宋 櫻

（江蘇大學(xué)電氣信息工程學(xué)院 鎮(zhèn)江 212013）

1 引言

Wiener模型是一種模塊化的非線性系統(tǒng)，其中線性時不變動態(tài)子系統(tǒng)與非線性無記憶塊串聯(lián)。在實(shí)際工程應(yīng)用中一大類非線性系統(tǒng)都可以通過具有任意高精度的Wiener模型近似得到，因此Wiener模型廣泛應(yīng)用于不同的科學(xué)和工程領(lǐng)域［1］。

許多工業(yè)過程本質(zhì)上是非線性的，為了實(shí)現(xiàn)所需的系統(tǒng)性能，需要采用基于非線性過程模型的高級控制方法。關(guān)于Wiener系統(tǒng)的辨識問題已經(jīng)研究了數(shù)十年，并演化出許多辨識方法［2］。例如，基于相關(guān)性分析［3］、非線性優(yōu)化等方法［4］，對于Wiener模型非線性模塊或其逆函數(shù)的建模通常采用分段線性函數(shù)［5］、多項(xiàng)式［6］、最小二乘支持向量機(jī)［7］表示，而線性部分大多采用有限脈沖響應(yīng)模型［8］、狀態(tài)空間模型［9］或廣義正交基函數(shù)［10］。但是當(dāng)系統(tǒng)的回歸量與系統(tǒng)干擾有關(guān)時，其參數(shù)估計效果不好。且大多數(shù)研究是針對無噪聲過程［11］或帶有輸出噪聲的Wiener模型［12］，對于帶有中間噪聲的Wiener模型研究內(nèi)容較少，而在實(shí)際過程中，中間噪聲會隨著非線性模塊的增益對系統(tǒng)造成很大的干擾，且這部分噪聲難以消除。因此為了得到一致的參數(shù)估計，本文采用CSA-RLS算法對Wiener模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)進(jìn)行辨識。

2 問題描述

假設(shè)非線性函數(shù)f(z2)連續(xù)、單調(diào)且存在反函數(shù)；線性部分的輸出擾動{ε(k)}為一個均值為0，方差為的高斯白噪聲，并且與輸入信號u(k)無關(guān)；

圖1 含中間噪聲的Wiener系統(tǒng)

用高階ARX模型來近似Wiener模型的線性部分：

又因?yàn)榉蔷€性部分可逆，因此z2(k)=f-1(y(k))，式（1）則可以表示為

那么定義模型參數(shù)估計損失函數(shù)為

對于Wiener模型采用三次樣條函數(shù)對非線性模塊反函數(shù)進(jìn)行擬合：

其中，y2，y3，…，ynγ-1是內(nèi)部聚點(diǎn)，且各聚點(diǎn)滿足y1=ymin

令A(yù)n(q)=1，則對于線性模塊，用有限脈沖響應(yīng)逼近其傳遞函數(shù)

根據(jù)式（5）和式（6）可以得到

那么Wiener模型的參數(shù)化表示為

則Wiener模型的參數(shù)辨識問題就轉(zhuǎn)換為利用觀測到的參數(shù)集{u(k)，y(k)}估計參數(shù)θ。

3 CSA-RLS算法

為了獲得一致的參數(shù)估計，文章采用CSA-RLS算法參數(shù)Wiener模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，待估參數(shù)的表達(dá)式可以表示為

其 中：yN=[y(1)y(2) …y(N)]T，φN=[φ(1)φ(2) …φ(N)]T，則參數(shù)表達(dá)式可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為θ=(φTNφN)-1φTNyN，從上述表達(dá)式可知，最小二乘算法要進(jìn)行逆運(yùn)算。在解決多參數(shù)高維度問題時，這將大大增加運(yùn)算量，而利用RLS算法將減少求解過程的計算量，提高算法運(yùn)行速度同時也確保參數(shù)的一致性。

RLS算法在迭代過程中不斷地獲得新的數(shù)據(jù)，并對前一時刻的參數(shù)估計值進(jìn)行修正［13］。隨著觀測數(shù)據(jù)增加，參數(shù)估計值逐漸收斂于參數(shù)真值。k時刻的參數(shù)估計值公式如下所示：

考慮到φk=，yk=，結(jié)合式（9）和式（10），則

令P(k)=(φTkφk)-1，則P(k-1)=(φTk-1φk-1)-1，P(k)=(P-1(k-1)+φT(k)φ(k))-1，根 據(jù) 矩 陣 求 逆 引理［14］，可得RLS算法公式為

式中，K(k)，θ(k)，P(k)分別為增益矩陣、參數(shù)向量和逆矩陣。

噪聲方差用下式估計：

4 模型階次選擇

4.1 線性模塊階次確定

Wiener模型的中間變量由與噪聲干擾不便于測量得到，所以采用傳統(tǒng)的VR方法不能準(zhǔn)確確定線性模塊的模型階次［15］。因此采用OVR的方法，具體實(shí)現(xiàn)過程如下：

令nb=9，根據(jù)式（14）計算中間變量z1(k)的估計值z?1(k)：

其中 △z1(k)=(k)-?(k)，同 理 計 算(nb)=D({Δz2(k)})，則根據(jù)式（16）確定模型階次。

4.2 非線性模塊階次確定

非線性模塊模型階次的準(zhǔn)確與否直接影響了系統(tǒng)模型的精度與計算復(fù)雜度，甚至導(dǎo)致過擬合問題，為了確保模型階次的準(zhǔn)確性本文采用最終輸出誤差準(zhǔn)則（FOE）確定模型階次［16］。

其中，Vεz2o e為使用估計數(shù)據(jù)的輸出誤差（或者仿真誤差）準(zhǔn)則，N為估計數(shù)據(jù)的樣本容量，d為模型參數(shù)個數(shù)。因子一般用來修正過匹配的影響。

5 數(shù)值仿真

考慮如下帶中間噪聲的Wiener系統(tǒng)

其中輸入信號為［0，0.3］之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，ε(k)是均值為0，方差為0.02的高斯白噪聲。數(shù)據(jù)樣本容量為800。

1）線性模塊模型階次確定

從圖2中可以看出，采用的OVR定階方法確定的模型階次在圖形的拐點(diǎn)處，即nb=3，符合實(shí)際模型階次變化，而采用的VR方法確定的nb=4，并不是模型的實(shí)際階次，由此說明采用OVR方法確定模型階次更有效。

2）非線性模塊模型階次確定

在均值為0，方差分別為0.012，0.022，0.032的高斯白噪聲下運(yùn)用最終輸出誤差準(zhǔn)則確定非線性模塊模型階次，從圖3可知，當(dāng)nγ=7時，F(xiàn)OE值最小。但同時也能發(fā)現(xiàn)，隨著噪聲水平的增加，F(xiàn)OE值也會有所增加，但總體而言，采用FOE方法定階的效果是令人滿意的。由此可以確定非線性模塊階次nγ=7，線性模塊階次nb=3。

線性部分估計誤差通過AR E確定為

衡量非線性逼近誤差采用M S E，綜合誤差采用CE確定：

圖2 線性模塊定階圖

圖3 非線性模塊定階圖

圖4 待估參數(shù)變化圖

表1 CSA-LS和CSA-RLS的辨識結(jié)果比較

從圖4中可知，當(dāng)采用CSA-RLS算法辨識參數(shù)線性模塊參數(shù)時，b1，b2，b3分別在115，79，83處收斂，而采用的CSA-LS算法辨識結(jié)果分別在137，188，125處收斂；對于參數(shù)b2，b3，CSA-LS算法并沒有收斂到其實(shí)際值，由此可見CSA-RLS算法在辨識參數(shù)的收斂性和準(zhǔn)確性上要比CSA-LS算法好。表1也可進(jìn)一步地看出，CSA-RLS算法辨識參數(shù)的準(zhǔn)確性比CSA-LS算法辨識結(jié)果更好。由此說明，CSA-RLS算法能有效地提高算法的精確度。

6 結(jié)語

對于帶中間噪聲的Wiener模型辨識問題，文中采用了三次樣條逼近模型的非線性結(jié)構(gòu)，采用有限脈沖響應(yīng)逼近模型的線性部分，其參數(shù)辨識問題則利用RLS算法進(jìn)行辨識。模型的階次確定分別采用OVR和FOE方法定階。算法經(jīng)數(shù)值仿真證明，CSA-RLS算法在辨識問題的準(zhǔn)確度和收斂性上表現(xiàn)效果均好于CSA-LS算法。