèi)進(jìn)行加熱焊接。回焊爐也可以分為11 個(gè)長(zhǎng)度為30.5cm 的小溫區(qū)，相鄰小溫區(qū)間隔5cm，在加熱區(qū)外有爐前、爐后兩長(zhǎng)度為25cm 的區(qū)域。生產(chǎn)車(chē)間溫度保持250C 不變，回焊爐內(nèi)空氣溫度也會(huì)在短時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定，以保證正常的焊接過(guò)程。

1.2 需解決的問(wèn)題

通過(guò)建立合適的數(shù)學(xué)模型，在設(shè)定的各溫區(qū)溫度和傳送帶速度確定下，給出焊接區(qū)域中心的溫度變化情況，并列出具體小溫區(qū)的焊接區(qū)域中心溫度。

2 問(wèn)題分析

在已知各溫區(qū)溫度設(shè)定值的條件下，要求相應(yīng)焊接區(qū)域中心的溫度變化情況?？紤]到幾個(gè)溫區(qū)的相互影響、相互關(guān)聯(lián)，以及傳送帶運(yùn)送電子板勻速過(guò)爐經(jīng)過(guò)溫度不同的大溫區(qū)過(guò)程可看作是爐內(nèi)空氣與集成電子板焊接區(qū)域的熱傳導(dǎo)過(guò)程，可以以此建立熱傳導(dǎo)偏微分方程解釋該過(guò)程焊接區(qū)域中心溫度變化情況。依據(jù)題中給出某次實(shí)驗(yàn)的小溫區(qū)設(shè)定溫度及附件中在該條件下的焊接區(qū)域中心溫度隨時(shí)間變化數(shù)據(jù)，可以求出傳送帶經(jīng)過(guò)各小溫區(qū)的時(shí)間及位置。通過(guò)分析得出此類(lèi)情況為第三類(lèi)邊界條件，基于傅里葉熱傳導(dǎo)方程和牛頓冷卻定律建立不同外界溫度下的熱傳導(dǎo)模型。未知參數(shù)可以通過(guò)反演求得，針對(duì)問(wèn)題中題設(shè)數(shù)據(jù)求解電子板的焊接中心的溫度分布曲線，則需要應(yīng)用已經(jīng)建立的熱力學(xué)模型對(duì)電路板焊接區(qū)域中心的溫度進(jìn)行正向解。

3 模型假設(shè)

3.1 爐內(nèi)充滿同種空氣（如氮?dú)猓┣曳植季鶆颉?/p>

3.2 回焊爐內(nèi)若干個(gè)小溫區(qū)規(guī)格完全相同，焊接過(guò)程中不存在設(shè)備損壞問(wèn)題。

3.3 焊接區(qū)域的質(zhì)量可靠，即不存在焊接區(qū)域出現(xiàn)故障。

4 問(wèn)題模型的建立與求解

4.1 模型的建立

（1）建立坐標(biāo)系各小溫區(qū)可根據(jù)溫度劃分為7 各大區(qū)域，在這些區(qū)域中，焊接區(qū)域的外界環(huán)境定，以回焊爐前端為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿傳送帶運(yùn)送方向?yàn)閥 軸建立一維坐標(biāo)系Oy。

小溫區(qū)對(duì)焊接區(qū)域的傳熱可看作是一維的熱傳導(dǎo)，以電路板焊接區(qū)域的上表面為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿焊接中心建立一維的坐標(biāo)系Ox。

（2）建立方程

熱量的傳遞通過(guò)溫度反映，焊接區(qū)域由表面到中心的溫度變化過(guò)程與焊接區(qū)域經(jīng)過(guò)小溫區(qū)對(duì)應(yīng)時(shí)間相關(guān)，以小溫區(qū)1-5為例，在小溫區(qū)1-5 中溫度恒定1750C，如圖2 將焊接區(qū)域由上往下分成不同的層面，每個(gè)層面取面積微元dS，各層之間間隔為 Δx ，溫度傳導(dǎo)由x 往 x +Δx方向，溫度變化由u(x,t)變?yōu)閡(x,t+dt)，由傅里葉熱傳導(dǎo)定律可得：

由熱量公式 Q = cmΔ u可得：

其中L 為焊接區(qū)域厚度為0.15mm,t1為傳送帶經(jīng)過(guò)小溫區(qū)1-5 的時(shí)間。

關(guān)于傳送帶過(guò)爐時(shí)間t 的描述，考慮如圖1 建立時(shí)間軸。

圖1 傳送帶過(guò)爐時(shí)間軸

上式即為傳熱二維偏微分方程。

(3)初始條件及邊界條件

由于外界環(huán)境即小溫區(qū)1-5 的溫度設(shè)置為1750C，且電路板過(guò)爐的溫度最初是250C。所以初始條件為：

利用牛頓冷卻定律來(lái)確定邊界條件，流過(guò)第一層上邊界的熱流等于外部空氣和焊接區(qū)域之間交換的熱流，除第一層外的第i 層與與第i+1 層的熱量交換則通過(guò)熱傳導(dǎo)，應(yīng)用第三類(lèi)邊界條件有：

綜上所述，可以得到1-5 小溫區(qū)段的非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)模型如下：

因此小溫區(qū)1-5、6、7、8-9、10-11 的熱傳導(dǎo)模型如下（其中i=1,2,3,4,5）：

（4）不同大溫區(qū)的間隙的模型

此前建系時(shí)對(duì)小溫區(qū)人為分段，應(yīng)用溫度相同的準(zhǔn)則劃分，相同溫度的小溫區(qū)合并溫度段，不同溫度的溫區(qū)之間留有間隙，這些間隙分別存在小溫區(qū)5 與小溫區(qū)6 之間、小溫區(qū)6 與小溫區(qū)7 之間、小溫區(qū)7 與小溫區(qū)8 之間、小溫區(qū)9 與小溫區(qū)10之間，共四個(gè)間隙，每個(gè)間隙長(zhǎng)5cm。這些間隙中熱傳導(dǎo)模型與上述大溫區(qū)段有所區(qū)別。

圖2 間隙表示圖

以間隙1（小溫區(qū)5 與小溫區(qū)6 之間間隙）為例，間隙左邊為小溫區(qū)5 的溫度1750C，間隙右邊為小溫區(qū)6 的溫度1950C，間隙兩側(cè)溫度不一，為更好的過(guò)渡該區(qū)域溫度，采用線性方程對(duì)間隙溫度進(jìn)行描述，間隙中，用一次多項(xiàng)式插值：

其中， y =vt，已知焊接區(qū)域過(guò)間隙的時(shí)間t1，t2，代入方程：

可以解得參數(shù)a，b 的值，確定線性方程：

u (t )= avt +b 。

另外，大溫區(qū) I1, I2, I3, I4,I5；小間隙 D1, D2, D3, D4,D5。間隙溫度確定后，其區(qū)域所帶有的熱量傳遞給焊接區(qū)域，可以代入方程求解：

此模型即為回焊爐對(duì)焊接區(qū)域的熱傳導(dǎo)模型。

4.2 模型的求解

（1）熱傳導(dǎo)方程的處理

上述建立的模型是一系列偏微分方程組，無(wú)法求得它們的解析解。所以此處考慮求得方程的數(shù)值解。此處偏微分方程組中控制方程的形式是拋物方程，邊界條件是線性的。所以對(duì)數(shù)值解的求解考慮采用有限差分法。

時(shí)間方向作向前差分，步長(zhǎng)△t, 空間方向中心差分，步長(zhǎng)△x。

其中，M表示傳送帶過(guò)爐最長(zhǎng)時(shí)間，N 表示電路板焊接區(qū)域厚度。

由差分方程組可知

圖3 向前差分格式

對(duì)微分方程作向前差分格式后，整理得:

上述迭代式表示為差分格式的矩陣：

對(duì)上述矩陣以及邊界條件求解即可得到離散后的所有時(shí)間- 空間節(jié)點(diǎn)上對(duì)應(yīng)的溫度值。由此即可求得一維熱傳導(dǎo)方程組的數(shù)值解。

（2）參數(shù)的計(jì)算

（3）爐溫曲線模型的校對(duì)

根據(jù)附件所給某次實(shí)驗(yàn)中爐溫曲線的數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化處理后，初步觀察發(fā)現(xiàn)，預(yù)熱區(qū)溫度為焊接區(qū)域中心溫度至1500C；為防止焊接區(qū)域熔化，恒溫區(qū)溫度大致穩(wěn)定在1500C-1700C；回流區(qū)的溫度會(huì)在到達(dá)2170C 后繼續(xù)上升一段時(shí)間至溫度峰值；溫度一旦達(dá)到峰值，立即進(jìn)入冷卻區(qū)，溫度最終降至1000C 左右[2]。將反演得到的參數(shù)帶入差分方程中，可以得到速度為78cm/min 時(shí)的溫度情況，與實(shí)際值進(jìn)行對(duì)比，得到如圖4 所示的爐溫曲線對(duì)比圖。由于理論值溫度開(kāi)始的時(shí)間為0s，所以在誤差允許的范圍內(nèi)，該模型能夠較好地反映原始數(shù)據(jù)的溫度走勢(shì)，與實(shí)際真實(shí)數(shù)據(jù)較為接近，收斂性較好。差分的求解在峰值溫度附近出現(xiàn)與實(shí)際值較大的波動(dòng)，原因是傳溫過(guò)程僅存在熱傳導(dǎo)而不存在熱對(duì)流。但這在實(shí)際情況中是不存在的，橫向空氣間溫差的存在一定會(huì)產(chǎn)生對(duì)流，也就是說(shuō)最后的冷卻區(qū)溫度不可能保持在25?C，而模型中將其當(dāng)做5 的250C處理顯然會(huì)在最后的冷卻階段產(chǎn)生較大的誤差。

圖4 過(guò)爐速度70cm/min 爐溫曲線實(shí)際與理論對(duì)比圖

4.3 結(jié)果分析

將從附件中計(jì)算得到的參數(shù)值帶入差分方程中，根據(jù)Fourier 熱傳導(dǎo)定律并結(jié)合電子板在經(jīng)過(guò)各個(gè)小溫區(qū)的初始時(shí)刻、溫區(qū)之間間隔以及回焊爐的邊界熱量交換過(guò)程，采用有限差分法正向求得78cm/min 情況下的爐溫曲線。

在問(wèn)題1 設(shè)定的過(guò)爐速度以及小溫區(qū)溫度值下，畫(huà)出的爐溫曲線走勢(shì)基本與實(shí)際爐溫曲線符合，焊接區(qū)域中心基本平緩升溫，在達(dá)到峰值后冷卻。由此得到題目指定焊接區(qū)域所在溫區(qū)位置點(diǎn)的溫度（表1）。

表1 小溫區(qū)3、6、7 中點(diǎn)、8 結(jié)束處的焊接區(qū)域中心溫度結(jié)果

根據(jù)上述爐溫曲線求出每隔0.5 s 焊接區(qū)域中心的溫度部分結(jié)果（表2）。

表2 過(guò)爐速度78cm/min 每隔0.5s 焊接區(qū)域中心的溫度（部分）

5 問(wèn)題模型的建立與求解

5.1 模型的優(yōu)點(diǎn)

5.1.1 用線性方式處理間隙溫度，更好地模擬回焊爐內(nèi)工作溫區(qū)溫度變化。

5.1.2 運(yùn)用熱傳導(dǎo)模型能夠很好地解釋回焊爐傳熱原理，能夠從機(jī)理分析的角度充分反映各小溫區(qū)設(shè)定溫度是如何影響焊接區(qū)域中心溫度的。

5.2 模型的缺點(diǎn)

5.2.1 忽略回焊爐內(nèi)空氣橫向?qū)α骱途S持一定溫度耗損能量，簡(jiǎn)化熱量來(lái)源。

5.2.2 在運(yùn)用有限差分時(shí)，遍歷步長(zhǎng)選擇0.01，雖然足夠接近真實(shí)值，但與真實(shí)值之間仍存在差距。在誤差分析中，嘗試選擇不同步長(zhǎng)以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜏?zhǔn)確性，雖然能基本解釋步長(zhǎng)對(duì)模型的影響，但是對(duì)于步長(zhǎng)求解精度需要進(jìn)一步分析研究。

5.3 模型的改進(jìn)

5.3.1 在模型求解過(guò)程中對(duì)于偏微分方程的處理，選擇向前差分格式對(duì)傳熱過(guò)程進(jìn)行描述，一定程度上能夠反映其中的機(jī)理，但對(duì)于精度更高要求的熱傳導(dǎo)模型，可能存在更好的方式如中間差分法、迭代法能夠更加準(zhǔn)確地描述這一過(guò)程。

5.3.2 在模型的擬合過(guò)程中，從擬合結(jié)果來(lái)看，前半段的擬合較為貼合實(shí)際，后半段的擬合的誤差較大，這是因?yàn)楹附訁^(qū)域在傳送帶的最后階段接觸到的是空氣，存在熱量交換，所以要得到更加精確的結(jié)果，應(yīng)該對(duì)邊界溫度作出更高的要求，即考慮空氣與焊接區(qū)域的熱量交換情況。