孫雅琴

(蘇州市吳中區(qū)木瀆南行中學(xué) 215101)

“深度教學(xué)可以理解為觸及教學(xué)本質(zhì)的教學(xué)”，[1]因此，初中數(shù)學(xué)的深度教學(xué)不僅要求教師傳授數(shù)學(xué)知識,更要引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.通常，問題導(dǎo)向指以解決問題為方向，少做與問題關(guān)聯(lián)不大、不做與問題無關(guān)的無用功.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的問題導(dǎo)向則是走向教學(xué)本質(zhì)的一種引領(lǐng)方式.通過實(shí)踐研究，本文所談的問題導(dǎo)向是指在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，設(shè)置階梯型、體驗(yàn)型、合作型、反思型等能夠讓初中生走向“最近發(fā)展區(qū)”的問題，激發(fā)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識、求證數(shù)學(xué)結(jié)論的思維興趣，提升學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知水平，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維的發(fā)展.

1 設(shè)置階梯型問題，深化數(shù)學(xué)認(rèn)知

深度認(rèn)知有兩大特點(diǎn)：一是對客觀事物有理有據(jù)的解讀；二是對客觀事物本來面貌的探究過程.[2]要實(shí)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)課堂的深度教學(xué)，首先需要讓學(xué)生深化數(shù)學(xué)認(rèn)知，也就是達(dá)到深度認(rèn)知.因此，課堂上教師們不僅要在關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)的高度上把握知識，更要關(guān)注初中數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)性，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，在數(shù)學(xué)的天地里感受，我們不僅僅是知道了什么，而且我們怎么知道了什么.設(shè)置階梯型問題，旨在為學(xué)生的認(rèn)知過程鋪設(shè)臺階，在實(shí)踐中逐步深化認(rèn)知.案例1的問題是筆者在教學(xué)“字母表示數(shù)”時(shí)所設(shè)計(jì)的.

案例1用同樣大小的小正方形紙片，按以下方式拼大正方形.

(1)第①個(gè)圖形有有( )個(gè)小正方形； 第②個(gè)圖形有( )個(gè)小正方形；

圖1

(2)第②個(gè)圖形比第①個(gè)多( )個(gè)小正方形；第③個(gè)圖形比第②個(gè)多( )個(gè)小正方形；第④個(gè)圖形比第③個(gè)多( )個(gè)小正方形；

(3)第2020個(gè)圖形比第2019個(gè)圖形多( )個(gè)小正方形.

(4)根據(jù)第(2)、(3)小題的解題經(jīng)驗(yàn)，你能用數(shù)學(xué)方法來描述這里的規(guī)律嗎？

筆者做此設(shè)計(jì)旨在讓學(xué)生理解 “字母除了可以表示實(shí)際問題中的未知的數(shù)，還能表示問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，感悟字母表示數(shù)的必要性和優(yōu)越性”.(1)、(2)意在讓學(xué)生拼一拼，在拼的過程中激發(fā)興趣，并直觀感知規(guī)律.實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，(1)和(2)學(xué)生都是拼一拼，數(shù)一下就報(bào)答案了；到第(3)題學(xué)生會覺得數(shù)字太大，不可能拼了，學(xué)生觀察之前的拼圖找出規(guī)律：在拼一個(gè)大正方形時(shí)，就是比前面那個(gè)圖形在右側(cè)多一行一豎，而那一行一豎所需的小正方形的數(shù)量和圖形的序號是一樣的，但右上角那一個(gè)是重復(fù)的，所以，第2020個(gè)圖形就是在第2019個(gè)圖形的基礎(chǔ)上再拼一橫行2020個(gè)，一豎列也是2020個(gè)，但最右上角那一個(gè)是重復(fù)的，實(shí)際就是多了(2×2020—1)個(gè).第(4)題在第(3)題的已經(jīng)知道用文字描述規(guī)律的情況下，用數(shù)學(xué)方法來描述，很自然的引出一種簡單方法——用字母表示數(shù)呈現(xiàn)規(guī)律，圖形序號用n來表示的話，第n個(gè)圖形比第(n-1)個(gè)圖形多(2×n—1)個(gè)小正方形.不僅讓學(xué)生感悟用字母表示數(shù)的優(yōu)越性，更是完成了一次從形到數(shù)的建模.

【評析】從(1)、(2)題的簡單數(shù)字，可以直接拼、直接數(shù)，到后來第(3)題雖然數(shù)值較大，但只要是固定的數(shù)，運(yùn)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律總能計(jì)算出來，到第(4)題，顯然用文字描述規(guī)律很繁瑣，引入字母n，一切問題迎刃而解，學(xué)生發(fā)現(xiàn)用字母替換文字描述的規(guī)律最為直接明了，由特殊到一般的數(shù)學(xué)建模過程順利完成.層層遞進(jìn)的四個(gè)階梯型問題的探索，讓學(xué)生逐步感知一些實(shí)際問題中的規(guī)律，很容易發(fā)現(xiàn)，在描述問題規(guī)律的諸多方法中，引入字母表示數(shù)，可以使這個(gè)變化規(guī)律用簡單直接的方式展現(xiàn)出來，在完成問題的過程中，逐步加深對字母表示數(shù)的優(yōu)越性和必要性的認(rèn)知，不知不覺中滲透和感悟.從知識的記憶鞏固走向問題探究，是我們設(shè)計(jì)問題時(shí)必須要遵循的原則.讓學(xué)生以問題為核心開展數(shù)學(xué)探究, 經(jīng)歷思考的全過程，逐步深化認(rèn)知.

2 設(shè)置體驗(yàn)型問題，激發(fā)數(shù)學(xué)思考

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出了“基本活動經(jīng)驗(yàn)”的新目標(biāo)，指出“學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動過程，明確“動手實(shí)踐”也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方式.因此，體驗(yàn)式教學(xué)得到普遍認(rèn)可.深度體驗(yàn)最大的特點(diǎn)是體驗(yàn)、感悟到的東西會在大腦記憶中留下深刻印象，并且隨時(shí)可以回想起曾經(jīng)親身感受過的生命歷程.設(shè)置體驗(yàn)型問題，意在通過學(xué)生的“動手做數(shù)學(xué)”，發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，嘗試歸納結(jié)論，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出結(jié)論，在體驗(yàn)過程中不斷引發(fā)學(xué)生的思考，在思考中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，享受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣.案例2是筆者在教學(xué)“角(第2課時(shí))”時(shí)設(shè)計(jì)的體驗(yàn)型問題.

圖2

案例2每位學(xué)生準(zhǔn)備如圖2的三角板1副，按學(xué)習(xí)小組進(jìn)行拼圖競賽.

1.比賽規(guī)則如下：

(1)用1副三角板拼圖；

(2)1副三角板直接拼出確定度數(shù)的小于平角的角為合格圖形，如圖2的75°的∠ACD；

(3)評分標(biāo)準(zhǔn)：拼成一個(gè)合格圖形得1分，重復(fù)同一個(gè)圖形不給分.

(4)比賽時(shí)間為5分鐘，把拼出的角畫在記錄紙上，并寫出度數(shù)，標(biāo)明字母，列出式子A，如圖2的∠ACD=∠ACB+∠BCD= 75°)，由裁判評分，計(jì)算各組總分.

2.請各小組選擇一張你們小組認(rèn)為最喜歡的圖形，用這個(gè)圖形提出一個(gè)關(guān)于角的度數(shù)的計(jì)算問題，根據(jù)現(xiàn)場提問的實(shí)際效果，由大家投票，得1-3分.

通過動手實(shí)踐，學(xué)生感受到了根據(jù)角的特征，要拼成符合題意的角就要用三角板邊構(gòu)成角的邊，三角形的頂點(diǎn)構(gòu)成角的頂點(diǎn)，所以，一副三角板要拼在一起就要有重合的邊，找到了解決拼圖問題的根本，這個(gè)比賽同學(xué)拼出很多符合要求的角.強(qiáng)化了角是一個(gè)頂點(diǎn)兩條邊拼成，自然今后解決角的計(jì)算問題可以化歸為找角的頂點(diǎn)和兩邊的問題.要求同學(xué)就最喜歡的圖形提出一個(gè)角的計(jì)算問題.同學(xué)們熱情高漲，拼出了各種各樣的圖形，解決方法也各種各樣.特別值得一提的是，有同學(xué)提出角的計(jì)算中比較典型的問題.甲學(xué)生拼了如圖3-1的圖形，提的問題是計(jì)算∠BAB′和∠B′C′C的度數(shù)，這個(gè)∠B′C′C可以看做是一個(gè)平角減去∠B′C′A，這個(gè)題出得非常好，不僅讓同學(xué)們知道拼的角的頂點(diǎn)不一定是三角板頂點(diǎn)與三角板頂點(diǎn)的重合，還可以是一個(gè)三角板的頂點(diǎn)在另一個(gè)三角板的一邊上，用到了一個(gè)隱含的平角；乙學(xué)生拼了如圖3-2的圖形，提的問題是計(jì)算∠BB′D的度數(shù)，也非常好，它的妙處，拼圖時(shí)三角板的頂點(diǎn)沒有與頂點(diǎn)重合，只是重合邊，也用到了一個(gè)隱含的平角，最為可貴的是，可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)圖3-2與圖2的位置上的變化，平移的本質(zhì)初步印象已有.

圖3-1

圖3-2

【評析】競爭意識是新時(shí)代人應(yīng)具備的一種基本素質(zhì)，特別是以小組為單位的競賽，不僅培養(yǎng)了個(gè)人的競爭意識，更能激發(fā)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)意識.初中生比較適合直觀性比較強(qiáng)的體驗(yàn)式教學(xué)方式，合理的競爭機(jī)制可以有效地激勵(lì)學(xué)生主動參與體驗(yàn)，真正做到“做中思，思中悟”.實(shí)踐證明適當(dāng)帶有競爭性地體驗(yàn)型問題，提升了學(xué)生參與體驗(yàn)的熱情，激發(fā)了學(xué)生主動思考的動力.如案例2的拼圖，就是讓學(xué)生在 “做數(shù)學(xué)”的過程中，感悟到完成拼圖的根本要素在哪里，本題的第2個(gè)要求更是讓學(xué)生在動手的基礎(chǔ)上提出問題、解決問題.為了讓小組多得分，學(xué)生往往會更積極地探索著各種不同的結(jié)果，所以會出現(xiàn)圖3-2中計(jì)算∠B′C′C的度數(shù)、圖3-2計(jì)算∠BB′D的度數(shù)，這種高水平的問題.這個(gè)題目完成了，角中的基本計(jì)算問題也就解決了，還為后面的平移做了鋪墊.設(shè)置競賽活動和體驗(yàn)平臺，讓學(xué)生積極動手體驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)知識和本質(zhì)，有效訓(xùn)練學(xué)生多角度思考問題的習(xí)慣，發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

3 設(shè)置合作型問題，構(gòu)建有效合作

孔子說過“ 獨(dú)學(xué)而無友，則孤陋而寡聞”，說明了合作學(xué)習(xí)的重要性.新時(shí)代對提升中學(xué)生的關(guān)鍵能力提出了新的要求，提升學(xué)生的合作意識和合作能力已成為必需.合作就是個(gè)人與個(gè)人、群體與群體之間為達(dá)到共同目的，彼此相互配合的一種聯(lián)合行動的方式.提升學(xué)生的合作能力的前提是學(xué)生之間的合作是有效合作的，要防止偽合作、假討論.有效合作需具備三個(gè)條件：一是一致的目標(biāo)，二是統(tǒng)一的認(rèn)識和規(guī)范，三是相互信賴的合作氣氛.初中數(shù)學(xué)課堂的有效合作的教學(xué)必須真正建立在學(xué)生自主活動的基礎(chǔ)上，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，把學(xué)生的個(gè)性探索與小組的合作探究有機(jī)結(jié)合起來，促進(jìn)學(xué)生的主體性、實(shí)踐能力及合作意識等多方面素養(yǎng)的協(xié)調(diào)發(fā)展.設(shè)置合作型問題，在教學(xué)中慢慢培養(yǎng)和滲透學(xué)生的合作意識，逐步有效提升學(xué)生的合作能力.案例3是筆者在教學(xué)“余角、補(bǔ)角、對頂角 (第1課時(shí))”時(shí)設(shè)計(jì)的問題.

圖4

案例3請各小組結(jié)合對課本和導(dǎo)學(xué)案的預(yù)習(xí)，就導(dǎo)學(xué)案的問題1、2、3進(jìn)行小組討論，對這3個(gè)問題組內(nèi)形成統(tǒng)一的結(jié)論，并討論為幫助同學(xué)正確理解余角的概念想對同學(xué)做出怎樣的提醒.

問題1：

(1)請用量角器測量如圖4的∠α和∠β的度數(shù)(精確到度)，∠α和∠β的度數(shù)之間有什么特殊關(guān)系嗎？

(2)如果保持點(diǎn)D的位置不變，轉(zhuǎn)動上面這個(gè)三角形，猜想∠α和∠β的度數(shù)之間有什么特殊關(guān)系嗎？

(3)能用已經(jīng)學(xué)過的知識來解釋第(2)的猜想嗎？

問題2：

如果，那么這兩個(gè)角互為余角.

問題3：

請同學(xué)們在下面方框內(nèi)畫∠1與∠ 2 ，使它們互為余角.

問題4:判斷下列說法是否正確，正確的在后面的括號內(nèi)打“√”，錯(cuò)誤的打“×”

圖5-1

圖5-2

圖5-3

(1)如圖5-1，點(diǎn)B在直線CD上，且∠ABD=90°，則∠ABE與∠EBD互為余角.

( )

(2)如圖5-2，∠AOC=∠BOD=90°，則∠AOB、∠BOC、∠COD互為余角.

( )

(3)如圖5-3，∠1=25°,∠2=65°，則∠1與∠2互為余角.

( )

筆者所在的學(xué)校堅(jiān)持推行小組合作學(xué)習(xí)，合作前老師都會根據(jù)預(yù)習(xí)完成情況提出合作要求，各組的討論必須在組長的組織之下進(jìn)行，遇到組內(nèi)解決不了的問題，舉手向老師示意.下面是第2組的合作過程：

組長：請C1同學(xué)說說他做的問題1.(一小組6人，為了分組均勻，每組分三個(gè)層次2A、2B、2C，C表示數(shù)學(xué)能力相對弱的，這一組的組長從編號上說是A1)

C1：我測量得到∠α=20°，∠β=70°，發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)度數(shù)加起來是90°.轉(zhuǎn)動上面這個(gè)三角形，我猜想∠α和∠β的度數(shù)之間還應(yīng)該加起來是90°.用已經(jīng)學(xué)過的知識來解釋第(2)的猜想，我不是太清楚.

組長：看了一下，(1)、(2)大家都是對的.B1同學(xué)你能解釋第(3)問嗎？

B1：根據(jù)圖形可知∠α+∠β+ 一個(gè)直角= 一個(gè)平角，所以∠α+∠β=90°.

大家表示同意.

組長：我們看問題2，這個(gè)比較簡單，書本上有，如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，那么這兩個(gè)角互為余角.我看了大家寫的都是對的.請B2同學(xué)展示一下你預(yù)習(xí)的時(shí)候做的第3題.

B2：我畫了一個(gè)直角，然后中間畫了一條射線，所分的角標(biāo)為∠1與∠2就可以了.

組長：B1同學(xué)畫的就是最簡單直接的畫法，兩角的和為一個(gè)直角這兩個(gè)角互為余角.問題4的前兩問大家都做對了.第(1)正確；第(2)題錯(cuò)誤，余角是兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，這里是3個(gè)角就不對了；第(3)題錯(cuò)了3位同學(xué)，C2同學(xué)你為什么認(rèn)為他是錯(cuò)的呢？

C2：因?yàn)檫@題的圖形和之前的都不一樣，是兩張圖，之前的都是在一張圖上.

B2：對哦，我剛剛畫的圖就是一個(gè)直角分的兩個(gè)角.

……暫時(shí)沉默

此時(shí)，組長舉手向老師示意，需要幫助.

師：請同學(xué)們再看一下互為余角的定義，再來考慮這個(gè)問題？

B1：書本上說，如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，那么這兩個(gè)角互為余角.沒有說兩個(gè)角必須在一張圖上.

師：是的，互為余角是兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，只要滿足兩角之和是90°，就可以了，不一定要在一張圖上，也不一定要有公共頂點(diǎn)，與位置無關(guān).

筆者在巡視各個(gè)小組的討論時(shí)，每次會重點(diǎn)關(guān)注某幾個(gè)組，這次就讓第2組把他們小組的合作過程以及得出的結(jié)論在班級內(nèi)進(jìn)行交流.同時(shí)，筆者也在第2組展示結(jié)束后馬上進(jìn)行了點(diǎn)評.因?yàn)閱栴}1的探究，用的兩個(gè)角是有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角，同學(xué)們在預(yù)習(xí)時(shí)對互為余角的兩個(gè)角的理解產(chǎn)生了誤解這是正常的，經(jīng)過大家的自主學(xué)習(xí)和討論發(fā)現(xiàn)，兩角互余的數(shù)學(xué)本質(zhì)為兩個(gè)角的度數(shù)之間的關(guān)系，是兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系與位置無關(guān).這是難能可貴的.

【評析】合作中，組長有條不紊的指揮，大家相互理解、互相支持、共同探討，這才是有效合作.比如這個(gè)第2組的合作，都是在組長的組織下進(jìn)行的，有序發(fā)言，碰到問題，先組內(nèi)商量，有疑問，及時(shí)舉手示意，老師及時(shí)引導(dǎo).老師帶領(lǐng)大家重溫余角的概念，這是一種方法引導(dǎo)，就是告訴學(xué)生碰到問題要依據(jù)課本，根據(jù)概念再進(jìn)行問題解決，此時(shí)在學(xué)生存在困惑的點(diǎn)上老師講解的話語的接受度會明顯高于平常老師直接灌輸式的教學(xué)話語.同學(xué)們在輕松愉快的氛圍下開展小組合作學(xué)習(xí)，讓學(xué)生樂于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，善于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).本課的合作學(xué)習(xí)不僅從探索兩角互余的概念的過程中生成和掌握了互余的定義，也了解了數(shù)學(xué)概念的涵義，更是充分經(jīng)歷了從猜想——?dú)w納——驗(yàn)證的這樣探索過程，初步感受探究法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，這是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律的.

4 設(shè)置反思型問題，培養(yǎng)高階思維

初中數(shù)學(xué)的深度教學(xué)的著眼點(diǎn)在于如何通過教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生的高階思維，從“基于答案”走向“通過答案”，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力.反思是一種深度思考，而深度思考需要一個(gè)前提就是主觀意愿，內(nèi)心要有這個(gè)意愿才能開啟思考之門，所以自主反思的培訓(xùn)必不可少.“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧與反思，它在本質(zhì)上是以科學(xué)的態(tài)度對問題蘊(yùn)含的知識、解題的思想方法、自我的解題能力、解題情感以及解題錯(cuò)誤成因等進(jìn)行反思，用新的視角對解題活動進(jìn)行多維度的再審視，從而加深對問題的理解、優(yōu)化思維、揭示本質(zhì)、探索規(guī)律，這是培養(yǎng)高階思維的一種有效方法.筆者參考波利亞怎樣解題表的回顧部分，專門制定了問題形式的學(xué)生的“解題自主反思評價(jià)表(表1)”，供學(xué)生在完成解題之后，及時(shí)反思.這種反思型問題的設(shè)置給學(xué)生的自主反思提供了載體，指明了方向，學(xué)生在反思中提升數(shù)學(xué)素養(yǎng). 如案例4.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，△PBC的面積最大，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△PBC的最大面積．

表1 解題自主反思評價(jià)表

續(xù)表

【評析】在這個(gè)問題的反思中，看似簡單的課堂留白和發(fā)言，實(shí)際上從不同的角度給學(xué)生創(chuàng)造了思維的梯度和空間.第2小題，大多數(shù)在初步解題時(shí)，都會選擇用已知邊BC與BC邊上的高的乘積除以2的方法直接表示△PBC的面積.但發(fā)現(xiàn)雖然BC邊的長度可算，為定值，但BC邊上的高不方便求.由此，引出間接表示△PBC的面積的方法——分割法.從直接到間接的改變，就是學(xué)生思維方式的改變.對于“嘗試綜合”和“拓展問題”部分的反思問題設(shè)置，有利于逐步培養(yǎng)學(xué)生善于提問、樂于探究、努力求知的積極態(tài)度.特別是，有同學(xué)提出的問題“當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，△PBC的BC邊上的高最大”，這就是初步思路無法解決，但通過前面的解題，可以發(fā)現(xiàn)，初看這個(gè)高不可求，但實(shí)際上發(fā)現(xiàn)，可以用面積反過來表示高.這是真正基于解題的深度思考和反思，提高了學(xué)生數(shù)學(xué)的理性思維.實(shí)踐表明，特別是拓展問題的開放性，能引起學(xué)生極大的探索興趣.對一些結(jié)構(gòu)良好的問題，都要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行評價(jià)，豐富想象，形成層層推進(jìn)的探索.事實(shí)上，“解題自主反思評價(jià)表”的實(shí)施，探索問題背景；明確涉及的數(shù)學(xué)概念、原理；感受直覺思維；找到避免錯(cuò)誤發(fā)生的途徑；提煉思想方法；通過問題的再分析、綜合、拓展等行為，揭示問題的本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)的高階思維，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)比多解幾個(gè)題重要.

深度教學(xué)不是要加深教學(xué)內(nèi)容和難度，問題導(dǎo)向則是深度教學(xué)的一種有效方式，問題是思維的起點(diǎn)，也是深度思考的焦點(diǎn).深度教學(xué)需要深化教學(xué)目標(biāo)，優(yōu)化教學(xué)過程，通過精心預(yù)設(shè)問題、用心構(gòu)建平臺、引導(dǎo)積極參與和深刻感悟，養(yǎng)成學(xué)生善于提問、樂于探究的情感態(tài)度.唯此，才能讓我們的數(shù)學(xué)教學(xué)成為學(xué)生的智慧之旅，讓學(xué)生的思維在課堂上起舞.