劉 沁

(重慶工商大學 設計藝術學院，重慶 400067)

引言

LED(發(fā)光二極管)作為一種節(jié)能、耐用的新型光源，已在各種照明環(huán)境(包括公共場所照明、家庭照明、景觀照明等)中廣泛地使用[1-3]。為了更加充分地發(fā)揮LED這種新型光源在照明領域的應用，從理論上對LED的照明特性進行研究顯得越來越重要，并取得很多重要的研究成果。如羅曉霞等[4]對單個LED光源的大視場角準直照明問題做了研究，丁毅等[5，6]研究了單個LED光源的均勻照明問題。由于單個LED光源的亮度較小，因此絕大多數(shù)的LED光源都是由多個LED燈芯構成的陣列來實現(xiàn)照明的。為了在理論上弄清楚LED陣列的照明特性，我們的科研團隊也開展了對這個領域的研究。我們對方形陣列和圓形陣列的照度特性做了研究[7-10]， 得出了方形陣列和圓形陣列的光斑的發(fā)散規(guī)律和照度的變化規(guī)律。進而研究了圓形陣列和矩形陣列的照度均勻性[11，12]，得出這兩種陣列的照度均勻性的特征和變化規(guī)律。

以上對LED的陣列研究中，都是將LED陣列面固定在一個平面內(nèi)。而實際的LED陣列光源多數(shù)的LED燈芯的分布是在一個曲面上。因此，研究曲面LED陣列的照明特性以及變化規(guī)律在理論上和應用上都有著非常重要的價值。球面LED陣列是在各種曲面陣列中最基本、最典型的陣列，因此在理論上弄清球面LED陣列的光斑傳輸特性，對應掌握曲面LED陣列的照明規(guī)律有著基礎性的作用。下面以球面LED陣列為對象，引入彎曲度的概念，利用非相干光的疊加原理推導出計算球面LED陣列的照度公式、光斑半徑公式以及光斑發(fā)散角公式。通過數(shù)值計算研究球面LED陣列的光斑半徑隨球面彎曲度的變化規(guī)律，光斑發(fā)散角隨球面彎曲度的變化規(guī)律，照度峰值隨球面彎曲度的變化規(guī)律。研究結果表明，球面LED陣列對光斑半徑、光斑發(fā)散角以及照度都有明顯的匯聚作用。利用這些特性，可以在各類場景照明中使用球面LED陣列來提高光束的方向性和照射面的亮度。

1 模型與理論

首先建立這樣一個球面LED陣列模型，該球面陣列由以球面頂點為中心，在球面上作M個弧長等距的圓環(huán)，相鄰圓環(huán)在球面上的弧長間隔為a。在每一圓環(huán)上都均勻分布著36個LED芯片，不同圓環(huán)上的36個LED芯片沿徑向一致排列，沿X軸方向排第一列，在XOY平面內(nèi)以球面頂點為圓心，每隔2π/36的圓心角方向上排一列芯片。 球面LED陣列的芯片總數(shù)為36×M。該球面LED陣列的頂點坐標在(0,0,0)處，用Aij標記其中某一芯片，其中i表示其圓心角的區(qū)別(i=0，1，…，35)、中j表示圓環(huán)的區(qū)別(j=1，2，…，M)它的坐標為(Xn，Yn,Zn)，目標平面在z=h處，如圖1所示。

球面LED陣列在目標平面產(chǎn)生照度為陣列上的每個LED芯片產(chǎn)生照度的非相干疊加。單個LED芯片在視角θ方向上的光強I由下式確定[7]，如圖2，芯片到P點的距離為l。

(1)

其中I0為0°角的光強，m值由LED芯片的產(chǎn)生工藝確定。

圖1 球面LED陣列Fig.1 Spherical LED arrays

圖2 芯片的照度Fig.2 Illuminance of LED

若芯片的坐標在(x,y,z)處,目標平面上的照明點P的坐標在(x,y,h)處，則芯片在P點處產(chǎn)生的照度E由下式確定[11]：

(2)

由式(1)、式(2)得到單個芯片在P點的照度為

(3)

如果陣列是由N個芯片構成的，這N個芯片發(fā)出的光彼此是非相干光，由非相干光的疊加原理陣列在P點處產(chǎn)生的照度為[12]

(4)

其中Xn、Yn、Zn為第n個LED芯片的坐標。

為了描述球面LED陣列的彎曲程度，需要引入彎曲度的概念。用R表示球面的半徑,該球面陣列在通過球心和頂點的截面上對應的弧長為2M×a。 若取該球面LED陣列對應的弧長2M×a為圓周長的K分之一，即2Ma=2πR/K，則有

(5)

K越大R越大，陣列的彎曲程度就越小。為了能用一個與彎曲程度成正比的量來描述球面的彎曲程度，引入彎曲度D：

D=1/K

(6)

彎曲度D越大，球面彎曲程度越大，D就是描述球面彎曲程度的量。當K=,對應的彎曲度D=0，球面退化為平面。當球面陣列對應的弧長為度半個圓周長時K=2,對應的D=1/2。當球面陣列對應的弧長為一個圓周長時K=1,對應的D=1，彎曲度達到最大。對于球面LED陣列的彎曲度 0≤D≤1/2。

利用圖1可得芯片Aij的三個坐標分別為

i=0，1，…，35,j=1，2，…，M

(7)

將式(7)代入式(4),可得該球面LED陣列在目標平面上的照度公式：

(8)

由于芯片分布的對稱性，照度在X軸和Y軸上的分布Ex和Ey是相同的，可以將式(8)中的y取為0得到Ex:

(9)

光斑中心的照度(照度峰值)為E0，可以將式(8)中的y和x取為0得到：

(10)

LED陣列在目標平面上形成的光斑大小由下列關系確定[11]：

E≥0.2E0

(11)

由于芯片分布的對稱性，x軸和y軸上的光斑半徑Rx和Ry是相同的。由式(9)和式(11)可求出Rx：

(12)

光斑的發(fā)散角φ可以由下式求得[10]：

(13)

利用式(12)和式(13)可以研究該球面LED陣列的光班半徑和發(fā)色角的變化特征。

2 光斑傳輸特性

下面利用式(5)～式(13)，通過數(shù)值計算法研究球面LED陣列的光斑傳輸規(guī)律，即光班半徑、發(fā)色角以及照度峰值隨球面彎曲度的變化規(guī)律。

2.1 光斑半徑隨彎曲度的變化規(guī)律

固定m=5,I0=2 cd、a=0.03 m、M=40、h=4 m，研究光斑半徑隨彎曲度的變化關系。取K=、21、19、17、15、13、11、9、7、5十組數(shù)據(jù)，計算出對應的彎曲度D以及光斑半徑Rx,見表1。

表1 光斑半徑和彎曲度數(shù)據(jù)Table 1 Rxand D

由表1中的數(shù)據(jù)計算出Rx隨彎曲度D的變化曲線，如圖3所示。分析表1和圖3可知：當彎曲度為0時對應的光斑半徑Rx=2.997 m，隨著彎曲度的逐漸增加對應的光斑半徑逐漸減小，當彎曲度增加到0.2時對應的光斑半徑減小為2.913 m。為了直觀地反映光斑的變化情況，計算出K=時的光斑和K=3時的光斑，如圖4所示?？芍?，K=時的光斑明顯大于K=3時的光斑。

圖3 光斑半徑隨彎曲度的響應曲線Fig.3 Response curves of Rx versus D

光斑半徑隨彎曲度的這一變化規(guī)律表明：球面LED陣列對光斑大小有匯聚的作用，彎曲度越大對光斑的匯聚效果越明顯。在照明設計中，利用這一規(guī)律可以控制光斑的大小。

圖4 光斑圖Fig.4 Light spot

2.2 發(fā)散角隨彎曲度的變化規(guī)律

仍固定m=5,I0=2 cd、a=0.03 m、M=40、h=4 m，研究光斑發(fā)散角隨彎曲度的變化關系。取K=、21、19、17、15、13、11、9、7、5十組數(shù)據(jù)，計算出對應的彎曲度D以及光斑發(fā)散角φ數(shù)據(jù),見表2。由表2中的數(shù)據(jù)計算出光斑發(fā)散角φ隨彎曲度D的變化曲線，如圖5所示。分析表2和圖5可知，當彎曲度為0時對應的光斑發(fā)散角φ=24.197°，隨著彎曲度的逐漸增加對應的光斑發(fā)散角逐漸減小，當彎曲度增加到0.2時對應的光斑發(fā)散角減小為 23.177°。光斑發(fā)散角隨彎曲度的這一變化規(guī)律表明：球面LED陣列對光斑發(fā)散角也有匯聚作用，彎曲度越大對光斑發(fā)散角的匯聚效果越明顯。

表2 發(fā)散角和彎曲度數(shù)據(jù)Table 2 Data of φ and D

圖5 發(fā)散角隨彎曲度的響應曲線Fig.5 Response curves of φ versus D

2.3 照度峰值隨彎曲度的變化規(guī)律

仍固定m=5,I0=2 cd、a=0.03 m、M=40、h=4 m，研究照度峰值隨彎曲度的變化關系。 取K=、21、19、17、15、13、11、9、7、5十組數(shù)據(jù)，計算出對應的彎曲度D和照度峰值E0的數(shù)據(jù)，見表3。利用表3中的數(shù)據(jù)計算出照度峰值E0隨彎曲度D的變化曲線，如圖6所示。分析表3和圖6可知：當彎曲度為0時對應的照度峰值E0=160.33 lx，隨著彎曲度的逐漸增加對應的照度峰值逐漸增大，當彎曲度增加到0.2時對應的照度峰值增大為169.81 lx。照度峰值隨彎曲度的這一變化規(guī)律表明：球面LED陣列對照度有聚光的作用，彎曲度越大對照度的聚光效果越明顯。在照明設計中，利用這一規(guī)律可以到達提高光斑亮度的效果。

表3 彎曲度和照度峰值數(shù)據(jù)Table 3 Data of D and E0

圖6 照度峰值隨彎曲度的響應曲線Fig.6 Response curves of E0 versus D

3 結論

本文建立了球面LED陣列的模型，引入彎曲度來描述球面陣列的彎曲程度。利用非相干光的疊加原理推導出計算球面LED陣列的光斑半徑公式、光斑發(fā)散角公式和照度公式。通過數(shù)值計算研究了光斑半徑隨彎曲度的變化規(guī)律、發(fā)散角隨彎曲度的變化規(guī)律、照度峰值隨彎曲度的變化規(guī)律。計算得出：當彎曲度為0時光斑半徑為2.997 m，隨著彎曲度的逐漸增加光斑半徑逐漸減小，當彎曲度增加到0.2時光斑半徑減小為2.913 m；當彎曲度為0時光斑發(fā)散角為24.197°，隨著彎曲度的逐漸增加光斑發(fā)散角逐漸減小，當彎曲度增加到0.2時光斑發(fā)散角減小為 23.177°；當彎曲度為0時照度峰值為160.33 lx，隨著彎曲度的逐漸增加照度峰值逐漸增大，當彎曲度增加到0.2時照度峰值增大為169.81 lx。通過上述研究表明：球面LED陣列對光斑半徑、光斑發(fā)散角以及照度都有明顯的匯聚作用。利用球面LED陣列的這些特性，可以在各類場景照明中使用球面LED陣列來提高光束的方向性和照射面的亮度。