王 爍，谷正氣，2，韓征彤，馬曉骙

（1.湖南大學 汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙 410082；2.湖南文理學院洞庭湖生態(tài)經(jīng)濟區(qū)建設與發(fā)展協(xié)同創(chuàng)新中心，湖南常德 415000）

0 概述

桁架優(yōu)化的目的通常為在滿足指定性能要求的同時實現(xiàn)重量最小化。由于在實際工程問題中往往存在離散變量，序列線性規(guī)劃［1］、準則法［2］等成熟的優(yōu)化方法并不適用，因此研究者通常采用遺傳（GA）算法［3］、粒子群優(yōu)化（PSO）算法［4］、螢火蟲（FA）算法［5］等智能算法來解決此類問題。

STORN 等人［6］于1997 年提出的差分進化（DE）算法是較為高效的算法之一。DE 是一種基于種群的全局搜索方法，通過變異、交叉和選擇等步驟將種群進化至最優(yōu)解，具有控制參數(shù)少、收斂速度快、算法穩(wěn)健性強等優(yōu)點［7］。近十年來，已有很多研究人員［8-9］對DE 算法進行了改進，并應用于工程問題中［10-11］。

然而，這些改進多是集中在實驗個體的生成和選擇機制上，對種群規(guī)模NP 的討論則相對較少。NP 對算法性能有顯著的影響，如小規(guī)模種群收斂較快，但容易導致進化早熟收斂或停滯，大規(guī)模種群全局搜索能力較強，但收斂速度慢［12］。文獻［6］給出NP 的參考范圍是5D～10D，其中D為問題的維數(shù)。文獻［13］提出使NP 每隔一定代數(shù)自動減半。文獻［14］提出NP 隨著進化線性減少，其固定參數(shù)無法根據(jù)進化過程自適應調(diào)整。關于NP 的自適應研究相對較少，主要基于以下兩種方法：一種方法［15］是通過比較種群多樣性的實際值與理論值的大小自適應地調(diào)整NP，但其認為種群多樣性理論值應隨著進化過程線性降低至0，與實際情況不符；另一種方法［16-18］是以上一代或幾代最優(yōu)解是否得到了更新為依據(jù)，自適應地調(diào)整NP，文獻［16-17］認為當最優(yōu)解更新時，NP 應減小，而文獻［18］則認為應增大。由于兩者并未互相比較，且各自均包含對DE 算法的其他改進，此種NP 自適應方法的合理性和有效性尚需進一步討論。

此外，在使用智能算法處理桁架優(yōu)化問題時，結(jié)構(gòu)分析往往占據(jù)大部分的計算量。因此，結(jié)構(gòu)分析次數(shù)很大程度上決定算法效率。目前的技術大多通過提高算法自身性能來減少結(jié)構(gòu)分析次數(shù)，而結(jié)合桁架優(yōu)化問題的特點，合理規(guī)避結(jié)構(gòu)分析的工作則較少。文獻［9］使用已知的最接近的目標個體的適應度預估實驗個體的適應度，但該方法在種群規(guī)模不夠大時正確率較低。文獻［19］使用局部代理模型代替部分結(jié)構(gòu)分析，但準確度難以保證。文獻［20］在對粒子群優(yōu)化（PSO）算法的研究中指出，PSO 更新粒子位置只需最佳個體位置，因此無需對目標函數(shù)已經(jīng)大于最佳個體適應度的實驗個體進行結(jié)構(gòu)分析，從而大幅減少結(jié)構(gòu)分析次數(shù)。但由于算法基本原理不同，該方法目前未能應用于差分進化算法中。

本文對基本DE 算法進行改進，提出一種自適應調(diào)整變異策略和種群規(guī)模的改進離散差分進化算法。通過自適應變異策略和種群縮減策略提高算法效率，在選擇階段前舍棄較大的實驗個體以規(guī)避結(jié)構(gòu)分析次數(shù)，采用將數(shù)值間的距離轉(zhuǎn)化為概率的離散化技術來處理離散變量并保持種群多樣性。

1 離散桁架優(yōu)化問題

1.1 優(yōu)化問題描述

桁架優(yōu)化問題旨在使結(jié)構(gòu)重量最小化的同時滿足位移、應力、屈曲等約束，通常包含尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化。其中，尺寸優(yōu)化的設計變量為離散的桿件橫截面積，形狀優(yōu)化的設計變量為連續(xù)的節(jié)點坐標。因此，優(yōu)化問題可以描述如下：

其中，f（x）是表示結(jié)構(gòu)重量的目標函數(shù)，x是包含桁架n個尺寸變量和m個形狀變量的D維向量，ρi和li分別是第i根桿的密度和長度，Δ（x）、σ（x）和λ（x）分別是節(jié)點位移、桿件應力和屈曲應力，應分別在各自的許用范圍［Δ］、［σ］和［λ］內(nèi)，xi是第i個尺寸變量，從許用離散集Xopt中選擇，xj是第j個形狀變量，介于其上下界之間。

1.2 約束處理方法

為處理式（1）中的約束，本文使用Oracle 罰函數(shù)法［21］，將有約束問題轉(zhuǎn)化為無約束問題：

其中，p（x）是約束罰函數(shù)，其表達式為：

其中，Ω、res（x）和α分別是問題的當前已知最優(yōu)解、約束違反總和以及控制參數(shù)，分別由式（4）～式（6）得出：

其中，a=｜f（x）-Ω｜，b=res（x），Ω初值取109，之后根據(jù)求解過程不斷更新，q是優(yōu)化問題的約束個數(shù)，g（xi）是第i個約束函數(shù)，λ是控制約束嚴格程度的常數(shù)，在本文中取10，α根據(jù)情況有4 種取值，目的是使罰函數(shù)過渡平滑且區(qū)分度高。

Oracle 罰函數(shù)法特別適用于智能算法，其優(yōu)點在于控制參數(shù)Ω唯一且簡單、全局搜索能力和穩(wěn)健性強。更加詳細的信息可以參考文獻［21］。

2 差分進化算法

差分進化（DE）算法是最有效的全局搜索方法之一，被廣泛用于解決工程優(yōu)化問題。該算法包括4 個主要階段。

1）初始化

通過從搜索空間中隨機抽樣來創(chuàng)建初始種群。例如，第i個個體xi初始化為：

2）變異

執(zhí)行變異操作，利用每個目標個體xi生成一個變異個體vi。DE 通常使用如下4 種常用的變異操作：

其中，整數(shù)r1、r2、r3、r4、r5從區(qū)間［1，NP］中隨機選擇，并且使得i≠r1≠r2≠r3≠r4≠r5，變異算子F在區(qū)間［0，1］中隨機選擇，xbest是當前種群的最佳個體。如果變量超出邊界，則執(zhí)行下述邊界處理方法：

3）交叉

通過交叉操作替換變異個體的部分元素，創(chuàng)建實驗個體ui。最常見的交叉方法是二項式交叉：

其中，i∈｛1，2，…，NP｝，j∈｛1，2，…，D｝，整數(shù)irand從區(qū)間［1，D］中隨機選擇，交叉算子CR 在區(qū)間［0，1］中隨機選擇。

4）選擇

將實驗個體ui與目標個體xi進行比較，以選擇具有較低目標函數(shù)值f的下一代：

3 改進的離散差分進化算法

本文提出一種改進的離散差分進化（AMPDDE）算法，通過4 項改進處理離散桁架優(yōu)化問題，大幅減少了結(jié)構(gòu)分析次數(shù)。

3.1 自適應變異策略

本節(jié)基于種群多樣性自適應地選擇變異策略。首先參考文獻［22］種群多樣性的方法：

其中，fbest和fmean分別是種群內(nèi)個體目標函數(shù)的最小值與平均值。與其他種群多樣性的表示方法［15，23-24］相比，該方法計算簡單，且無需額外增加計算量。

本文采用如下變異策略：

其中，Pf是變異比例算子，計算公式為：

rand/1 具有很強的全局搜索能力，但收斂速度較慢，而current-to-best/1 具有較快的收斂速度，但容易陷入局部最優(yōu)［25］，Pf以概率的形式控制上述兩種方法的占比，利用delta 在求解過程中總體下降這一趨勢，實現(xiàn)了從注重全局搜索能力到注重收斂速度的平滑過渡。

3.2 自適應種群規(guī)模縮減策略

本節(jié)以減少結(jié)構(gòu)分析次數(shù)為目標，提出一種基于種群多樣性自適應縮減種群規(guī)模的策略，通過三重判定，確保種群在恰當?shù)臅r機舍棄恰當?shù)膫€體以縮減群規(guī)模，旨在減少計算量的同時維持種群多樣性：

其中，diffmin為當前種群內(nèi)個體差異度最小值的估計值，其計算方法為先將種群個體按照適應度排序，然后按照下式計算：

其中，cos為兩個個體作為向量夾角的余弦值，該方法避免了計算兩兩個體之間差異度所需的較大計算量，外部存檔H為diffmin的10 個歷史最低值的集合，當進化代數(shù)不足10 時，取全部歷史值，其長度設為10 是為了在及時更新的同時，中和個別極端值的影響，mean（H）為H中所有元素的算術平均值。當3 個判定全部為真時，舍棄當前種群內(nèi)差異度最小的一對個體中較差的個體xk，并使NP 減1。以上3 個判定具有以下的作用：

1）judge1用于設置NP 下限，以免進化停滯。

2）judge2中Pf與種群多樣性delta 成反比，且隨著進化代數(shù)的增加呈上升趨勢，從而以概率的形式控制求解過程中NP 減小的時機，使得進化前中期NP幾乎不變以保持較高的全局搜索能力，而在后期及時減小以加快收斂并減少結(jié)構(gòu)分析次數(shù)。

3）judge3用于判斷當前種群內(nèi)是否存在高度相似的個體，結(jié)合前面兩重判定，使得每次種群縮減時舍棄的都是高度相似的一對個體中較差的個體，以維持種群多樣性。

選擇舍棄相似個體中的一個而非最差個體的原因在于，進化的前提是存在差分向量，由式（13）可知，變異時所有目標個體均可用于提供符號和數(shù)值隨機的差分向量，與個體是最優(yōu)還是最差無關，但與個體之間是否相似有關。因此，最差個體的價值大于相似個體，舍棄相似個體能減少某些局部最優(yōu)個體及其相似變體迅速控制整個種群，從而使算法具有早熟收斂的可能。

通過上述自適應種群縮減策略，確保種群在恰當?shù)臅r機舍棄恰當?shù)膫€體，從而在減少結(jié)構(gòu)分析次數(shù)的同時，削弱種群縮減對種群多樣性的影響。

3.3 結(jié)構(gòu)分析次數(shù)減少策略

本節(jié)提出一種適用于差分進化算法的減少結(jié)構(gòu)分析次數(shù)的策略：在計算個體適應度前首先計算其目標函數(shù)，并直接舍棄目標函數(shù)大于閾值的個體，從而規(guī)避不必要的結(jié)構(gòu)分析。顯然，閾值越大，誤判率越低，本策略減少結(jié)構(gòu)分析次數(shù)的效果就越弱；當閾值取目標個體適應度的最大值max（fit）時，誤判率減至0。閾值越小，誤判率越大，較小的閾值能夠顯著減少結(jié)構(gòu)分析次數(shù)，但過低的閾值可能導致進化停滯。經(jīng)過實驗，本節(jié)中的閾值取目標個體適應度的中位數(shù)median（fit）與最大值max（fit）這兩者的平均數(shù)。

此外，上述操作導致存留下來的實驗個體的數(shù)量可能少于目標個體，基本DE 的選擇方式不可行，因此本文引入文獻［26］提出的精英選擇技術以適配算法的選擇階段。精英選擇技術的過程如下：首先將實驗個體組成的種群P與目標個體組成的C合并，得到組合種群Q；然后從Q中選擇NP 個最優(yōu)秀的個體進入下一代。精英選擇技術保證優(yōu)秀個體全部進入下一代，能夠加快算法的收斂速度，并且與全局搜索能力強的rand/1 策略配合良好。

3.4 離散變量處理方法

本節(jié)提出一種簡便的連續(xù)變量離散化方法，以將差分進化算法應用于離散變量問題：

其中，xlow和xhigh分別是許用離散集Xopt中與xi，j上下相鄰的元素。與直接離散至最接近的許用離散值的方法［8］相比，本文方法通過將數(shù)值之間的距離轉(zhuǎn)化為概率，盡可能地保留了連續(xù)值xi，j所傳遞的信息，從而有利于保持種群多樣性。

3.5 AMPDDE 算法

本文將上述4 種改進方法集成到DE 算法中，并提出AMPDDE 算法，算法流程如圖1 所示。

圖1 AMPDDE 算法流程Fig.1 Procedure of AMPDDE algorithm

在圖1 中，Itermax是最大迭代次數(shù)，tolerance 是容差，本文取10-6，當種群多樣性delta 低于容差時進化結(jié)束，以避免無用計算。

4 算例分析

本節(jié)將AMPDDE 算法用于求解3 個含有離散變量的桁架優(yōu)化問題，包括10 桿平面桁架尺寸優(yōu)化問題、39 桿空間桁架尺寸和形狀優(yōu)化問題以及200 桿平面桁架尺寸優(yōu)化問題。3 個問題的NP 分別取30、25和40，其余參數(shù)相同，分別為：F=rand［0.4，1］，CR=rand［0.7，1］，Itermax=300。其中，F(xiàn)和CR 的取值范圍均采用廣泛認可的推薦值，NP 初值經(jīng)過測試選取。所有問題均使用Python 3.6.7 實現(xiàn)，其中有限元分析過程調(diào)用了文獻［27］編寫的Feon 框架。每個問題均運行20 次，所得結(jié)果與其他文獻中的研究結(jié)果進行了對比驗證。

4.1 10 桿平面桁架

以10 桿平面桁架尺寸優(yōu)化問題為例，分析NP初值對算法性能的影響，測試算法搜尋全局最優(yōu)解的能力。桁架結(jié)構(gòu)如圖2所示，材料密度為2 768 kg/m3，彈性模量為68.948 GPa，結(jié)構(gòu)受應力和位移約束，所有桿件的許用應力均為±172.369 MPa，所有節(jié)點在x和y方向的許用位移為±5.08 cm，位于節(jié)點2 和節(jié)點4 的豎直向下載荷P大小均為444.822 kN，變量為全部10 根桿的橫截面積，許用離散集為｛10.452，11.613，12.839，13.742，15.355，16.903，16.968，18.581，18.903，19.935，20.194，21.806，22.387，22.903，23.419，24.774，24.968，25.032，26.968，27.226，28.968，29.613，30.968，32.064，33.032，37.032，46.581，51.419，74.193，87.097，89.677，91.613，100.000，103.226，109.032，121.290，128.387，141.935，147.742，170.967，193.548，216.129｝，單位為cm2。該問題已有多種算法研究，如文獻［22］提出的自適應精英差分進化算法（aeDE）、文獻［28］提出的電磁學螢火蟲算法（EFA）等。

圖2 10 桿平面桁架結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of 10-bar plane truss

為分析NP 初值對算法性能的影響，取NP 從10 到40各運行20次，結(jié)果如表1和圖3所示?？梢?，隨著NP的增加，平均結(jié)構(gòu)分析次數(shù)基本呈線性上升，最小重量在NP=25 時達到最低值，而平均重量在NP 達到30 后基本不再變化，且?guī)缀跖c最小重量重合。因此，本文取NP=30，以獲得最優(yōu)解和計算效率的平衡。

表1 NP 初值對算法性能的影響Table 1 Impact of NP initial value on algorithm performance

圖3 NP 對算法性能的影響Fig.3 Effect of NP on algorithm performance

AMPDDE 算法在20 次運行后與其他算法的對比結(jié)果如表2 所示，其中適應度的平均值和最小值曲線如圖4 所示，可見平均值和最小值在中后期高度重疊，說明算法具有較好的穩(wěn)健性。最小重量為2 492.795 kg，與DE［22］、aeDE［22］、EFA［22］等算法相同，均為全局最優(yōu)解；最少結(jié)構(gòu)分析次數(shù)、平均結(jié)構(gòu)分析次數(shù)和標準差分別為1 664、1 754 和7.73，均低于其余算法，說明AMPDDE 算法具有較高的效率和穩(wěn)健性。

表2 10 桿平面桁架尺寸優(yōu)化結(jié)果Table 2 Optimization results of 10-bar plane truss size

圖4 10 桿平面桁架20 次優(yōu)化適應度曲線Fig.4 20 times optimized fitness curve of 10-bar plane truss

4.2 39 桿空間桁架

本文以39 桿空間桁架尺寸和形狀優(yōu)化問題為例，測試算法的收斂速度以及同時處理連續(xù)和離散變量的能力，39 桿空間桁架結(jié)構(gòu)如圖5 所示。桁架結(jié)構(gòu)如圖5（a）所示，節(jié)點坐標如表3 所示，材料密度為7 800 kg/m3，彈性模量為210 GPa，桿件受應力和位移約束，許用應力均為±240 MPa，所有節(jié)點在x、y和z方向的位移均不能超過±4 mm，位于節(jié)點13、14、15 的豎直向下的載荷均為10 kN。該問題共有11 個變量，其中5 個離散變量為桿件1、4、7、10、13 的橫截面積，許用離散集為｛0.1，0.2，…，13｝，單位為cm2；6 個連續(xù)變量為節(jié)點4、7、10 在y軸和z軸的坐標，其上下限分別為：y4，y7，y10∈［0.28，1］，z4∈［0，2］，z7∈［1，3］，z10∈［2，4］，單位為m。桿件橫截面積的對稱性表示為Ai=Ai+1=Ai+2，i=1，4，7，10；Aj=Aj+1，j=13，14，…，38。該問題由文獻［29］提出的改進離散粒子群算法（IDPSO）、文獻［8］提出的改進（μ+λ）-約束離散差分進化算法（D-ICDE）和文獻［30］提出的梯度估計多種群粒子群算法（GEMPSO）等進行分析。

圖5 39 桿空間桁架結(jié)構(gòu)Fig.5 Structure of 39-bar space truss

表3 39 桿空間桁架節(jié)點位置數(shù)據(jù)Table 3 Node position data of 39-bar space truss

AMPDDE 算法在20 次運行后與各算法的對比結(jié)果如表4 所示，其中適應度的平均值和最小值曲線如圖6 所示。20 次運行得到的最小重量為133.131 1 kg，對應結(jié)構(gòu)分析次數(shù)為1 827 次，該次運行的適應度曲線如圖7 所示，最優(yōu)解結(jié)構(gòu)與原始結(jié)構(gòu)的對比見圖5（b）?？梢?，算法在1 000 次結(jié)構(gòu)分析時重量已經(jīng)低于135 kg，而在約1 400 次結(jié)構(gòu)分析后幾乎完全收斂，收斂性良好。顯然，其結(jié)果明顯優(yōu)于最小重量為176.834 kg 的IDPSO［29］；與D-ICDE［8］在1 140 次結(jié)構(gòu)分析后得到140.35 kg 的最優(yōu)解相比，本文算法在相同結(jié)構(gòu)分析次數(shù)時最優(yōu)解更輕，且尚有下探能力，完全收斂后得到的最優(yōu)解輕了5.14%，體現(xiàn)出AMPDDE 算法良好的開發(fā)性；與GEMPSO［30］在8 336 次結(jié)構(gòu)分析后得到133.166 kg 的最優(yōu)解相比，本文算法最優(yōu)解輕了0.034 9 kg，且結(jié)構(gòu)分析次數(shù)遠低于前者，體現(xiàn)出AMPDDE 算法較高的效率。

表4 39 桿空間桁架尺寸和形狀優(yōu)化結(jié)果Table 4 Optimization results of 39-bar space truss size and shape

圖6 39 桿空間桁架20 次優(yōu)化適應度曲線Fig.6 20 times optimized fitness curve of 39-bar space truss

圖7 39 桿空間桁架最優(yōu)解適應度曲線Fig.7 Optimal solation fitness curve of 39-bar space truss

4.3 200 桿平面桁架

本節(jié)討論200 桿平面桁架的尺寸優(yōu)化問題，驗證算法處理大中型多工況問題時的性能。桁架結(jié)構(gòu)如圖8 所示，材料密度為7 833 kg/m3，彈性模量為206.843 GPa，桿件受應力約束，許用應力均為±68.948 MPa。

圖8 200 桿平面桁架結(jié)構(gòu)Fig.8 Structure of 200-bar plane truss

施加載荷分為3 種工況：1）在下列節(jié)點施加大小4.448 kN 方向為x軸正方向的力：1，6，15，20，29，34，43，48，57，62 和71；2）在下列節(jié)點施加大小44.482 kN 方向為y軸負方向的力：1，2，3，4，5，6，8，10，12，14，15，16，17，18，19，20，22，24，26，28，29，30，31，32，33，34，36，38，40，42，43，44，45，46，47，48，50，52，54，56，57，58，59，60，61，62，64，66，68，70，71，72，73，74 和75；3）工況1 和工況2 的疊加。所有桿件被分為29 組，組內(nèi)桿件具有相同的截面積，因此共有29 個離散的尺寸變量。桿件截面積的許用離散集為｛0.645，2.239，2.839，3.477，6.155，6.974，7.574，8.600，9.600，11.381，13.819，17.400，18.064，20.200，23.000，24.600，31.000，38.400，42.400，46.400，55.000，60.000，70.000，86.000，92.193，110.774，123.742，152.774，181.161，217.419｝，單位為cm2。該問題已由文獻［31］提出的改進遺傳算法（IGA）、文獻［22］提出的自適應精英差分進化算法（aeDE）以及文獻［28］提出的電磁學螢火蟲算法（EFA）等進行分析。

AMPDDE 算法在20 次運行后與上述算法的對比結(jié)果如表5 所示，其中適應度的平均值和最小值曲線如圖9 所示。AMPDDE 算法在5 536 次結(jié)構(gòu)分析后得到重量為12 483.447 kg 的最優(yōu)解，明顯優(yōu)于IGA［31］、DE［22］和aeDE［22］等算法。與EFA算法［28］在6 110 次結(jié)構(gòu)分析后得到12 449.563 kg 的最優(yōu)解相比，本文算法最優(yōu)解重了0.27%，但結(jié)構(gòu)分析次數(shù)少了9.39%；平均結(jié)構(gòu)分析次數(shù)稍有增多，但最大重量、平均重量和標準差更低，體現(xiàn)了本文算法具有較好的穩(wěn)健性。

表5 200 桿平面桁架尺寸優(yōu)化結(jié)果Table 5 Optimization results of 200-bar plane truss size

續(xù)表

圖9 200 桿平面桁架20 次優(yōu)化適應度曲線Fig.9 20 times optimized fitness curve of 200-bar plane truss

5 結(jié)束語

為提高離散桁架優(yōu)化問題的計算效率，本文提出一種改進的離散差分進化（AMPDDE）算法來大幅減少結(jié)構(gòu)分析次數(shù)。對基本差分進化算法進行改進，基于種群多樣性自適應地選擇變異策略，根據(jù)個體差異度縮減種群規(guī)模，在結(jié)構(gòu)分析前計算其目標函數(shù)，舍棄目標函數(shù)過大的個體以減少計算量，引入精英選擇技術以適配算法選擇階段，并提出一種將連續(xù)值與鄰近離散值之間的距離轉(zhuǎn)化為概率的離散化方法。通過3 個經(jīng)典桁架優(yōu)化算例對比本文算法與6種傳統(tǒng)算法的性能，數(shù)值分析結(jié)果表明，AMPDDE算法在保證最優(yōu)解質(zhì)量的同時，結(jié)構(gòu)分析次數(shù)明顯少于其他算法。下一步將在尺寸和形狀優(yōu)化的基礎上，使用本文算法對桁架進行拓撲優(yōu)化，以實現(xiàn)更高層次且更全面的結(jié)構(gòu)優(yōu)化。