李瑞軒，黃云龍，李 源

（西安石油大學(xué)石油工程學(xué)院，陜西西安 710300）

隨著油氣工業(yè)的快速發(fā)展，我國油氣田開發(fā)已經(jīng)進入瓶頸期，從世界經(jīng)濟環(huán)境來看，面對日益嚴峻的資源枯竭、能源危機等問題，國家正在加大對于油氣資源的開發(fā)和利用。我國油氣資源消費量與進口量逐年增加，這一現(xiàn)象表現(xiàn)出對國外資源依賴程度明顯上升，這已經(jīng)影響到國家的經(jīng)濟安全。與世界其他富油地區(qū)相比，中國的石油資源有限且開采技術(shù)難度大，面臨許多世界級技術(shù)難題，若想實現(xiàn)我國油氣自給自足，則必須加大技術(shù)投入，降低生產(chǎn)成本，增加經(jīng)濟效益。通過建立油藏滲流模型，可以預(yù)測未來開采時段油氣水流動情況和儲層變化情況，能夠幫助油藏工程師合理的調(diào)整生產(chǎn)方案，經(jīng)濟高效的開采油氣資源。

文章根據(jù)我國油藏數(shù)值模擬技術(shù)的發(fā)展歷程，將國內(nèi)應(yīng)用于油藏的滲流模型劃分為三類，總結(jié)前人在具體模型發(fā)展上做出的成果與貢獻，旨在分析各自模型發(fā)展的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，探究我國油藏滲流基礎(chǔ)理論與技術(shù)研究進展，把握未來油藏滲流模型發(fā)展趨勢，為我國油藏的高效開發(fā)提供實際依據(jù)。

1 油藏滲流模型簡述

根據(jù)國內(nèi)學(xué)者研究的領(lǐng)域和得到模型所運用的數(shù)學(xué)方法，大致可以分為三類：解析模型、半解析模型和數(shù)值模型。每種模型的代表性成果總結(jié)如下：

1.1 解析模型

解析法通常采用一系列假設(shè)簡化實際油藏，求解的模型較為理想，采用數(shù)學(xué)推導(dǎo)、演繹而求解油藏滲流模型的方法，可取得簡化模型的精確解。

1989 年戴榕菁等[1]采用Weber 變換，得出了有越流的無限大、多層油藏定壓生產(chǎn)的產(chǎn)量相關(guān)函數(shù)和油藏壓力分布的解析解。1990 年張洪亮等[2]考慮了油井表皮系數(shù)，研究了層間越流現(xiàn)象的n 層恒定井底壓力，考慮了層內(nèi)垂向滲透率模型得出三層模型的解析解。1995 年伊?xí)詵|等[3]提出了均質(zhì)油藏?zé)o限大N 層地層試井模型，得出Laplace 空間解和實空間函數(shù)的精確解，分別用拉普拉斯空間解和實空間解對結(jié)果進行驗證。2000 年劉月田等[4]討論了橢圓形區(qū)域含中心點源的位勢流動，采用相似流動替換法得出解析解。文章采用位勢疊加原理并考慮到相互平行的等壓直線邊界間的點源到邊界直線的流動，方法具有其獨創(chuàng)性。2001 年向開理等[5]引入分形幾何理論，考慮到井筒續(xù)流、井筒相分布和油井表皮等的影響，建立了具有不穩(wěn)定滲流效應(yīng)的分形油藏有效井徑模型，并采用Laplace 變換得到了該模型的解析解。2008 年吳小慶等[6]通過對溶洞型油藏的研究，并采用正交變換法建立了相關(guān)試井模型，同時得到其解析解，他們考慮到方程邊界條件的特點，忽略掉重力作用效果將求解偏微分方程初值轉(zhuǎn)化成求解常微分方程初值，對其模型進行了一系列完善和求解。

實際油藏研究中需要考慮的影響因素較多，較為復(fù)雜，而解析法通常不能考慮開發(fā)時間對油藏各項參數(shù)的影響，且求解方法較為單一；再者未能考慮天然裂縫網(wǎng)絡(luò)對油藏滲流的影響，且只能解決穩(wěn)態(tài)單相達西滲流問題，在實際油藏滲流中計算誤差較大。由此油田工作者們引出了半解析模型和更為精確的數(shù)值模型，進一步精確刻畫油田實際情況，對油藏開發(fā)做出更細致的模擬。

1.2 半解析模型

半解析法通常運用點源函數(shù)，將油藏劃分成每一小部分，用函數(shù)描述每一小部分油藏的流動狀態(tài)，之后對每一個劃分的小部分進行疊加，所求出其方程的半解析解。但是半解析法不能很精準(zhǔn)的描述油藏整體滲流。

1990 年虞紹永等[7]根據(jù)在雙滲地層中的段塞流的壓力特征分析，提出了相應(yīng)的滲流模型，對相應(yīng)的模型應(yīng)用了Laplace 變換和數(shù)值反演的方法，并考慮幾種極限狀態(tài)，求出了相對應(yīng)的半解析解。2004 年韓國慶等[8]建立了分支井的半解析產(chǎn)能預(yù)測模型。其中利用格林函數(shù)處理油藏壓力模型響應(yīng)，求解出三個瞬時點源解，之后沿油井軌跡進行積分，求出壓力分布。2006 年郝斐等[9]針對低滲透油藏滲流規(guī)律，引入玻爾茲曼變換，考慮邊界條件，求出了地層壓力分布的函數(shù)。2008 年安永生等[10]根據(jù)油藏的各向異性，利用坐標(biāo)變換的方法將油藏的參數(shù)轉(zhuǎn)化成為同性空間進行求解，再與已有的半解析模型進行耦合，求出其新的預(yù)測模型。2009年鄧玉珍[11]將不穩(wěn)定滲流的過程劃分成每個小時間點，再把每個小時間點的滲流看成穩(wěn)定滲流狀態(tài)。求出每個小時間點的滲流流量和壓力，在同一累加就是總的流量和壓力。以及2009 年吳曉東等[12]使用這種方法求出了多分支水平井半解析產(chǎn)能預(yù)測模型。2015 年楊萬有等[13]針對各向異性蛇曲井的滲流規(guī)律，更新了井筒流動壓力梯度計算方法，與已有的半解析模型進行更好的融合。2015 年孫玉豹等[14]根據(jù)紐曼乘積方法確定源函數(shù)，再利用Laplace 變換、數(shù)值反演等方法求解了油藏半解析解。2015 年賈品等[15]引用Laplace 空間源函數(shù)求得油藏流動解析解。2016 年任宗孝等[16]基于Valko體積源函數(shù)描述縫網(wǎng)的基礎(chǔ)上，建立了致密油藏體積壓裂水平井解析解模型，但此方法假設(shè)縫網(wǎng)太過理想，于是任宗孝[17]在2018 年更新了模型，基于Ozkan 體積源函數(shù)描述縫網(wǎng)的基礎(chǔ)上，又利用“星-三角形”變換方法，建立了致密油藏體積壓裂水平井解析解模型。2017年王家航等[18]利用內(nèi)外邊界Green 函數(shù)建立了致密油藏直井體積壓裂非穩(wěn)態(tài)壓力分析半解析模型。2017 年王家航等[19]還是利用了之前的方法，建立了非均質(zhì)油藏多段壓裂水平井非穩(wěn)態(tài)壓力分析半解析模型。2018年侯紹繼等[20]建立了徑向低滲非Darcy 滲流模型，并利用Laplace 變換結(jié)合無窮級數(shù)法對模型進行了求解。

由此可見，國內(nèi)大多數(shù)學(xué)者都是采用Laplace 變換對油藏滲流方程進行變換并求解。也有一些學(xué)者利用源函數(shù)對油藏滲流方程進行求解。但使用的源函數(shù)不能精準(zhǔn)描述邊界復(fù)雜油氣層儲層。但是半解析法不能用于油藏數(shù)值模擬。

1.3 數(shù)值模型

對于油藏數(shù)值模擬技術(shù)，通過文獻調(diào)研發(fā)現(xiàn)，國內(nèi)外基本都采用兩類模擬油藏的滲流過程的方法，一種是基于多重連續(xù)介質(zhì)滲流理論的方法，另外一種是基于離散裂縫模型的方法。第一種方法將真實裂縫處理成連續(xù)介質(zhì)，將油藏的流動空間采用多重連續(xù)介質(zhì)描述；第二種方法將裂縫處理為離散介質(zhì)，形成離散裂縫模型，此方法的好處在于建立的裂縫能夠最大程度還原真實狀態(tài)。而且連續(xù)介質(zhì)模型還具有處理微小裂縫的優(yōu)點。

隨著我國油氣田開采技術(shù)的快速發(fā)展和對油藏的深入研究，越來越需要更加貼合實際情況的油藏滲流模型。采用的數(shù)值求解方法是將偏微分方程離散后進行計算，通過數(shù)學(xué)運算，進而計算出油藏區(qū)域上每個具體坐標(biāo)點上的值。雖然數(shù)值模擬對方程進行近似處理的時候會存在一定的誤差，得到的是近似解，但這種方法卻比解析模型和半解析模型更能真實地反映出復(fù)雜條件下地層的滲流規(guī)律。早在1953 年，Peacema 等率先將數(shù)值模擬方法應(yīng)用于氣相流動的問題。在此之后，這種模擬方法便大量用于研究油藏滲流規(guī)律。時至今日，各國學(xué)者對于解析模型和數(shù)值模型及其求解方法都進行了大量的創(chuàng)新和改進，使得油藏數(shù)值模擬領(lǐng)域愈漸先進。

2003 年姜漢橋等[21]得出了油藏流體滲流的不完全可逆變形介質(zhì)模型,考慮到Richtmyer 線性化和隱式處理狀態(tài)方程，得出了其滲流模型的數(shù)值解。2004 年何書梅等[22]通過研究強非均質(zhì)油藏板9 斷塊的各項開發(fā)特征，得出了該斷塊油藏的滲流模型，采用邊界控制不規(guī)則網(wǎng)格系統(tǒng)優(yōu)化網(wǎng)格系統(tǒng)和隱式差分方法對該斷塊進行了數(shù)值模擬研究。2004 年王正茂等[23]通過考慮骨架砂剝離情況、體積應(yīng)變現(xiàn)象以及可動砂在孔隙中的沉積對儲層各項物性參數(shù)的影響，導(dǎo)出了出砂儲層物性參數(shù)的動態(tài)模型，隨后采取有限差分法對模型進行求解，并采用有限方法求解了巖土平衡方程，將二者聯(lián)合后求得了模型的數(shù)值解。2004 年劉偉[24]綜合考慮了堵劑驅(qū)油過程中的物理特性，確定了凍膠類堵劑與地層以及儲層內(nèi)流體之間關(guān)系的局部加密網(wǎng)格多輪次調(diào)剖滲流模型，采用行索引存儲方案和預(yù)處理雙共軛梯度算法進行了模型求解。2006 年高慧梅、姜漢橋等[25]通過研究滲透率與壓力的指數(shù)增長規(guī)律，利用邊界元法得出油藏內(nèi)相關(guān)點的壓力，并采用正則攝動法處理方程，得出雙重介質(zhì)油藏的任意形狀應(yīng)力敏感性不穩(wěn)定滲流模型。2012 年張允、薛亮[26]對其致密油藏數(shù)值模擬模型進行有限元離散，通過離散連續(xù)介質(zhì)和采取三角形網(wǎng)格劃分油藏區(qū)域，進而提高了其模型精度。2012年姚軍、劉文超[27]對非達西滲流低滲透油藏動邊界數(shù)學(xué)模型進行坐標(biāo)變換，將其轉(zhuǎn)變?yōu)槎ㄟ吔鐢?shù)學(xué)模型，隨后采取有限差分法和全隱式求解法，得到了定流量內(nèi)邊界與定井底壓力內(nèi)邊界的模型數(shù)值解。2013 年陳忠[28]通過全隱式差分對低滲透油藏油水兩相非線性滲流模型方程進行離散，構(gòu)造了非線性滲流數(shù)值模型，提出擬牛頓法討論數(shù)值模型，并驗證了算法的收斂性，此方法對于低滲透油藏中小規(guī)模數(shù)值模擬收斂速度較快。通過研究低滲透多孔介質(zhì)滲流邊界模型采取空間坐標(biāo)變換法處理模型邊界，并選擇隱式有限差分得出模型的數(shù)值解。2015 年李威威[29]也應(yīng)用隱式有限差分方法對模型進行求解，但應(yīng)用本征正交分解法構(gòu)造函數(shù)對微分方程進行降低方程維數(shù)求解。2018 年劉勇等[30]針對裂縫性油藏求解，針對非結(jié)構(gòu)四邊形網(wǎng)格的計算效率過低的現(xiàn)象，提出了三種提高計算效率的計算方法。2019 年黃迎松[31]對壓裂井組非線性滲流模型進行有限差分求解，其中利用Taylor 公式展開對模型進行線性化處理，之后進行數(shù)值求解。

2 求解非線性偏微分方程的常見方法與研究

2.1 求解非線性偏微分方程的常見方法

近年來我國油藏數(shù)值模擬技術(shù)得到了廣泛的研究和應(yīng)用，各種成熟的商業(yè)軟件不斷推出，為我國油氣田開發(fā)做出了顯著貢獻。而油藏數(shù)值模擬的重點問題在于處理非線性方程的數(shù)值解，現(xiàn)階段常用于求解非線性偏微分方程的數(shù)值近似方法包括有限差分法、有限元法和有限體積法。

有限差分方法（FDM）是采用最早的數(shù)值模擬方法，至今也仍被廣泛應(yīng)用。該方法將求解區(qū)域劃分為性質(zhì)單一的網(wǎng)格，每個網(wǎng)格用單一節(jié)點來表示，利用單一節(jié)點表示求解區(qū)域。有限差分法利用Taylor 級數(shù)展開等方法，每一個控制方程的導(dǎo)數(shù)用每一個節(jié)點的差商值來代替，對方程進行離散化處理，從而建立代數(shù)方程組。該方法直接將微分問題轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，表達形式簡單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值計算方法。

有限元方法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其求解思想是把求解區(qū)域劃分為有限個單元，但每個單元形狀不一，在每個單元內(nèi)，選擇合適的節(jié)點作為求解函數(shù)的插值點，將微分方程改寫成插值函數(shù)的線性表達式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。

有限體積法（FVM）又稱為控制體積法。利用計算流體力學(xué)中的思想，將計算區(qū)域劃分為每個單一的控制體，每一個網(wǎng)格周圍都是一個單一的控制體，對每一個控制體進行積分，得出一組離散方程。其中網(wǎng)格點上的因變量的數(shù)值是未知數(shù)。為了求出控制體積的積分，必須假定數(shù)值在網(wǎng)格點之間的變化規(guī)律。從而對方程進行求解。

通常主要用有限差分法求解微分方程。通過將有限差分網(wǎng)格的疊加，然后利用網(wǎng)格系統(tǒng)對方程進行離散，通常采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，如塊中心網(wǎng)格、點中心網(wǎng)格和徑向網(wǎng)格等。其方法簡單、概念明確，但存在網(wǎng)格取向性嚴重、處理復(fù)雜邊界較為困難、求解精度低等缺點。

有限元方法在處理偏微分方程中計算精度高，且易于處理復(fù)雜邊界，將連續(xù)的模擬油藏空間離散為有限多個單元的組合體，由于單元本身形狀和相互間連接方式的變化，可以對幾何形狀復(fù)雜的儲層進行模擬。并利用片分思想將全域上的未知場函數(shù)由每個單元內(nèi)近似插值函數(shù)來表示，最后通過整體疊加思想進行組裝求解。

為有效利用網(wǎng)格，充分考慮邊界的復(fù)雜性，可見采用有限元方法建立流動方程的數(shù)值計算方式存在明顯優(yōu)勢，其優(yōu)點可概括為：（1）便于對含有復(fù)雜邊界的油藏區(qū)域進行整體剖分；（2）避免了直接構(gòu)建全域近似函數(shù)；（3）處理偏微分方程的計算精度較高。

2.2 有限差分法在油藏研究方面的應(yīng)用成果

饒盛文等[32]考慮到低滲透油藏中存在啟動壓力梯度，故其滲流規(guī)律不再符合經(jīng)典的達西定律，在結(jié)合了啟動壓力梯度和毛管力對滲流的影響因素，建立了徑向水驅(qū)油兩相滲流微分方程，并利用有限差分法進行數(shù)值求解。此外饒盛文[33]通過油水兩相滲流理論和相關(guān)實驗成果，推導(dǎo)建立了致密油藏油水兩相滲流的一般微分方程，并介紹了低滲透油藏油、水兩相滲流公式及求解方法，即采用隱式聯(lián)立求解的方法進行求解。對低滲油藏油水兩相模型的建立、計算方法等方面作了一定深度創(chuàng)新。

2.3 有限元法在油藏研究方面的應(yīng)用成果

有限元法采用若干個互相連接不重合的小單元對求解區(qū)域進行空間離散，后在各個單元內(nèi)選取結(jié)點，進而進行插值并獲得近似函數(shù)，通常由未知場變量函數(shù)在各個單元節(jié)點上的數(shù)值或插值表達單元中的近似函數(shù)。這種方法將一個自由度為無限的連續(xù)區(qū)域轉(zhuǎn)化為有限多個單元集合體，從而通過合并求解。

張允等[26]研究了致密油藏非達西滲流有限元數(shù)值模擬，考慮到有限單元法對復(fù)雜邊界的適用性較好、計算精度較高等特點，研究了油藏非達西滲流數(shù)值模擬方法，并編程了對應(yīng)的數(shù)模軟件。

呂杭[34]把有限元方法應(yīng)用于三維油、水兩相裂縫性油藏，并編寫相應(yīng)的模擬軟件。主要考慮了單滲透率雙孔隙度裂縫模型，將油、水井處理成單元邊界，并采用等參元坐標(biāo)變換對其進行求解，拓展了有限元法在裂縫油藏數(shù)值模擬中的應(yīng)用。

程林松等[35]采用六面體單元對三維直井模型中裂縫性油藏進行了空間離散，應(yīng)用隱式壓力隱式飽和度法和有限元法求解得出了數(shù)值結(jié)果。

蔣廷學(xué)等[36]考慮啟動壓力梯度、油-水兩相流動、變裂縫導(dǎo)流能力等因素，對人工裂縫基于等效滲流阻力法應(yīng)用有限元法進行了離散剖分。

2.4 有限體積法在油藏研究方面的應(yīng)用成果

有限差分方法滿足局部守恒原理，但是對于復(fù)雜邊界儲層問題靈活性較差，難以適用；有限元方法由于基于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，在空間離散上的靈活性增強，但僅符合全局網(wǎng)格內(nèi)的物質(zhì)守恒原則，不能實現(xiàn)局部區(qū)域內(nèi)的流體物質(zhì)守恒，極容易產(chǎn)生數(shù)值解的震蕩現(xiàn)象。而有限體積法結(jié)合了有限差分和有限元法的優(yōu)點，既可確保局部網(wǎng)格內(nèi)的流體流動守恒，同時也能滿足復(fù)雜邊界儲層的問題處理。

呂心瑞[37]在Delaunay 三角形基礎(chǔ)上基于離散裂縫模型構(gòu)建了有限體積控制單元，推導(dǎo)油-水兩相流動控制方程的有限體積數(shù)值格式，對裂縫性油藏油-水兩相流動進行了數(shù)值模擬研究。

張芮菡[38]通過研究有天然大型裂縫的非均質(zhì)性強、尺度變化多的油藏，結(jié)合了有限元法和有限體積法，得出了離散型裂縫的網(wǎng)格模型的解，隨后考慮到物質(zhì)平衡、運動方程、狀態(tài)方程以及連續(xù)性方程，進而得出了不混溶的微相可壓縮油水兩相滲流方程。

3 結(jié)論

（1）根據(jù)三種不同類型的滲流模型，列舉了近年來我國學(xué)者所發(fā)表的代表性成果。它們大多數(shù)都致力于模擬最真實原油滲流方式，有些影響因素考慮的過于理想化并受限于解決條件，其都與真實油藏裂縫滲流方式有一定的差距。所以后來的學(xué)者應(yīng)當(dāng)不斷優(yōu)化現(xiàn)有模型，才能精確的模擬真實油藏滲流狀態(tài)。

（2）介紹了常見求解非線性方程的三種方法，包括有限差分法、有限體積法和有限元法；分析了三種方法的相應(yīng)原理，敘述了有限元法在油藏數(shù)值模擬方面的優(yōu)勢：①便于對含有復(fù)雜邊界的油藏區(qū)域進行整體剖分；②避免了直接構(gòu)建全域近似函數(shù)；③處理偏微分方程的計算精度較高；并列舉了三種方法在油藏數(shù)值模擬方面的部分應(yīng)用成果。