吳春妮 楊春梅 黃 嬡 楊文慧 田巧玉

西北民族大學 甘肅 蘭州 730124

引言

捕食-食餌模型是種群動力學模型中一類重要的模型，如文獻[1，2]。帶有時滯的捕食-食餌模型的穩(wěn)定性、漸近性和周期性以及各種分支現(xiàn)象的研究已經(jīng)成為生物數(shù)學中具有重要意義的研究課題之一，文獻[3，4，5]有充分的體現(xiàn)。因此，研究時滯對捕食-食餌模型動力學性質(zhì)的影響具有極其重要的現(xiàn)實意義[3]。

1 簡介

本文綜合考慮恐懼因子、避難所對時滯捕食-食餌模型動力學的影響，建立如下模型:

x(t)和y(t)表示獵物和捕食者的種群密度函數(shù)。r:獵物x的增長率，μ:捕食者y的增長率，a:獵物x的個體間的競爭強度，b:半飽和常數(shù)，c:y導致的x的最大人均減少值。m∈(0，1)是一個常數(shù)主要衡量避難所的可用性。d是捕食者獨立存在時的死亡率，t是捕食者在生命歷程所花費的時間，h為時滯。

參考文獻[12][13]恐懼因子

參數(shù)k為驅(qū)動獵物反捕食者行為的恐懼程度。

通過對捕食者的恐懼發(fā)現(xiàn)會對種群增長率(PGR)產(chǎn)生影響，在這里我們對PGR進行如下定義:

證明了該建模方法的合理性，存在恐懼程度k對種群增長率的影響即隨著恐懼程度k的增大，PGR降低，這說明恐懼因子的存在能夠使PGR顯著地降低。

2 穩(wěn)定性分析

A.不含恐懼因子時的穩(wěn)定性

·當k=0時，需要考慮h的存在。首先我們證明了模型(1)平衡點的存在性

·若(a)或(b)成立，則E1*局部漸近穩(wěn)定

1.若μ≥r；

2.若μ＞r，滿足以下條件之一:

所以b*＜b*，

B.含恐懼因子時的穩(wěn)定性

經(jīng)過分析可得到模型(1)的穩(wěn)定性:

(1)對于?h≥0時，則模型(1)的E*(x*，y*)是漸近穩(wěn)定的；

(2)h∈[0，h10)時，則模型(1)的E*(x*，y*)是漸近穩(wěn)定的，若滿足h＞h10，則E*(x*，y*)是不穩(wěn)定的，當h=h10，ω=ω10時模型(1)在E*(x*，y*)處產(chǎn)生Hopf分支。

3 Hopf分支

通過證明可得到模型(1)在k=k±處E*附近發(fā)生Hopf分支。從而經(jīng)過計算可得到如下結(jié)論:

(a)若0＜m＜m*，模型(1)不存在正平衡。

(b)若m*＜m＜m-，E*1穩(wěn)定；當k＜k*時，E*穩(wěn)定；而若k＞k*，則沒有正平衡。

(c)若m-＜m＜m*，

[1]、E*1是不穩(wěn)定的；[2]、k＜k+時，E*不穩(wěn)定；而若k+＜k＜k*，

E*是穩(wěn)定的；[3]、模型(1)在k=k+處發(fā)生Hopf分支。

(d)若m+＜m＜1，

[1]、E*1是穩(wěn)定的；[2]、當m+＜m＜mc，當k＜k-或k+＜k＜k*時，E*穩(wěn)定；當k-＜k＜k+時，E*不穩(wěn)定；[3]、模型(1)在k=k±處發(fā)生 Hopf分支；[4]、如果 mc＜m＜1，k＜k*，E*保持穩(wěn)定。