章培軍, 王 震, 陳 恒

(西京學院理學院，西安 710123)

1 引言

害蟲爆發(fā)常常會引發(fā)嚴重的經濟和生態(tài)問題，我國作為一個農業(yè)大國，害蟲治理問題一直是關注的熱點，如何有效地控制害蟲也是大家最關心的問題.人們采取了各種措施控制害蟲的爆發(fā)，如化學控制(噴灑農藥)和生物控制(脈沖投放天敵)等，農業(yè)部門和研究學者們提出了害蟲綜合控制策略，要求合理有效地使用這兩種控制手段.

捕食-食餌模型是種群動力學中重要的模型，也是生態(tài)學與生物數(shù)學的一個重要研究課題，很多學者研究了影響捕食-食餌模型動態(tài)特性的因素，如功能反應、時滯、階段結構和收獲等，特別是這些因素的共同作用[1-4].然而，種群動力學中有許多自然現(xiàn)象和人為干預因素的作用都可以用脈沖微分方程來刻畫，脈沖效應在生態(tài)學系統(tǒng)中描述某些運動狀態(tài)的快速變化和跳躍，如生物種群個體的出生、人類對生物資源的脈沖捕獲與投放等[5-8]，它能更真實地反映自然界的發(fā)展過程.

隨著工業(yè)、農業(yè)的快速發(fā)展，環(huán)境污染日益嚴重，研究環(huán)境中污染物或毒素對種群乃至生態(tài)系統(tǒng)的影響成為生態(tài)數(shù)學的熱點問題，早在20 世紀80 年代，Hallam 等[9-11]假設種群的增長率線性依賴于對毒素的吸收，研究了這種毒素排放到環(huán)境中對生物種群的影響，揭開了此方面的研究序幕.后來，很多學者在此領域進行了大量的工作，取得了很多研究成果[12-16].其中，李冬梅等[14]研究污染環(huán)境下脈沖輸入毒素對具有階段結構的單種群的影響，得到了種群滅絕和持久生存的充分條件，為控制環(huán)境中毒素對種群生長的影響提供了理論依據(jù).然而，在實際生態(tài)系統(tǒng)中，幾乎沒有獨立的單種群存在，而是多種群共同存在，故考慮捕食-食餌關系的兩種群生態(tài)模型更符合實際.并且在污染的環(huán)境中，有些天敵受污染物或毒素的影響，使其數(shù)量減少，甚至滅絕，這使得我們需要控制污染物排放的數(shù)量和周期，保證天敵種群可以持續(xù)生存.另一方面，農藥噴灑過多，會使害蟲大量減少，但同時也對環(huán)境造成了嚴重的污染，在毒殺害蟲的同時，也殺害了天敵.為了保持生態(tài)平衡，不需要使害蟲完全滅絕，當害蟲不會帶來非常大的經濟損失時，我們希望害蟲和天敵能夠持續(xù)生存.

2 模型的建立及預備知識

綜上所述，本文研究脈沖污染的環(huán)境中，捕食者具有階段結構、食餌具有脈沖收獲的時滯捕食-食餌-環(huán)境模型的動力學性質，包括捕食者滅絕周期解的全局吸引性和系統(tǒng)持久性，考慮如下模型

由于系統(tǒng)(1)的第一、三、四方程都不顯含y1(t)，所以考慮系統(tǒng)

系統(tǒng)(2)的初始條件是

且在?kT(k ∈N)處不連續(xù)，而是左連續(xù)，即

考慮到系統(tǒng)的生物意義，我們假設φ1(0)>0, φ3(0)>0, φ4(0)>0.

引理1[17]對于系統(tǒng)(1)的所有解，當t 足夠大時，存在一個常數(shù)Q>0，使得x(t)≤

Q, y1(t)≤Q, y2(t)≤Q, c(t)≤Q.

引理2[5]考慮脈沖系統(tǒng)

其中r >0, K >0, 0<θ <1，則系統(tǒng)(3)存在唯一正周期解

且全局漸近穩(wěn)定.

引理3[15]考慮脈沖系統(tǒng)

其中d3>0, δ >0，則系統(tǒng)(4)存在唯一正周期解

且全局漸近穩(wěn)定.

引理4[18]考慮下列微分方程

x′(t)=ax(t ?τ)?bx(t),

其中a, b, τ >0，當?τ ≤t ≤0 時，x(t)>0，則：

1) 如果a

2) 如果a>b，則limt→∞x(t)=∞.

3 捕食者滅絕周期解的全局吸引性

在系統(tǒng)(2)中，令y2(t)=0, t ≥?τ，則可得到如下系統(tǒng)

由引理2、3，得到系統(tǒng)(5)的周期解為

且全局漸漸穩(wěn)定.

定理1 如果R1< 1 時，則系統(tǒng)(2)的捕食者滅絕周期解((t),0,(t))是全局吸引的，其中

證明 由于R1<1，選擇充分小的ε0, ε1>0，使

從系統(tǒng)(2)的第一個方程，得到

考慮帶有脈沖的比較系統(tǒng)

由引理2，得到系統(tǒng)的周期解為

由比較原理[19]，存在n1∈N 和任意小的整數(shù)ε0，對任意t>n1T，滿足

即

從系統(tǒng)(2)的第二個方程，得

考慮如下的比較系統(tǒng)

由引理4，得到limt→∞y(t)=0，因此，limt→∞y2(t)=0，對充分小的ε2> 0，存在整數(shù)n2>n1，任意t>n2T，有y2(t)<ε2.

對任意t>n2T，由系統(tǒng)(2)的第一個方程，得到

考慮帶有脈沖的比較系統(tǒng)

由引理2，得到系統(tǒng)的周期解

由比較原理，則存在整數(shù)n3>n2，使得對任意t>n3T，滿足

由于ε0與ε2充分小，得到

是全局吸引的，又由引理3 知，當t →∞時，c(t) →(t)，從而系統(tǒng)(2)的捕食者滅絕周期解((t),0,(t))是全局吸引的.

推論1 如果θ =0 且τ >τ?1或δ >δ?，則系統(tǒng)(2)的捕食者滅絕周期解((t),0,(t))是全局吸引的，其中

推論2 如果δ =0 且τ >τ?2或θ >θ?，則系統(tǒng)(2)的捕食者滅絕周期解((t),0,(t))是全局吸引的，其中

4 持久性

定理2 如果R2> 1 且t 足夠大時，則存在正常數(shù)M，使得系統(tǒng)(2)的每一個正解(x(t),y2(t),c(t))都滿足y2(t)≥M，其中

證明 系統(tǒng)(2)的第二個方程，可寫成

定義

由系統(tǒng)(2)，得到F(t)的導數(shù)

考慮帶有脈沖的比較系統(tǒng)

得到系統(tǒng)的周期解為

其中

根據(jù)脈沖微分方程的比較原理，則存在t1(t1> t0+ τ)和充分小的ε > 0，使得t>t1時，x(t)≥2(t)?ε，從而

由式(6)和(7)可知，對所有的t>t1，有

根據(jù)定理2 和以上討論，我們不難得出：當R2>1 時，系統(tǒng)(1)是持久的.

5 結論與數(shù)值仿真

本文建立了一個在污染環(huán)境中，捕食者具有階段結構、食餌具有脈沖收獲的時滯捕食-食餌模型，并且污染物被脈沖地輸入到環(huán)境中，導致捕食者的數(shù)量減少.為了得到捕食者滅絕周期解的全局吸引性和系統(tǒng)持久性的充分條件，定義了兩個閾值R1和R2，當1 ?θ ?e?rT>0 時，明顯有R1>R2.

當R1< 1 時，由定理1 可知，系統(tǒng)的捕食者滅絕周期解是全局吸引的，捕食者在一段時間后滅亡，食餌種群及污染物的濃度呈周期波動.

當R2>1 時，由定理3 可知，系統(tǒng)是持久的，種群是持續(xù)生存的.

當R2< 1 < R1時，系統(tǒng)(2)的動力學性態(tài)會發(fā)生改變，例如，取r = 0.8, K =2, β =1, m=0.5, α=0.8, d1=0.3, d2=0.4, γ =0.1, d3=0.8, θ =0.5, δ =2, τ =0.5, T =1.5，經計算得到R1=1.0272, R2=0.4445，有R2<1

圖1 捕食者滅絕

圖2 系統(tǒng)是持續(xù)的

根據(jù)定理1 和3 可知，種群能否持續(xù)生存，主要依賴于食餌的捕獲率θ，污染物的脈沖輸入量δ 和脈沖作用的周期T.如果食餌的捕獲率θ、污染物的脈沖輸入量δ 過大，或者脈沖作用的周期T 過小，捕食者是滅絕的.選擇參數(shù)值r = 0.8, K = 2, β = 2, m =0.5, α=1.2, d1=0.3, d2=0.4, γ =0.1, d3=0.8, θ =0.5, δ =2, τ =0.5, T =1.5，經計算得到R2= 1.3335 > 1，由定理3 可知系統(tǒng)是持續(xù)生存的，如圖3 所示.在其它參數(shù)不變的情況下，當增加食餌的捕獲率至θ = 0.68 時，R1= 0.6592 < 1，由定理1 可知捕食者滅絕，如圖4 所示；當增加污染物的脈沖輸入量至δ = 30 時，R1= 0.8849 < 1，由定理1 可知捕食者也滅絕，如圖5 所示；當減少脈沖作用的周期至T = 0.9 時，R1=0.3439 < 1，由定理1 可知捕食者還是滅絕的，如圖6 所示.為了保持系統(tǒng)的持續(xù)生存，我們應該控制污染物輸入的周期和數(shù)量，同樣也要合理控制食餌的捕獲.這些為我們今后對生物資源的開發(fā)、種群數(shù)量的收獲及環(huán)境的控制提供了寶貴的理論依據(jù).

圖3 系統(tǒng)是持續(xù)的

圖4 增加食餌的捕獲率至0.68 時，捕食者滅絕

圖6 減少脈沖作用的周期至0.9 時，捕食者滅絕