成 建 群

(蘇州健雄職業(yè)技術(shù)學(xué)院中德工程學(xué)院 江蘇 太倉 215411)

0 引 言

銑削仿真就是利用計算機模擬銑刀沿著銑削軌跡與被加工工件(毛坯)之間的相對運動，實現(xiàn)對加工中銑刀移動、銑削等過程的監(jiān)控和驗證[1]。當(dāng)前銑削仿真中幾何模型主要有線框模型、圖像空間模型、實體模型和離散矢量模型[2]。實體模型方法用數(shù)學(xué)模型描述幾何體，保留了全部的數(shù)據(jù)，計算結(jié)果精確可控，可以進行旋轉(zhuǎn)、縮放等幾何變換和數(shù)據(jù)分析測量。但是實體模型在銑削仿真中求交計算量大，仿真速度慢。留量幾何模型基于實體模型方法，以網(wǎng)格來模擬工件表面，通過網(wǎng)格Z方向(或矢量方向)的值來表示工件上留存的材料。仿真時，通過修改網(wǎng)格節(jié)點的Z值來模擬工件表面的變化，簡稱為Z-Map方法。該方法在車削[3]、磨削[4]和銑削[5-6]等仿真中得到了廣泛的應(yīng)用。

在留量幾何模型中網(wǎng)絡(luò)數(shù)量的多少直接關(guān)系到計算量的大小，占用內(nèi)存的多少，響應(yīng)速度的快慢。而實時仿真要求計算速度快、響應(yīng)及時，同時占有內(nèi)存空間小。在銑削仿真時，傳統(tǒng)研究中絕大多數(shù)首先對工件整體進行網(wǎng)格劃分，然后進行仿真計算。本文提出一種二叉樹的網(wǎng)格表示方法，僅僅對需要銑削仿真的區(qū)域進行網(wǎng)格細(xì)分，快速響應(yīng)仿真過程。

1 二叉樹網(wǎng)格表示方法

三角形網(wǎng)格具有模型簡單、仿真精度可控、實時性好、視角連續(xù)可變等優(yōu)點，在加工仿真、虛擬加工領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[7-9]。這里討論的網(wǎng)格均是三角形網(wǎng)格。為了節(jié)省內(nèi)存空間，3D模型用頂點和三角形表示(n個頂點，m個三角形)，即：

(1)

三角形的頂點順序表示三角面的朝外法向。三角形中僅保存頂點的序號，第k+1個三角形頂點為Triangles[3k]、Triangles[3k+1]、Triangles[3k+2]。三角形的邊按頂點順序分別標(biāo)記為0、1、2。同時邊分為父邊(P)、左邊(L)、右邊(R)，與頂點順序一致，如圖1所示。每一個三角形有且僅有一個父邊、左邊、右邊。

圖1 頂點與邊關(guān)系

三角形作為二叉樹的節(jié)點，左邊與二叉樹左節(jié)點的父邊共邊，右邊與二叉樹右節(jié)點的父邊共邊。如圖2所示，三角形1左節(jié)點為三角形2，右節(jié)點為三角形3。進一步可以看出，三角形1的頂點序號為Triangles[0]、Triangles[1]、Triangles[2]，三角形2的頂點序號為Triangles[3]、Triangles[4]、Triangles[5]，三角形3的頂點序號為Triangles[6]、Triangles[7]、Triangles[8]。

圖2 二叉樹構(gòu)成

經(jīng)以上分析，m個三角形構(gòu)成的3D模型可以表示為一個由m個節(jié)點構(gòu)成的二叉樹，每個節(jié)點代表一個三角形，二叉樹的節(jié)點關(guān)系表示了三角形的共邊關(guān)系，即：

(2)

2 二叉樹網(wǎng)格的創(chuàng)建

創(chuàng)建二叉樹網(wǎng)格時，原來所有的三角形構(gòu)成了一個三角形庫(Triangles)。在三角形庫中任選擇一個三角形作為起始三角形，以該三角形任一條邊為父邊，并確定左邊和右邊，得到樹節(jié)點庫(TreeNodes)的第一個樹節(jié)點。尋找與左邊、右邊共邊的另外三角形，該共邊為父邊。再從以此為父邊的新三角形繼續(xù)遍歷查找，直到所有的三角形均查找完成，最終可得到完整的樹節(jié)點庫，即完成二叉樹網(wǎng)格的創(chuàng)建。處理流程如圖3所示。立方體三角形網(wǎng)格按流程圖可以得到如圖4所示結(jié)果，左側(cè)為立方體的網(wǎng)格及三角形標(biāo)識，右側(cè)為該立方體網(wǎng)格的二叉樹。

圖3 二叉樹創(chuàng)建流程

圖4 立方體網(wǎng)格的二叉樹

3 二叉樹網(wǎng)格的劃分

3.1 共邊兩網(wǎng)格單元的劃分

在銑削仿真中網(wǎng)格隨銑削區(qū)域進行細(xì)分，首先就是要對網(wǎng)格單元劃分。相鄰的網(wǎng)格單元劃分，取公共邊中點，原來的兩個三角形劃分為四個三角形，產(chǎn)生一個新的頂點。在網(wǎng)格二叉樹中，相鄰網(wǎng)格有兩種關(guān)系：父子共邊網(wǎng)格和無父子共邊網(wǎng)格。

(1) 父子共邊網(wǎng)格。如圖4所示，網(wǎng)格三角形1和2相鄰，用虛線劃分，生成網(wǎng)格三角形1、2、3、4。網(wǎng)格三角形1的左邊或右邊與網(wǎng)格三角形2的父邊一致。因共邊的端點次序可能不一致，構(gòu)成四種情況?？梢砸勒請D5中結(jié)構(gòu)關(guān)系，修改網(wǎng)格二叉樹數(shù)據(jù)。處理流程如圖6所示。

圖5 父子共邊網(wǎng)格劃分

圖6 父子共邊網(wǎng)格處理流程

(2) 無父子共邊網(wǎng)格。無父子共邊網(wǎng)格處理流程與父子共邊網(wǎng)格處理流程一致，但無父子關(guān)系共邊的三角形因兩個三角形共左邊與共右邊、頂點次序相同與相反共有八種情況(如圖7所示)。劃分網(wǎng)格后，三角形劃分后的二叉樹的結(jié)構(gòu)僅僅與公共邊為左邊還是右邊有關(guān)，不妨稱為左連接、右連接。三角形1劃分后變?yōu)?、3，三角形2劃分后變?yōu)?、4，并且1、3為父子關(guān)系，2、4為父子關(guān)系，可以得到如表1所示的關(guān)系。

圖7 無父子共邊網(wǎng)格劃分

表1 無父子共邊網(wǎng)格劃分

3.2 左右連接關(guān)系分析

如圖8所示，網(wǎng)格中n1、n2的公共邊劃分后產(chǎn)生n1、n2、n3、n4，為了表述方便，不妨記原n1為N1。二叉樹節(jié)點N1進行劃分生成n3，n1與n2共邊，n3與n4共邊，從圖8不難看出對于左連接(僅僅需要考慮n1、n3的關(guān)系)，左邊為公共邊，n3的父節(jié)點為n1，n3的左節(jié)點為n4，n3的右節(jié)點為原n1的右節(jié)點。即得到以下關(guān)系：

(3)

(a) 左連接 (b) 右連接圖8 左右連接關(guān)系

原n1(N1)的右節(jié)點與N1的關(guān)系需要修改為與n3的關(guān)系。若原n1的右節(jié)點的父節(jié)點為原n1，則原n1的右節(jié)點的父節(jié)點為n3。否則，若原n1的右節(jié)點的左節(jié)點為原n1，則原n1的右節(jié)點的左節(jié)點為n3。否則，若原n1的右節(jié)點的右節(jié)點為原n1，則原n1的右節(jié)點的右節(jié)點為n3。即得到以下關(guān)系：

(4)

另外，n1的父節(jié)點保持不變，n1的右節(jié)點為n3，n1的左節(jié)點為n2。即得到以下關(guān)系：

(5)

從圖8不難看出，對于右連接(僅僅需要考慮n1、n3的關(guān)系)，右邊為公共邊，n3的父節(jié)點為n1，n1右節(jié)點為n4，n3的左節(jié)點為原n1的左節(jié)點。即得到以下關(guān)系：

(6)

原n1(N1)的左節(jié)點與N1的關(guān)系需要修改為與n3的關(guān)系。若原n1(N1)的左節(jié)點的父節(jié)點為n1，則原n1的左節(jié)點的父節(jié)點為n3。否則，若原n1的左節(jié)點的左節(jié)點為原n1，則原n1的左節(jié)點的左節(jié)點為n3。否則，若原n1的左節(jié)點的右節(jié)點為原n1，則原n1的左節(jié)點的右節(jié)點為n3。即得到以下關(guān)系：

(7)

另外，n1的父節(jié)點保持不變，n1的左節(jié)點為n3，n1的右節(jié)點為n2。即得到以下關(guān)系：

(8)

根據(jù)以上分析，可以完成左右連接的處理函數(shù)，分別記為：

左右連接形式參數(shù)序列均為n1、n2、n3、n4，表示兩個相鄰節(jié)點劃分后產(chǎn)生四個節(jié)點，并且節(jié)點n1劃分后產(chǎn)生n3，且n1與n2相鄰，n3與n4相鄰。

在應(yīng)用表1關(guān)系時，以表1序號3為例，節(jié)點n1、n2進行劃分產(chǎn)生n3、n4，n1的左邊與n2的右邊共邊，頂點次序相同。構(gòu)造二叉樹關(guān)系時，n1、n3關(guān)系為左連接，參數(shù)為n1、n4、n3、n2，即相當(dāng)于n1劃分后產(chǎn)生n3，且n1與n4相鄰，n3與n2相鄰。調(diào)用過程如下：

LeftLink(n1,n4,n3,n2)

n2、n4關(guān)系為右連接，參數(shù)為n2、n3、n4、n1，即相當(dāng)于n2劃分后產(chǎn)生n4，且n2與n3相鄰，n4與n1相鄰。調(diào)用過程如下：

RightLink(n2,n3,n4,n1)

這樣處理大大簡化了程序判斷，提高了處理效率，節(jié)省了響應(yīng)時間。

3.3 銑削區(qū)域網(wǎng)格的劃分

在銑削仿真時，工件表面需要變化的網(wǎng)格區(qū)域是刀具運動在網(wǎng)格表面的投影區(qū)域。為了分析方便，不妨設(shè)投影區(qū)域為二維點t1、t2圍成的矩形區(qū)域。當(dāng)網(wǎng)格與本區(qū)域相交或在本區(qū)域內(nèi)就需要進行細(xì)分，直到滿足細(xì)分最大面積的要求。

因切削區(qū)域是在工件表面的投影是連續(xù)的，所以從一個與切削區(qū)域相交或在切削區(qū)域內(nèi)的三角形出發(fā)，通過事先構(gòu)造的二叉樹，就可以找到所有的相關(guān)三角形，并進行細(xì)分。為了不使細(xì)長三角形影響仿真效果，在切削區(qū)域內(nèi)劃分的兩個三角形的共邊必須為三角形的最長邊。在切削區(qū)域邊界處，若三角形在切削區(qū)域外或者三角形在切削區(qū)域上的投影面積為0，則該三角形的劃分情況不影響切削仿真，沒有細(xì)長三角形的要求，可以在非最長邊上進行劃分。區(qū)域網(wǎng)格劃分流程如圖9所示。

圖9 區(qū)域網(wǎng)格劃分流程

設(shè)銑削刀具半徑為r，刀具中心由p1沿X軸或Y軸移動到p2(與Z軸運動無關(guān))，則銑削細(xì)分網(wǎng)格區(qū)域t1、t2滿足以下關(guān)系：

(9)

但是，考慮到切削區(qū)域邊緣網(wǎng)格精度必須要將細(xì)分網(wǎng)格區(qū)域擴展一個細(xì)分網(wǎng)格單元。一般情況下，細(xì)分網(wǎng)格單元邊長l與最大細(xì)分網(wǎng)格最大面積S滿足式(10)。l過大造成細(xì)分網(wǎng)格浪費，過小會導(dǎo)致切削區(qū)域邊緣網(wǎng)格拉扯明顯，仿真效果差。

(10)

銑削細(xì)分網(wǎng)格區(qū)域頂點t1、t2修正如下：

(11)

本文在Windows 10環(huán)境下，利用Unity3D實現(xiàn)了3D模型基于二叉樹的網(wǎng)格表示方法。圖10是對單位正方體上t1(0,0)、t2(0.2,0.5)矩形區(qū)域內(nèi)網(wǎng)格進行劃分的效果。可以看出，矩形區(qū)域內(nèi)網(wǎng)格劃分均勻，區(qū)域外網(wǎng)格數(shù)量少，達到了預(yù)期的效果。

圖10 區(qū)域網(wǎng)格的劃分

4 仿真算例

進一步，基于Z-Map方法仿真和本文的網(wǎng)格表示方法可以仿真球頭刀切削立方體毛坯，驗證本文方法的性能。不妨假設(shè)工件為邊長100的立方體，頂點坐標(biāo)為(0，0，0)、(0，100，0)、(100，0，0)、(100，100，0)、(0，0，100)、(0，100，100)、(100，0，100)、(100，100，100)，刀具垂直于工件表面(xoy平面)銑削工件，刀具球頭半徑為2，刀具球心由點(10，3，95)切削到點(10，40，90)。利用本文方法進行區(qū)域網(wǎng)格劃分和全域網(wǎng)格劃分，測試數(shù)據(jù)如表2所示。圖11是單元網(wǎng)格最大面積是1時的區(qū)域網(wǎng)格與全部網(wǎng)格的仿真對比圖。

表2 區(qū)域網(wǎng)格仿真性能比較數(shù)據(jù)

(a) (b)圖11 區(qū)域網(wǎng)格與全域網(wǎng)格仿真

頂點數(shù)量和三角形數(shù)量直接與占用內(nèi)存成正比，頂點數(shù)量和三角形數(shù)量越大占用內(nèi)存越多。用Z-Map方法銑削仿真時，模型上每一個頂點均需要進行判斷或調(diào)整Z值，所以頂點數(shù)量直接關(guān)系到系統(tǒng)響應(yīng)時間。單元網(wǎng)格最大面積越小，仿真精度越高，顯示越精細(xì)。從表2的數(shù)據(jù)可以看出，全域網(wǎng)格仿真響應(yīng)時間對單元網(wǎng)格面積大小非常敏感，采用區(qū)域網(wǎng)格仿真有明顯優(yōu)勢。圖12-圖14為模具仿真加工實例。

圖14 圓底槽仿真加工

5 結(jié) 語

本文提出一種3D模型的網(wǎng)格表示方法，用二叉樹結(jié)構(gòu)表示三角形網(wǎng)格邊的組成關(guān)系，快速實現(xiàn)銑削區(qū)域網(wǎng)格劃分，并基于Unity3D平臺實現(xiàn)了Z-Map方法銑削仿真。結(jié)果表明，用二叉樹結(jié)構(gòu)表示區(qū)域網(wǎng)格劃分相較于全域網(wǎng)格能夠節(jié)省內(nèi)存資源，加快仿真響應(yīng)，提高仿真精度，能夠應(yīng)用于銑削加工仿真過程，滿足實時性要求，有較高的應(yīng)用價值。