梁永丁，黎奇升，楊孝斌

（1.吉首大學，湖南吉首 416000；2.凱里學院，貴州凱里 556011）

1 問題提出

《普通高中數(shù)學課程標準（2017 年版）》（下稱《課標》）的頒布實施，強調“提升學生核心素養(yǎng)，學會用數(shù)學的語言表達世界”，并在“數(shù)學學科素養(yǎng)的水平劃分”中，六大核心素養(yǎng)明確了“數(shù)學表達”的具體要求.思維與表達、交流與反思，體現(xiàn)了數(shù)學學科核心素養(yǎng)中的重要內容［1］.可見，新一輪課標更加重視學生的數(shù)學表達能力.

學生數(shù)學表達與交流能力的提高，主要通過數(shù)學課堂教學來實現(xiàn).解題教學是數(shù)學教學中一種極為重要的課型，特別是高三復習階段，基本上都是以解題教學為主，其教學模式大多數(shù)是以教師分析講解為主.就筆者實習學校而言，每周有周考，每半個月有半月考，每月有聯(lián)考或統(tǒng)考，數(shù)學教師除了正常的一輪、二輪復習知識點講解外，還要進行試卷講評，可以說，解題教學占了數(shù)學教學的大部分時間.

在高考復習中，教師們不難發(fā)現(xiàn)，平面解析幾何問題一直都是考生得分的瓶頸，相關內容教師難教、學生難學.在平時的閱卷中發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學生留空白卷，或是寫而不全導致失分.另一方面，平面解析幾何的內容又是高考考查的重點，我們可以通過促使學生有效的表達，來提高學生解析幾何問題的得分率，同時提高學生整個試卷的得分率.

2 數(shù)學表達能力概念的界定

關于數(shù)學表達能力現(xiàn)在沒有統(tǒng)一的界定.有的學者認為數(shù)學表達能力是指“將自己解決問題的觀點、思想、方法、過程等用恰當?shù)臄?shù)學語言準確、流暢地表達出來的能力”［2］；也有學者認為是“運用數(shù)學語言將對數(shù)學對象的思考、解決數(shù)學問題的內隱過程準確流暢‘說’出來的能力，包括口頭表達能力和書面表達能力”［3］；還有學者認為是學習者以數(shù)學知識為依據(jù)，運用邏輯性思維組織語言，以數(shù)學文字的表達形式解決數(shù)學問題能力［4］.

基于上述分析，本研究將數(shù)學表達能力界定為：在學習數(shù)學的過程中，學習者能用數(shù)學語言來書寫數(shù)學問題（即“寫數(shù)學”）、以口頭表達的形式討論數(shù)學問題（即“討論數(shù)學”）的能力.運用數(shù)學語言書寫數(shù)學問題和討論數(shù)學問題的能力，成為評價一個學生學習能力和水平的重要標準.

下面以2019 年全國III 卷理科數(shù)學第21 題教學為例，在進行解法研究的基礎上，談談解題教學中如何培養(yǎng)學生的數(shù)學表達能力.

3 試題呈現(xiàn)

4 教學思考

4.1 注意數(shù)學語言轉換表達，幫助學生理解題意

如果學生數(shù)學語言理解能力低、相互轉換存在困難，會限制他們數(shù)學表達能力的發(fā)展.教學中，時常遇到題目表述學生不易理解，這就要求教師重視語言轉換表達，既可以是符號語言轉譯文字語言或圖式語言，也可以是文字語言轉譯符號語言，還可以是圖像語言轉譯為符號語言、文字語言等，必要時，可以將一種表達問題的數(shù)學語言重組表述，推進數(shù)學課堂教學.

圖1

通過對數(shù)學問題作相應的轉換表達，使得學生聽得懂，想得通，進而“說得出”，讓學生能夠用數(shù)學語言順利地表達數(shù)學問題.

4.2 巧用啟發(fā)語，引導交流表達

教學效果很大程度上取決于教師的表達能力，不僅在口頭表達上做到準確、簡潔、精煉，還在敘述分析推理過程做到層次清楚、邏輯嚴密.但是，高中生數(shù)學表達能力仍然存在許多問題，主要表現(xiàn)在［5］：教師“認為學生的語言感知能力不強，數(shù)學語言的轉化缺乏靈活性”；學生認為“教師為完成教學任務，規(guī)范的數(shù)學表達教授得少”，這些都阻礙了學生數(shù)學表達能力的發(fā)展.

著名教育家、思想家波利亞，他給出了著名的“怎樣解題”表.極為經(jīng)典的是其中的解題提示語：“你必須理解題目”、“未知量是什么”、“已知數(shù)據(jù)是什么”、“條件是什么”、“題設是什么”、“應該從哪里開始”、“能做什么”、“這樣做能得到什么”、“你能清楚地看出這個步驟的正確性嗎，又能證明這個步驟的正確性嗎”、“有什么方法可以利用”等一系列解題提示語［6］.文［6］用實際例子，具體分析了解題提示語的應用，是啟發(fā)學生思考數(shù)學問題、尋找解題方法的典范.例如，在第（I）問教學中，用波利亞的解題提示語進行教學，分析如下：

求什么？——直線AB過定點；其實是求什么？——求拋物線C:x2=2y的弦AB過定點；有哪些條件可以用？——D為直線y=上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A,B；直線的方程如何設？——設為“兩點式”或“斜截式”；直線的斜率怎么找？還有什么條件可以用嗎？——導數(shù)的幾何意義，等等.

在講完第（I）問后，第（II）問也可用波利亞解題提示語進行教學分析，分析如下：

求什么？——求四邊形ADBE的面積；有哪些條件可以用？為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，第（I）問所求得直線AB的方程；還有什么可以用？——不規(guī)則四邊形面積轉化為兩個三角形面積和，三角形面積公式，弦長公式，中點坐標公式，兩直線垂直的性質，等等.

承前所述，根據(jù)題目中的條件或結論（如各種圓錐曲線的性質、弦長公式、中點坐標公式等），利用啟發(fā)性提示語，引導學生在理解題目的過程中抓住題目中有用的信息，理清“有什么”、“求什么”等基本問題.再者，根據(jù)所理清的問題，從記憶中提取解決類似問題的基本解題經(jīng)驗，形成一定的解題思路.

數(shù)學語言的核心是啟發(fā)性提示語，啟發(fā)性提示語是學生弄清數(shù)學問題基礎.在數(shù)學教學中，教師可以“嘗試用‘怎樣解題’的提示語開展教學，利用這些提示語幫助學生理解題意、弄清問題、找到問題的解決辦法.學生在教師的示范和引導之下，能夠學會用怎樣解題提示語解數(shù)學題，并將其逐步內化，最終發(fā)展成為自己的解題提示語”［7-8］.因此，教師在解題教學時，運用解題提示語，讓學生在課堂參與討論，引導學生去思考這個問題，即“想數(shù)學”，在有“想法”的條件下，才有交流與表達的“基礎”.教師學會用解題提示語，是引導學生進行交流表達的重要一步.

4.3 善用思維導圖，幫助學生理清線索

思維導圖，其本身具有結構清晰、簡單易畫、條理分明等特點，容易被學生接受.研究表明，“大部分學生對思維導圖的接受能力很強，而且經(jīng)過長期的學習，思維導圖能夠幫助學生構建知識體系”［9］.因此，在解題教學中，教師可以利用思維導圖，幫助學生形成解題思路，促進邏輯思維能力的建構，這樣，學生對數(shù)學問題想得更清楚，為更好地表達數(shù)學問題奠定基礎.

教師在運用啟發(fā)性提示語進行教學下，激發(fā)了學生產(chǎn)生對同一問題的不同想法，并將這些想法用路向標逐一標出，形成解決問題的思路，即解題思維導圖.因此，思維導圖既能幫助學生理解好數(shù)學問題，又能讓學生在解決問題時有章可循，有利于學生發(fā)散性思維的培養(yǎng)，是學生表達好數(shù)學問題的重要前提.在教師的引導下，由本例題所給出的條件和所求，第（I）問可以得出如圖2 所示的思維導圖，第（II）問可以得出如圖3所示的思維導圖.

根據(jù)思維導圖不難發(fā)現(xiàn)，解決這道高考解析幾何題，第（I）問關鍵就在于求出直線的方程，技巧在于設什么樣的直線方程使得運算簡單；第（II）問中，結合圖1，將所求四邊形面積轉化2個三角形的面積，根據(jù)第（I）問的結論，設出直線的方程，并聯(lián)立直線和曲線的方程，消元化簡為二次方程，這是解決直線與曲線相交常用的方法；要求曲線的弦長，可由弦長公式解得，結合終點坐標公式等，找出已知和未知的關系，最后對參數(shù)進行分析，進而形成解題思路，得出推理過程.

數(shù)學思維能力的核心是邏輯思維能力，邏輯思維是學生養(yǎng)成良好的數(shù)學表達能力的關鍵能力，正所謂“想得清楚，才能說得明白”，運用思維導圖進行思路分析，利于寫出詳細解題過程.

4.4 重書寫規(guī)范，教師應“領航”

在教學實踐中，評閱解析幾何試題時，時常發(fā)現(xiàn)學生書寫不規(guī)范，常見問題如：向量問題，書寫時沒有注意“箭頭”；求導問題，沒有研究函數(shù)的定義域；對于多種條件下，沒有進行分類討論，或討論后最終沒要總結結論；軌跡方程與運動軌跡問題，不知道或混淆兩者的基本表達要求，等等.其實軌跡方程，最后求出方程就可以，對于軌跡，求出軌跡方程，我們還應描述軌跡圖形，注意圖形所有位置是否都是符合.

學生數(shù)學表達能力的培養(yǎng)重在教師的示范.正如文［5］所述，“教師數(shù)學書面表達的優(yōu)劣，直接影響著學生數(shù)學學習的興趣和積極性，會影響著學生對知識的掌握和吸收程度，這就需要教師重視自身的書寫規(guī)范”［5］.因此，教師的書寫規(guī)范程度極其重要.因為學生在考試答題時，需要把解題步驟完整地寫出來.怎樣書寫？怎樣規(guī)范地書寫？教師就要以身作則，做書寫規(guī)范的“領航員”.

圖2

圖3

基于上述認識，教師在解答這類問題時，以啟發(fā)性提示語引導學生“想數(shù)學”，用思維導圖幫助學生理清解題思路，促進學生想清數(shù)學問題，激勵學生去“寫數(shù)學”，教師再規(guī)范書寫表達，讓學生有參考標準去寫，去表達數(shù)學問題.通過循序漸進，來促進學生數(shù)學表達能力的提高.值得注意的是，不是每一道題目都是要老師做書寫示范，而是在典型的題目中去做示范，引領學生書面表達.教師的示范，就是要讓學生學會符號表達、學會作圖、提高運算能力，包括要求構圖合理、表達清晰且符合邏輯、運算結果準確等.在進行本例題教學時，第（I）問規(guī)范解答如下：

更一般地說，“教師在教學中應該發(fā)揮‘教練’的作用，像體育教練那樣善于調動隊員的積極性，有效地做好組織工作，并為各個隊員指明努力的方向，包括一定的示范；也要牢記教練所做的一切都是為了幫助他的隊員更好地掌握相應的‘技能’”［10］.數(shù)學教師規(guī)范表達的意義也就在于努力促進每個學生發(fā)展自身的數(shù)學表達能力，力爭會做的題目拿滿分，做不完整的題拿到高分，難題拿到步驟分，不因書寫失誤而丟分，進一步提高學生的數(shù)學成績，發(fā)展他們的數(shù)學素養(yǎng).

4.5 通過一題多解，提高學生思維的靈活性和表達的豐富性

一題多解即是“以原題為中心，根據(jù)題意從各個核心方面展開深入討論，綜合運用所學到的知識用不同的解題方法去解答題目”［11］.在解決數(shù)學問題時，不同的學生對同一問題的解決，方式方法有所不同，但結果完全相同.教師在解題教學中，利用啟發(fā)性提示語、思維導圖等將數(shù)學問題逐層分析與解決，將零碎的基礎知識聯(lián)系起來，幫助學生拓展解題思路，形成“一題多解”的解題方式，鍛煉學生思維應變性與靈活性.

教學中嘗試“一題多解”進行解題教學，這就要求師生對問題的條件與結論進行深入分析，找到解決問題行之有效的方法，幫助學生找到適合自己的解題辦法，長此以往，學生逐漸靈活運用知識點進行解題，不同層次學生的思維得到不同發(fā)展，從而提高學生的發(fā)散性思維，即培養(yǎng)學生思維的靈活性.

在本題教學時，有了思維導圖幫助學生理清解題思路，在分析過程中，對問題產(chǎn)生一些新的思路，形成了一題多解.本題的另一種解法，敘述如下：

第（I）問解答：

分析得出，一題多解，解題思路完全不同，用到的知識點也不完全相同，但運算的結果一致.例如，在解答本例題第（I）問中，題目已知條件可以推出EM⊥AB，要求中點坐標M中的參數(shù)，可通過或kAB?kEM=-1求得，這就體現(xiàn)了在解答問題時，充分利用與該問題有直接或間接聯(lián)系的知識點，拓展學生的解題思路，再運用數(shù)學語言將解決問題的過程與結果準確地表達出來，這樣，既發(fā)展學生思維的靈活性，也增加數(shù)學表達的豐富性.

5 結束語

不同的時代，對學生數(shù)學表達能力具有不同要求，學生數(shù)學表達能力的培養(yǎng)，是數(shù)學教育的時代課題，也是一道難題.在當今之中國，怎樣促進學生的數(shù)學表達能力的發(fā)展，顯現(xiàn)出中國學生的數(shù)學特色，是值得每個數(shù)學教師都應深思的問題.筆者結合自身在高三一年實習，通過課堂觀察，發(fā)現(xiàn)學生在解析解析幾何問題的表達中流露出的一些問題，結合全國III 卷理科數(shù)學第21 題解法分析，立足教學實際做一些探討.

總之，要想在解題教學中發(fā)展學生的數(shù)學表達能力，教師必須有很強的數(shù)學表達能力.因此，教師教學時，應善于運用數(shù)學教育經(jīng)典理論指導課堂教學，在課堂語言上做文章.即用精準簡練的語言表達，巧用啟發(fā)性提示語引導學生去思考，激發(fā)學生數(shù)學邏輯思維；再者，還要勤于專研數(shù)學問題，在備課中下功夫.備好數(shù)學知識、備精解題方法、備準學生情況，在現(xiàn)有的基礎上，力爭在解法上突破創(chuàng)新，師生努力，積極參與，才能書寫好屬于每一位學生的“數(shù)學心聲”.