高 麗，董 娟

(延安大學數(shù)學與計算機科學學院，陜西延安716000)

1 引言及主要引理

不定方程既是數(shù)論的一個主要研究對象，也是研究數(shù)論的重要理論工具。不定方程的研究結(jié)論，不僅有助于數(shù)學各個領(lǐng)域的發(fā)展，并且在其他非數(shù)學的領(lǐng)域中也存在著巨大的應(yīng)用價值。在不定方程的解法問題上，還沒有得到通用的結(jié)論，但總的原則是通過初等方法或者高等方法把所求解的不定方程轉(zhuǎn)化為相對簡單、熟悉的方程進行求解。

設(shè)A∈N，關(guān)于不定方程

x2+A=yn(x，y，n∈N,n≥2)

(1)

整數(shù)解的存在情況，是數(shù)論中的一個重要問題。近年來，許多數(shù)學家對相關(guān)方程進行了探究，并得出了相應(yīng)的結(jié)論。

文獻[1]證明了當A=1時，方程(1)無整數(shù)解；文獻[2]證明了當A=16,n=3時，方程(1)無整數(shù)解；文獻[3]證明了當A=16,n=7時，方程(1)無整數(shù)解；文獻[4]證明了當A=44,n=7時，方程(1)無整數(shù)解；文獻[5]分別證明了當A=4m,m=3,4,5,n=9時，方程(1)當m=4時存在整數(shù)解(x，y)=(±16,2)，而當m=3,5時無整數(shù)解；文獻[6]證明了當A=4m,m=1,2,3,n=15時，方程(1)無整數(shù)解；文獻[7]證明了當A=36,n=17時，方程(1)無整數(shù)解；文獻[8]證明了當A=64,n=17時，方程(1)無整數(shù)解；文獻[9]證明了當A=256,n=7時，方程(1)無整數(shù)解，當A=1024,n=7時，方程(1)同樣無整數(shù)解；文獻[10]分別證明了當A=4,n=5，當A=64,n=5以及當A=64，n=7時，方程(1)均無整數(shù)解。

目前，對于不定方程x2+A=yn的研究較多，但針對當A=256,n=17時，不定方程x2+A=yn的整數(shù)解問題并未做過研究。因此，在本文中主要探究當A=256,n=17時，不定方程x2+A=yn整數(shù)解的情況。

引理1[11]設(shè)M是唯一分解整數(shù)環(huán)，正整數(shù)k≥2，以及α,β∈Z,(α,β)=1，αβ=τk,τ∈M，則有α=ε1μk,β=ε2υk，μ,υ∈M，其中ε1,ε2是M中的單位元素，并且ε1ε2=εk,ε為單位元素。

2 定理及證明

定理不定方程

x2+256=y17,x,y∈Z

(2)

無整數(shù)解。

證明分x≡1(mod2)和x≡0(mod2)兩個方面進行分析：

(1)當x≡1(mod2)時，在Z[i]中(2)式可以等價為

(x+16i)(x-16i)=y17,x,y∈Z。

設(shè) (x+16i)(x-16i)=ε，

由ε|(2x,32i)=2，

可知ε只可取1，1+i，2。

又x≡1(mod2)，則有

x+16i≡1(mod2)，

所以ε≠2。

假設(shè)ε=1+i，則有

N(1+i)|N(x+16i)，

即 2|x2+256。

此情形與x≡1(mod2)產(chǎn)生矛盾，所以

ε≠1+i。

設(shè)ε=1，由此和引理1得

x+16i=(a+bi)17,x,a,b∈Z。

根據(jù)上式可得

x=a17-136a15b2+2380a13b4-12376a11b6+

24310a9b8-19448a7b10+6188a5b12-680a3b14+

17ab16，

(3)

16=b(17a16-680a14b2+6188a12b4-

19448c10b6+24310a8b8-12376a6b10+2380a4b12-

136a2b14+b16)。

(4)

要使(4)式成立，必須有b|16。

因此b的所有可能取值有

b=±1,±2,±4,±8,±16。

下面根據(jù)b的所有可能取值進行分類討論：

1)當b=1時，由(4)式得

15=17(a16-40a14+364a12-1144a10+

1430a8-728a6+140a4-8a2)。

要使上式成立，則必須滿足17|15，顯然這不可能。

因此b=1時不成立。

2)當b=-1時，由(4)式得

-1=a2(a14-40a12+364a10-1144a8+

1430a6-728a4+140a2-8)。

要使上式成立，則必須滿足a2=1。

將a2=1代入上式，有

a2(a14-40a12+364a10-1144a8+1430a6-

728a4+140a2-8)=15≠-1，

因此b=-1時不成立。

3)當b=2時，由(4)式得

-65528=17(a16-40a14×22+364a12×24-

1144a10×26+1430a8×28-728a6×210+

140a4×212-8a2×214)。

要使上式成立，則必須滿足17|-65528，顯然不可能。

因此b=2時不成立。

4)當b=-2時，由(4)式得

-65544=17(a16-40a14×22+364a12×24-

1144a10×26+1430a8×28-728a6×210+

140a4×212-8a2×214)。

要使上式成立，則必須滿足17|-65544，顯然不可能。

因此b=-2時不成立。

5)當b=4時，由(4)式得

-4294967292=17(a16-40a14×42+364a12×

44-1144a10×46+1430a8×48-728a6×410+

140a4×412-8a2×414。

要使上式成立，則必須滿足17|-4294967292，顯然不可能。

因此b=4時不成立。

6)當b=-4時，由(4)式得

-4294967300=17(a16-40a14×42+364a12×

44-1144a10+1430a8×48-728a6×410+

140a4×412-8a2×414。

要使上式成立，則必須滿足17|-4294967300，顯然不可能。

因此b=-4時不成立。

7)當b=8時，由(4)式得

-281474976710654=17(a16-40a14×82+

364a12×84-1144a10×86+1430a8×88-

728a6×810+140a4×812-8a2×814)。

要使上式成立，則必須滿足

17|-281474976710654，

顯然不可能。

因此b=8時不成立。

8)當b=-8時，由(4)式得

-281474976710658=17(a16-40a14×82+

364a12×84-1144a10×86+1430a8×88-

728a6×810+140a4×812-8a2×814)。

要使上式成立，則必須滿足

17|-281474976710658，

顯然不可能。

因此b=-8時不成立。

9)當b=16時，由(4)式得

-18446744073709551615=17(a16-40a14×

162+364a12×164-1144a10×166+1430a8×

168-728a6×1610+140a4×1612-8a2×1614)。

要使上式成立，則必須滿足

17|-18446744073709551615，

顯然不可能。

因此b=16時不成立。

10)當b=-16時，由(4)式得

-18446744073709551617=17(a16-40a14×

162+364a12×164-1144a10×166+1430a8×

168-728a6×1610+140a4×1612-8a2×1614)。

要使上式成立，則必須滿足

17|-18446744073709551617，

顯然不可能。

因此b=-16時不成立。

因此，當x≡1(mod2)時，不定方程x2+256=y17無整數(shù)解。

(2)當x≡0(mod2)時，若x為偶數(shù)，則y也為偶數(shù)。令

x=2x1,y=2y1,x1,y1∈Z，

則(2)式可等價為

(2x1)2+256=(2y1)17。

整理上式可得

(5)

由上式可知x1為偶數(shù)，令

x1=2x2，x2∈Z，

代入(5)式得

(6)

由上式可知x2為偶數(shù)，令

x2=2x3,x3∈Z，

代入(6)式得

(7)

由上式可知x3為偶數(shù)，令

x3=2x4，x4∈Z，

代入(7)式得

(8)

由上式可知x4為奇數(shù)，令

x4=2x5+1,x5∈Z，

代入(8)式得

由上式等式左邊可知

產(chǎn)生矛盾。

因此，當x≡0(mod2)時，不定方程x2+256=y17無整數(shù)解。

根據(jù)上述各種情況，可得不定方程x2+256=y17無整數(shù)解。