劉紫娟，田文艷

（1.山西工程職業(yè)學(xué)院，山西 太原 030000；2.太原科技大學(xué)，山西 太原 030000）

0 引 言

研究者通過模擬自然界生物的社會行為來構(gòu)造概率搜索算法。基于上述方法來求解優(yōu)化問題的過程，只涉及基本的數(shù)學(xué)操作，因此具有計算復(fù)雜度低、計算速度快等特點。其中最有名的算法是由Kennedy 和Eberhart提出的粒子群算法[1]（Particle Swram Optimization, PSO）。該算法用于搜索并追隨當前狀態(tài)下附近空間中的最優(yōu)粒子。除此之外，還有蟻群算法[2]、人工魚群算法[3]、猴子搜索[4]、狼群搜索[5]、海豚伙伴優(yōu)化[6]等諸多算法。

本文首先介紹了基本的鯨魚算法，詳細分析了該算法的基本原理，并在此基礎(chǔ)上提出了一種改進的鯨魚算法，并用8組測試函數(shù)對其相關(guān)性能進行測試。通過對8組通用測試函數(shù)的仿真可以得出，改進鯨魚算法的收斂速度與收斂精度高于普通鯨魚算法。

1 原 理

鯨魚算法（Whale Optimization Algorithm， WOA）是一種模擬駝背鯨捕食獵物行為的新型元啟發(fā)式優(yōu)化算法。這種新型群體智能優(yōu)化算法于2016年由澳大利亞格里菲斯大學(xué)的Seyedali Mirjalili和Andrew Lewis提出[7]，該算法具有參數(shù)少、操作簡單等優(yōu)點。

1.1 仿生學(xué)原理

駝背鯨通過一種“泡沫網(wǎng)”路徑覓食，即沿著圓圈的氣泡或形如“9”的路徑行進[8]。2013年Goldbogen等研究了從9只獨立的駝背鯨獲得的300個氣泡網(wǎng)的標簽，發(fā)現(xiàn)了與產(chǎn)生泡沫相關(guān)的兩種策略，分別被命名為“盤旋上升”和“雙重循環(huán)”[9]，上述過程可以描述成三個階段，分別為獵物環(huán)繞、泡沫攻擊、搜索獵物，可以建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

1.2 數(shù)學(xué)模型

1.2.1 環(huán)繞獵物

假設(shè)最優(yōu)解為目標獵物的位置，鯨魚向最優(yōu)位置前進的行為可以描述為公式（1）和公式（2）：

圖1（a）表示公式（2）的二維圖。圖中，鯨魚可以根據(jù)目前最好位置(X*, Y*)來更新它的當前位置(X, Y)，即圖中的黑色實心圓標明的點，鯨魚也可以通過調(diào)整和向最優(yōu)解附近靠近。圖1（b）表示公式（2）的三維圖。鯨魚可以通過定義的到達圖中任意位置。

1.2.2 泡沫攻擊

通過縮水式環(huán)繞和螺旋位置更新兩種機制，將鯨魚的泡沫網(wǎng)行為轉(zhuǎn)化為數(shù)字模型。

（2）螺旋位置更新：這種機制的行進過程可以表示為如圖2（b）所示。用這種方法可以計算出鯨魚(X, Y)與獵物(X*, Y*)之間的距離。螺旋位置更新如公式（5）：

圖1 二維和三維位置向量和它們可能的位置

圖2 鯨魚的泡沫網(wǎng)機制

鯨魚以螺旋式方法游向獵物的同時還要收縮包圍圈。為了模擬這種行為，假設(shè)鯨魚以pi的概率按照公式（2）執(zhí)行縮水式環(huán)繞，那么它就會以1-pi的概率按公式（5）進行螺旋位置更新。

1.2.3 搜索獵物

圖3 鯨魚算法的搜索機制

1.3 算法優(yōu)化

通過以上描述可以發(fā)現(xiàn)，WOA算法對參數(shù)的隨機性有較大依賴，因此在實際計算過程中，該算法存在收斂精度低、收斂速度慢等缺點。

Shi Y等對粒子群算法進行了分析并引入慣性權(quán)重因子ω，使粒子群算法能夠快速收斂于全局最優(yōu)解，并分析指出全局搜索在較大慣性權(quán)重下具有優(yōu)勢，局部搜索在較小慣性權(quán)重下具有優(yōu)勢[10]。根據(jù)上述理論，本文對WOA引入慣性權(quán)重因子ω，得到鯨魚優(yōu)化算法（IWOA），可得公式（8）：

式中：ωmax為慣性權(quán)重因子的最大值（0.08）；ωmin為最小值（0.01）；n為迭代次數(shù)；Nmax為最大迭代次數(shù)。

綜合公式（2）和公式（5）可以得到優(yōu)化的位置更新：

式中，p∈(0, 1)。由公式（8）可知，ω隨迭代次數(shù)的增加而減小，這樣的變化使得迭代前期有利于全局搜索，迭代后期有利于局部搜索。同時，ω下降幅度較大，更有利于算法進行局部尋優(yōu)。

1.4 算法分析

假定最大迭代次數(shù)為Nmax，種群規(guī)模為NP，維度為k，根據(jù)鯨魚算法的原理可以求得原始鯨魚算法的運算量近似等于((5-4pi)k+(1-pi)log NP)·NP·Nmax，在改進算法中，增加慣性權(quán)重因子僅增加了一步乘法運算。所以，加入慣性權(quán)重后鯨魚算法的復(fù)雜度與原始鯨魚算法相當。

2 仿真驗證

選取文獻[11-13]給出的經(jīng)典單峰、多峰以及固定維度的多峰函數(shù)，共計8組。用這8組函數(shù)測試IWOA算法的有效性、可行性及算法的綜合能力。實驗中，種群和最大迭代次數(shù)分別設(shè)置為30和500。圖4（a）所示為WOA和IWOA在相同概率下8組函數(shù)的收斂曲線。其中，實線為WOA的收斂曲線，虛線為IWOA的收斂曲線。

本小節(jié)使用的實驗設(shè)備配置、仿真軟件和全局參數(shù)如下。

（1）操作系統(tǒng)：Windows 10；

（2）處理器：Inter（R）Core（TM）i5-5200U處理器；

（3）主頻：2.2 GHz；

（4）內(nèi)存：4 GB；

（5）仿真實現(xiàn)軟件：MATLAB R2014b；

（6）初始化種群規(guī)模：30；

（7）最大迭代次數(shù)：500；

（8）運行次數(shù)：30。

從圖4（a）可以看出，WOA在初期迭代過程中有些魯莽，后期慢慢收斂。對于函數(shù)而言，IWOA比WOA有更快的收斂速度，同時收斂精度更接近理論上的最優(yōu)解。表1所列為WOA與IWOA進行30次迭代所需用時的平均值。表2所列為不同概率下的WOA與IWOA的性能比較。

從表1中可以看出，IWOA平均耗時與WOA具有相同的數(shù)量級，這也充分證明兩種算法具有相同的復(fù)雜度。

不同概率對IWOA兩個階段會產(chǎn)生不同的影響，同時還會影響算法的整體性能。設(shè)p=0.3、0.5、0.8，對IWOA進行性能測試，并分析各自達到最優(yōu)解時的迭代次數(shù)。圖4（b）中橫坐標表示迭代次數(shù)，縱坐標表示目前達到的最優(yōu)解。

圖4 收斂曲線

表1 相同概率下的WOA與IWOA平均每次迭代所需用時

表2 不同概率下的WOA與IWOA的性能比較

表2記錄了不同概率下8組函數(shù)各自尋優(yōu)時長的平均值（avg）和方差（std），以及IWOA獲得最優(yōu)解所需最大迭代次數(shù)（C.I）。表中粗體字為最好結(jié)果。

由表2可知，IWOA相比WOA有較為明顯的優(yōu)勢，而且不同概率的影響也不同，但總體而言，IWOA在概率為0.5時性能最好。單峰函數(shù)在三種不同概率下都能找到全局最優(yōu)解，對于F1和F2而言，概率為0.5時的迭代次數(shù)最少；對于F3和F4而言，概率為0.3時的迭代次數(shù)最少。多峰函數(shù)在三種不同概率下也可以找到全局最優(yōu)解，并且概率為0.5時的迭代次數(shù)最少。固定維度多峰函數(shù)在不同概率下的平均值以及優(yōu)化不太明顯，但在概率為0.3時也可以得到最少迭代次數(shù)。

通過對WOA、IWOA以及蝙蝠算法（BA）的比較來驗證IWOA的有效性實驗結(jié)果，具體見表3所列。

表3 三種算法對基準函數(shù)的運行結(jié)果

單峰函數(shù)只有一個全局最優(yōu)解。從表3可以看出，IWOA相比WOA和蝙蝠算法（BA）具有更低的尋優(yōu)時長平均值和方差。

與單峰函數(shù)不同的是，多峰函數(shù)有多個局部最優(yōu)解，且其最優(yōu)解的數(shù)量會隨著問題規(guī)模的增加而呈指數(shù)增長。因此，這種測試函數(shù)對用于評估算法的探索能力非常有效。根據(jù)表3中對多峰函數(shù)（F5～F8）的仿真可知，IWOA具有很好的探索能力。

3 結(jié) 語

本文介紹了一種群體智能優(yōu)化算法—WOA。WOA具有參數(shù)少、操作簡單等優(yōu)點，在此基礎(chǔ)上，利用粒子群算法中的慣性權(quán)重因子對鯨魚算法進行改進，并給出了IWOA的數(shù)學(xué)模型。隨后，分別利用IWOA、WOA、蝙蝠算法（BA）對8組函數(shù)進行仿真，做橫向與縱向?qū)Ρ葘嶒灡砻?，IWOA在收斂速度和收斂精度方面相比WOA和蝙蝠算法（BA）有較為明顯的提升，同時也充分證明了算法改進后的有效性和可行性。