江清華,袁文俊

(廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510006)

1 引言

假設(shè)A()是一類定義在單位圓盤:={z:|z|<1}上的解析函數(shù)集合.1914年,Bohr[1]得到了在單位圓盤上的解析自映射f級(jí)數(shù)展開式的模的大小估計(jì).下面是著名的Bohr不等式,如果

那么

Bohr實(shí)際上得到的半徑|z|=,后來Wiener,Riesz和Schur[2?4]分別研究得到了精確的半徑|z|=.Bohr不等式也可以換一種描述,如果

那么

對(duì)于

Bohr不等式的一個(gè)等價(jià)形式

這里的d是歐氏距離.上述不等式描述了解析映射把單位圓盤映射到單位圓盤的邊界上的Bohr現(xiàn)象.最近,Defant等人研究了多維Bohr半徑與局部Banach空間理論之間的關(guān)系,并且獲得了關(guān)于多圓盤Dn[5]對(duì)于n維Bohr半徑的最佳漸近值的估計(jì).

2 預(yù)備知識(shí)

這一節(jié),給出一些相關(guān)記號(hào)和概念.單位圓盤D上的調(diào)和函數(shù)是指復(fù)值函數(shù)

且滿足Laplace方程

u,v均為單位圓盤上的實(shí)值調(diào)和函數(shù).由此f有規(guī)范表示f=h+ˉg,這里的h,g均為單位圓盤上的解析函數(shù),且滿足f(0)=h(0).我們說f在單位圓盤上局部單葉且具有保向性是指其Jacobian行列式Jf(z)>0,或者等價(jià)地說,在單位圓盤上其第二復(fù)特征有此特性|ωf(z)|<1[6].

假設(shè)B)表示一類由函數(shù)ω∈A()且滿足|ω(z)|<1的集合.定義在單位圓盤上的對(duì)數(shù)調(diào)和映射就是一類非線性偏微分方程

的解,其第二復(fù)特征ω∈B().因此Jacobian行列式

當(dāng)f是一單位圓盤上非退化的對(duì)數(shù)調(diào)和映射,有下列表達(dá)式

這里的h,g均屬于A().在文獻(xiàn)[7],作者M(jìn)ao等人對(duì)于非退化的對(duì)數(shù)調(diào)和映射引進(jìn)了Schwarz導(dǎo)數(shù)概念,研究Schwarz引理并獲得了兩種Landau型定理.

如果f是單位圓盤上的非常數(shù)對(duì)數(shù)調(diào)和映射,其僅在z=0處退化,那么f有下列表達(dá)式[8]

此處的m是非負(fù)整數(shù),Reβ>?,h,g均為單位圓盤上的解析函數(shù),滿足h(0)0和g(0)=1,指數(shù)β僅依靠ω(0),有如下關(guān)系式

f(0)0,當(dāng)且僅當(dāng)m=0,有一類單葉對(duì)數(shù)調(diào)和映射僅在原點(diǎn)退化,當(dāng)且僅當(dāng)m=1,也就是說f有下列表達(dá)形式

此處像區(qū)域(hg)()不包含0且g(0)=1.本文中,用記號(hào)表示把單位圓盤映射到星形區(qū)域的單葉對(duì)數(shù)調(diào)和映射集合,且滿足f(0)=0,h(0)=g(0)=1這一類對(duì)數(shù)調(diào)和映射近期被廣泛研究[9?12].

3 主要結(jié)果及其證明

定理 3.1假設(shè)是把單位圓盤D映射到復(fù)平面C的一星形區(qū)域的保向?qū)?shù)調(diào)和映射,那么下面的不等式

成立,并且不等式(2)是精確的.

證首先由[8,定理5.1]可得

其中S?星形函數(shù)類.因此

對(duì)于|z|=r,根據(jù)星形函數(shù)的增長(zhǎng)定理和性質(zhì)可得

又根據(jù)[13,定理2],g(z)可以表示為

所以產(chǎn)生

和

所以結(jié)合(3),(4)可以得到上界

對(duì)于左邊下界的估計(jì),結(jié)合文獻(xiàn)[13,定理2],

經(jīng)簡(jiǎn)單運(yùn)算得出

與此類似|g(z)|的下界

從而有

結(jié)合(6),(7)可以得出

再結(jié)合(5),(8)可以得出不等式(2)成立,為了驗(yàn)證不等式(2)的精確性,可以分別取

證畢.

定理3.2假設(shè)是局部單葉保向?qū)?shù)調(diào)和映射,其表達(dá)式把單位圓盤映射到復(fù)平面一星形區(qū)域,h,g分別為

那么下列兩個(gè)不等式成立

對(duì)于|z|≤,這里的是下面方程

在(0,1)的唯一解;

|z|≤,這里的是方程

屬于區(qū)間(0,1)的唯一解.

證記

根據(jù)文獻(xiàn)[12,定理3.3],

再結(jié)合文獻(xiàn)[13,Corollary 1],有

因此

當(dāng)且僅當(dāng)

Bohr半徑rhβ是下面方程

的唯一正解.與此類似有下列不等式

當(dāng)且僅當(dāng)

的唯一正解,證畢.

定理 3.3假設(shè)是定義在單位圓盤到復(fù)平面上的一星形區(qū)域的局部單葉對(duì)數(shù)調(diào)和映射,那么對(duì)于任意的實(shí)數(shù)s∈,使得

對(duì)于|z|≤rf,該Bohr半徑rf是下面方程

在區(qū)間(0,1)唯一解.

證首先由文獻(xiàn)[12,定理3.3]|ak|≤2+和|bk|≤2?,再結(jié)合文獻(xiàn)[13]給出

因此有

當(dāng)且僅當(dāng)

所以該Bohr半徑rf是方程

的唯一解,證畢.