方連花， 林玉梅， 李克典

(1.泉州信息工程學(xué)院2.通識教育中心，福建 泉州 362000,3.閩南師范大學(xué)數(shù)統(tǒng)學(xué)院,福建 漳州 363000)

0 引 言

粗糙集理論[1]是繼概率論、模糊集、證據(jù)理論之后的又一個刻畫不完整性和不確定性的數(shù)學(xué)工具。目前，許多學(xué)者從各個方面對目標(biāo)信息系統(tǒng)的知識獲取和規(guī)則提取做了深入的研究，并且取得了大量成果[2-8]。一個信息系統(tǒng)的知識庫往往都是確定的，但在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常會在原信息系統(tǒng)上添加有限個研究對象，或者增加(刪除)屬性特征，進(jìn)而對新信息系統(tǒng)進(jìn)行分類、知識獲取等等。在這方面，已經(jīng)有學(xué)者對其進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)[9]在等價關(guān)系的前提下研究了合成信息系統(tǒng)與子信息系統(tǒng)的屬性約簡問題。由于現(xiàn)實(shí)中有些信息是不確定、不完備或者是多值的系統(tǒng)，文獻(xiàn)[10]在優(yōu)勢關(guān)系下研究序信息系統(tǒng)的合成與分解的屬性特征，文獻(xiàn)[11]和[12]分別在擬序關(guān)系下研究合成集值信息系統(tǒng)以及決策表的屬性特征。他們的研究主要是基于兩個信息系統(tǒng)的合成，而在實(shí)際問題中并不僅僅只有兩個子系統(tǒng)的合成與分解，信息系統(tǒng)中又會存在大量的冗余數(shù)據(jù)，因此研究有限多個信息系統(tǒng)的合成以及其屬性特征是有必要的。給出任意有限個對象合成信息系統(tǒng)和有限個屬性合成信息系統(tǒng)的概念，分別討論了它們的屬性特征與有限個原子信息系統(tǒng)的屬性特征之間的關(guān)系。

1 對象合成信息系統(tǒng)

定義1.1[5]I=(U,A,F)是一個信息系統(tǒng)，其中

U是對象集，U={x1,x2,…,xn}；A是條件屬性集，A={a1,a2,…,ap}；

F是U與A的關(guān)系集，F(xiàn)={fk:U→Vk,k≤p}，Vk是ak的有限值域。

信息系統(tǒng)中的不同屬性對劃分有不同的作用，有的屬性是必不可少的，稱為核心屬性；有的屬性是可以被其他屬性代替的，稱為相對必要屬性；有的屬性是根本不需要的，稱為不必要屬性。下面給出這三種屬性特征的數(shù)學(xué)刻畫。

定義1.3[13]設(shè)I=(U,A,F)是一個信息系統(tǒng)，對于B?A，若RB=RA,稱B是劃分協(xié)調(diào)集。若B是劃分協(xié)調(diào)集，而B的任何真子集均不是劃分協(xié)調(diào)集，則稱B是劃分約簡集。

定義1.4[13]設(shè)I=(U,A,F)是一個信息系統(tǒng)，Bk(k≤r)為所有劃分約簡集，

在信息系統(tǒng)中，為了研究不同屬性的特征，在文獻(xiàn)[14]和[15]中有如下等價刻畫定理：

定理1.1[14]設(shè)(U,A,F)是信息系統(tǒng)，則有以下結(jié)論：

(1)a是劃分核心當(dāng)且僅當(dāng)RA-{a}≠RA；

(2)a是劃分不必要屬性當(dāng)且僅當(dāng)R(a)?Ra，其中R(a)=∪{RB-{a}|RB?RA,B?A}；

(3)a是劃分相對必要屬性當(dāng)且僅當(dāng)RA-{a}=RA成立且R(a)?Ra不成立。

定理1.2[15]設(shè)(U,A,F)是信息系統(tǒng)，則有以下結(jié)論：

(1)a是劃分核心當(dāng)且僅當(dāng)RA-{a}?Ra不成立。

(2)a是劃分不必要屬性或者劃分相對必要屬性當(dāng)且僅當(dāng)RA-{a}?Ra成立。

根據(jù)定義1.3、定義1.4和定理1.1、定理1.2可以得到對象合成信息系統(tǒng)的協(xié)調(diào)集、不必要屬性、相對必要屬性與n個原子信息系統(tǒng)的屬性特征之間的關(guān)系。

定理1.3設(shè)(∪Ui,A,∪Fi)為信息系統(tǒng)(U1,A,F1)，(U2,A,F2)，…，(Un,A,Fn)的對象合成信息系統(tǒng)，B?A。若B是(∪Ui,A,∪Fi)的一個約簡，則B分別是(U1,A,F1)，(U2,A,F2)，…，(Un,A,Fn)的協(xié)調(diào)集。

同理可證，B分別是(U2,A,F2)，…，(Un,A,Fn)的協(xié)調(diào)集。

定理1.4設(shè)(∪Ui,A,∪Fi)為信息系統(tǒng)(U1,A,F1)，(U2,A,F2)，…，(Un,A,Fn)的對象合成信息系統(tǒng)，a∈A。若a是(∪Ui,A,∪Fi)的不必要屬性，則a分別是(U1,A,F1)，(U2,A,F2)，…，(Un,A,Fn)的不必要屬性。

同理可證，a分別是(U2,A,F2)，……，(Un,A,Fn)的不必要屬性。

定理1.5設(shè)(∪Ui,A,∪Fi)為信息系統(tǒng)(U1,A,F1)，(U2,A,F2)，…，(Un,A,Fn)的對象合成信息系統(tǒng)，則(U1,A,F1)，(U2,A,F2)，…，(Un,A,Fn)的核心屬性一定是(∪Ui,A,∪Fi)的核心屬性。

同理可證，(U2,A,F2)，…，(Un,A,Fn)的核心屬性是(∪Ui,A,∪Fi)的核心屬性。

例1.1通過例子驗(yàn)證定理1.3、定理1.4和定理1.5的結(jié)論。

設(shè)(U1,A,F1),(U2,A,F2),(U3,A,F3)是三個信息系統(tǒng)，表1是它們的對象合成信息系統(tǒng)(U1∪U2∪U3,A,F1∪F2∪F3)，其中A={a,b,c}，U1={x1,x2,x3}，U2={x4,x5,x6,x7}，

U3={x8,x9,x10,x11,x12}。

由劃分的定義可得對象合成信息系統(tǒng)(U1∪U2∪U3,A,F1∪F2∪F3)的等價類為{x1,x9,x11}，{x2,x3,x8}，{x4,x6}，{x5,x7,x10}，{x12}。

根據(jù)辨識矩陣，容易得出{a,c}是(U1∪U2∪U3,A,F1∪F2∪F3)的一個約簡，則由定理1.3知，{a,c}分別是(U1,A,F1),(U2,A,F2)和(U3,A,F3)的協(xié)調(diào)集；容易驗(yàn)證是(U1∪U2∪U3,A,F1∪F2∪F3)的不必要屬性，則由定理1.4知，分別是(U1,A,F1),(U2,A,F2)和(U3,A,F3)的不必要屬性；容易驗(yàn)證{c}是(U1,A,F1)的核心屬性，由定理1.5知{c}是(U1,A,F1),(U2,A,F2),(U3,A,F3)的核心屬性。

2 屬性合成信息系統(tǒng)

Ai∩Aj=?,i≠j。

定 理2.1設(shè)(U,∪Ai,∪Fi)為系統(tǒng)(U,A1,F1)，(U,A2,F2)，…，(U,An,Fn)的屬性合成系統(tǒng)，對于任意的Bi?Ai，若Bi是(U,Ai,Fi)的一個約簡，則∪Bi是(U,∪Ai,∪Fi)的協(xié)調(diào)集。

表1 對象合成信息系統(tǒng)

證 明：設(shè)?(x,y)∈RB1∪B2∪…∪Bn，若RB1∪B2∪…∪Bn=∩RBi則(x,y)∈∩RBi。若∩RBi=∩RAi=RA1∪A2∪…∪An則(x,y)∈RA1∪A2∪…∪An，即RB1∪B2∪…∪Bn?RA1∪A2∪…∪An。另一方面，RA1∪A2∪…∪An?RB1∪B2∪…∪Bn。因此，RA1∪A2∪…∪An=RB1∪B2∪…∪Bn，即∪Bi是(U,∪Ai,∪Fi)的協(xié)調(diào)集。

定理2.2設(shè)(U,∪Ai,∪Fi)為信息系統(tǒng)(U,A1,F1)，(U,A2,F2)，…，(U,An,Fn)的屬性合成信息系統(tǒng)，則(U,A1,F1)，(U,A2,F2)，…，(U,An,Fn)的不必要屬性一定是(U,∪Ai,∪Fi)的不必要屬性。

證 明：設(shè)a∈A1是(U,A1,F1)的不必要屬性，則由定理1.2可知RA1-{a}?R{a}。若RA1∪A2∪…∪An-{a}?RA1-{a}，則RA1∪A2∪…∪An-{a}?R{a}，所以a是(U,∪Ai,∪Fi)的不必要屬性。

同理，(U,A2,F2)，…，(U,An,Fn)的不必要屬性一定是(U,∪Ai,∪Fi)的不必要屬性。

定理2.3設(shè)(U,∪Ai,∪Fi)為信息系統(tǒng)(U,A1,F1)，(U,A2,F2)，…，(U,An,Fn)的屬性合成信息系統(tǒng)，a∈∪Ai。若a是(U,∪Ai,∪Fi)的核心屬性，則當(dāng)a∈Ai時，a是(U,Ai,Fi)的核心屬性。

證 明：設(shè)a∈Ai是(U,∪Ai,∪Fi)的核心屬性，則由定理1.2可知RA1∪A2∪…∪An-{a}?R{a}，即?x,y∈U，滿足(x,y)∈RA1∪A2∪…∪An-{a},(x,y)?R{a}。又因?yàn)镽A1∪A2∪…∪An-{a}?RAi-{a}，故(x,y)∈RAi-{a}，即RAi-{a}?R{a}。因此，a是(U,Ai,Fi)的核心屬性。

3 結(jié) 語

目前關(guān)于知識系統(tǒng)合成的研究都是基于兩個信息系統(tǒng)的合成，而在實(shí)際問題中并不僅僅只有兩個子系統(tǒng)的合成與分解，信息系統(tǒng)中又會存在大量的冗余數(shù)據(jù)，因此研究有限多個信息系統(tǒng)的合成以及其屬性特征是有必要的。文中給出了任意有限個對象合成信息系統(tǒng)和有限個屬性合成信息系統(tǒng)的概念，分別討論了它們的核心屬性、不必要屬性、相對必要屬性等屬性特征與有限個原子信息系統(tǒng)的屬性特征之間的關(guān)系。并通過實(shí)例驗(yàn)證了該方法的有效性，為今后進(jìn)一步研究合成信息系統(tǒng)與有限個子信息系統(tǒng)的屬性約簡問題奠定了基礎(chǔ)。