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        指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C群的次生成元及其性質(zhì)

        2021-01-15 08:20:04趙華新周裕然
        關(guān)鍵詞:記作生成元有界

        周 陽(yáng),趙華新,周裕然

        (延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西延安716000)

        算子半群的生成理論是算子半群的重要內(nèi)容之一,許多學(xué)者對(duì)此作了大量的研究工作。文獻(xiàn)[1-11]分別對(duì)局部有界雙連續(xù)n次積分C半群、n階α次積分C半群、指數(shù)有界雙連續(xù)n次積分C半群、雙參數(shù)n階α次積分C半群以及指數(shù)有界雙連續(xù)α次積分C半群等半群的概念、生成元、預(yù)解集、逼近及其相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行了研究?;谏鲜鑫墨I(xiàn),本文提出了指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C群的定義,并研究了其次生成元的一些性質(zhì)。

        1 預(yù)備知識(shí)

        在本文中,X為無(wú)限維的復(fù)Banach空間,B(X)是X上有界線性算子全體所成的Banach代數(shù),

        D(A)為線性算子A的定義域,設(shè)n∈N,α≥0。

        T=0當(dāng)且僅當(dāng)存在n≥0,使JnT(t)=0,t≥0。

        定義3[1]算子族{T(t)}t≥0?B(X)稱為指數(shù)有界的,如果存在M≥0,ω∈R使T(t)≤Meωt,?t≥0成立。

        2 主要結(jié)果

        定義4 設(shè)n∈N,α≥0,C∈B(X)是單射,算子族{T(t):?t∈R}?B(X)被稱為指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C群,則以下條件成立:

        (2)存在閉線性算子A,滿足

        ?x∈X,t∈R,JnT(t)∈D(A),

        ?x∈D(A),t∈R,

        (3){T(t):?t∈R}?B(X)τ連續(xù),即對(duì)每個(gè)x∈X映射(t→T(t)x)τ連續(xù);

        (5)存在M≥0,ω∈R使T(t)≤Meωt,

        ?t≥0。

        稱A是{T(t):?t∈R}?B(X)的次生成元,把Gτ(M,ω,C,t)記成為X內(nèi)的所有指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C群。

        T(t)是指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群,次生成元是A;當(dāng)t≤0,T(-t)也是指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群,次生成元是-A。

        當(dāng)t≥0時(shí),把T(t)記作T1(t),下面驗(yàn)證T1(t)是指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群,次生成元是A。

        CT1(t)=CT(t)=T(t)C=T1(t)C;

        (2)任意x∈X,t≥0,有

        (3)任意x∈D(A),t≥0,有

        JnT(t)Ax=JnT1(t)Ax。

        所以T1(t)是指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群,次生成元是A。

        當(dāng)t≤0時(shí),把T(t)記作T2(t),設(shè)T2(t)=T(-t),下面驗(yàn)證T2(t)是指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群,次生成元是-A。

        T2(t)C=T(-t)C=CT(-t)=CT2(t);

        (2)任意x∈X,t≥0,有

        AJnT(-t)x=AJnT2(t)x=-AJnT2(u)x,

        t=-u;

        (3)任意x∈D(A),t≥0,有

        JnT(-t)Ax=JnT2(t)Ax=

        -JnT2(u)Ax=JnT2(u)(-A)x,

        t=-u。

        所以T2(t)是指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群,次生成元是-A。

        定理得證。

        由定理1知當(dāng)t≥0時(shí),把T(t)記作T1(t),

        T1(t)是指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群,次生成元是A,則

        任意x∈X,t,s≥0,有

        AJnT(s)T(t)x=AJnT(t)T(s)x=

        AJnT1(t)T1(s)x=AJnT1(s)T1(t)x。

        任意x∈D(A),t,s≥0,有

        JnT(s)T(t)Ax=JnT(t)T(s)Ax=

        JnT1(t)T1(s)Ax=JnT1(s)T1(t)Ax。

        則AJnT(s)T(t)x=AJnT(t)T(s)x=

        AJnT1(t)T1(s)x=AJnT1(s)T1(t)x=

        JnT(s)T(t)Ax=JnT(t)T(s)Ax=

        JnT1(t)T1(s)Ax=JnT1(s)T1(t)Ax。

        由指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群的定義知,對(duì)任意x∈D(A),有

        (1)T1(t)x=T(t)x∈D(A);

        (2)AT1(t)x=AT(t)x=T(t)Ax=T1(t)Ax,

        ?t≥0。

        當(dāng)t≤0時(shí),把T(t)記作T2(t),設(shè)T2(t)=T(-t),T2(t)是指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群,次生成元是-A。

        任意x∈X,t,s≤0,有

        AJnT(-s)T(-t)x=AJnT(-t)T(-s)x=

        AJnT2(t)T2(s)x=AJnT2(s)T2(t)x=

        AJnT2(u)T2(t)x,

        s=-u。

        任意x∈D(A),t,s≤0,有

        JnT(-s)T(-t)Ax=JnT(-t)T(-s)Ax=

        JnT2(t)T2(s)Ax=JnT2(s)T2(t)Ax=

        JnT2(t)T2(u)(-A)x=

        JnT2(u)T2(t)(-A)x,

        s=-u。

        則AJnT(-s)T(-t)x=AJnT(-t)T(-s)x=

        AJnT2(t)T2(s)x=AJnT2(s)T2(t)x=

        AJnT2(t)T2(s)x=AJnT2(s)T2(t)x=

        -AJnT2(u)T2(t)x=JnT(-s)T(-t)Ax=

        JnT(-t)T(-s)Ax=JnT2(t)T2(s)Ax=

        JnT2(s)T2(t)Ax=JnT2(t)T2(u)(-A)x=

        JnT2(u)T2(t)(-A)x。

        由指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群的定義知,對(duì)任意x∈D(A),有

        (1)T2(t)x=T(-t)x∈D(-A);

        (2)(-A)T2(t)x=(-A)T(-t)x=

        T(-t)(-A)x=T2(t)(-A)x,?t≤0。

        定理得證。

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