欒元重 梁耀東 董 岳 翁麗媛 劉承旭

1 山東科技大學測繪科學與工程學院，青島市前灣港路579號，266590

跨海大橋是人工與自然有機結合的整體，處在海洋這個復雜的環(huán)境中，運營后還需承受車載外力的作用，其各部分之間不斷地進行能量、物質交換，通過系統(tǒng)信息熵的變化使橋梁整體走向有序[1-3]。因此，橋梁變形是一種非平衡態(tài)有序結構。由于我國跨海大橋建設也是近10 a的事情，運營后的跨海大橋變形特征及預測模型研究也處于起步階段[4-5]。近幾年建好的幾座跨海大橋均建立了變形監(jiān)測站，獲得了橋梁變形數(shù)據(jù)，但在數(shù)據(jù)挖掘、建立動態(tài)非線性高精度的橋梁變形時空預測模型方面還遠遠不夠[6-7]。因此，開展跨海大橋時空非線性變形模型研究是理論與實際結合、理論成果又反饋橋梁安全運營的實用課題[8-9]。

本文對青島膠州灣跨海大橋開展了變形監(jiān)測工作，橋梁特征點三維坐標數(shù)據(jù)采集使用的測量機器人為徠卡30全站儀，該儀器測角精度為0.5″,測距精度為0.1 mm+10-6D。測量方法為：在穩(wěn)定區(qū)域布設的D級GPS控制點上安置測量機器人，對橋墩、橋面、橋索塔的特征點自動進行三維坐標觀測。由于橋梁處于海洋環(huán)境中，受海浪、颶風、船體撞擊等因素的影響，使橋梁變形表現(xiàn)為動態(tài)非連續(xù)變形，并伴有混沌現(xiàn)象發(fā)生[10]。

目前用于混沌時間序列預測的數(shù)學模型主要有神經網(wǎng)絡模型和支持向量機等，但由于支持向量機存在參數(shù)準確選取困難[11]，并且局部優(yōu)化能力差的缺點，因此本文根據(jù)橋梁變形監(jiān)測數(shù)據(jù)，首先對橋梁變形系統(tǒng)混沌特征進行識別，并對橋梁水平位移單變量進行高精度RBF神經網(wǎng)絡混沌預測的深入研究，這對揭示跨海大橋變形機理、實現(xiàn)橋梁安全運營具有重大意義。

1 橋梁水平位移觀測數(shù)據(jù)混沌特征識別

當橋梁系統(tǒng)受外界影響有擾動時，系統(tǒng)可能發(fā)生分岔并可能演變成混沌狀態(tài)。為了判斷橋梁變形是否有混沌狀態(tài)，選取Verhulst生物模型擬合橋梁變形位移時間序列[1]，即

(1)

式中，x為變形位移值，t為時間，k為參數(shù)。其差分方程為：

xn+1=k(1-xn)xn

(2)

本文選取青島膠州灣跨海大橋W1點3 a內的300期水平位移監(jiān)測數(shù)據(jù)進行分析，取W1點后100期數(shù)據(jù)水平位移觀測，其在x方向、y方向上的變形量無明顯線性與周期性變化趨勢，通過重構相空間尋找其內在規(guī)律。

1.1 最大Lyapunov指數(shù)

Lyapunov指數(shù)表示多次迭代中平均每次迭代引起指數(shù)分離的度量。Lyapunov指數(shù)λ的表達式為：

(3)

式中，λ為Lyapunov指數(shù)，F(xiàn)(x)為x的映射值。λ>0時，運動系統(tǒng)存在混沌狀態(tài)。

基于最大 Lyapunov 指數(shù)的混沌時間序列預測，就是利用已經得到的最大Lyapunov指數(shù)(即軌道平均發(fā)散率)，采用相空間重構技術，通過跟蹤最鄰近點的演化進行預測[12-14]。格里波基[15]證明，只要最大 Lyapunov 指數(shù)大于零，就可以肯定系統(tǒng)中存在混沌狀態(tài)。

用小數(shù)據(jù)量法計算橋梁水平位移時間序列最大Lyapunov指數(shù)，x方向變形時間序列最大Lyapunov指數(shù)為0.015，證明x方向變形時間序列具有混沌性；同理，y方向變形時間序列最大Lyapunov指數(shù)為0.014，y方向變形時間序列也具有混沌性，此結果與Verhulst生物模型擬合的橋梁變形位移時間序列具有混沌狀態(tài)相吻合。

1.2 時間延遲

C-C法求取時間延遲的方法如下。將時間序列分成t個不相交的子序列，每個子序列可定義為：

S(m,N,r,t)=

(4)

式中，m為嵌入維數(shù)，N為點的個數(shù)，r為元素間相關半徑，t為不相交子序列個數(shù)。

令N→，有：

(5)

由于時間序列是有限的，且元素間也可能是相關的，故選擇對應值中最大和最小的兩個半徑r，其差量為：

ΔS(m,t)=max{S(m,rj,t)}-{S(m,rj,t)}

(6)

(7)

(8)

(9)

圖1 C-C法計算x方向變形時間序列的時間延遲Fig.1 Time delay of the deformation time series of x direction calculated by C-C method

1.3 嵌入維數(shù)m

若{x1,x2,…,xi,…}為實測的一組等間隔變形數(shù)據(jù)，取{x1,x2,…,xi,…}中部分數(shù)據(jù)構成一個m維子空間，空間中N個點表達為：

(10)

令

(11)

式中，θ(x)指Heaviside函數(shù)，N為點的個數(shù)。

吸引子的關聯(lián)維數(shù)計算公式為：

(12)

分別求出不同嵌入維數(shù)m所對應的dC值。取dC值第一個到達平穩(wěn)時的m估值作為嵌入維數(shù)，此時dC值可作為吸引子維數(shù)的估值，則m=2[d]+1。這就是嵌入維數(shù)估計的G-P算法。

x方向時間延遲τ=1，設定維數(shù)m=2，3，…，12，分別繪制x方向變形時間序列飽和關聯(lián)維數(shù)法(簡稱G-P法)的lnC(r)-lnr曲線(圖2)，圖中曲線自上而下對應于m=2，3，…，12。當維數(shù)增加到7時，lnC(r)與lnr的比值不再隨m的增大發(fā)生變化，因此x方向嵌入維數(shù)為7。同理，求得y方向變形時間嵌入維數(shù)為7。

圖2 x方向變形時間序列l(wèi)nC(r)-lnr圖Fig.2 lnC(r)-lnr diagram of deformation time series of x direction

1.4 二維重構軌跡分析

重構相空間的目的是保持原先變形系統(tǒng)的幾何結構，并與其具有等價的動力系統(tǒng)。相空間重構最重要的參數(shù)為時間延遲τ和嵌入維數(shù)m。延遲滯時重構的變形動力系統(tǒng)相空間簡化模型[17-18]為：

X(t)=(x(t),x(t-τ),…,x(t-(m-1)τ))

(13)

式中，m為嵌入維數(shù)，τ為時間延遲，t=1,2,…,n。

x方向和y方向最大Lyapunov指數(shù)之和為二維最大Lyapunov指數(shù)，即λ=λx+λy=0.029，故二維數(shù)據(jù)同樣具有混沌特性。按時間延遲τ=1、m=7等參數(shù)對W1點水平位移時間序列進行二維相空間重構(圖3)。

圖3 水平位移二維相空間重構Fig.3 Two-dimensional phase space reconstruction of horizontal displacement

2 橋梁水平位移混沌時間序列預測

2.1 基于RBF神經網(wǎng)絡的混沌預測

X[i]=x(t+(i-1)τ)

(14)

(15)

通過相空間重構得到輸入層單元數(shù)為m、隱層單元數(shù)為k、輸出單元數(shù)為1的網(wǎng)絡拓撲結構m×k×1。

取W1點300期水平位移觀測數(shù)據(jù)，前250期數(shù)據(jù)用來訓練，后50期數(shù)據(jù)用來預測對比分析。對W1點x方向變形數(shù)據(jù)進行歸一化處理，并將前250組數(shù)據(jù)作為訓練樣本，RBF神經網(wǎng)絡誤差曲線如圖4所示。由圖可見，在網(wǎng)絡訓練過程中，只需6步就到達了目標標準差值0.001。

圖4 RBF神經網(wǎng)絡誤差曲線Fig.4 RBF neural network error curve

對后輸入的50個數(shù)據(jù)進行相空間重構，組成一個N-(m-1)τ樣本輸入，其中τ=1，m=7，輸入樣本點為44個，第t個輸入樣本為：

X(t)={x(t),x(t+1),x(t+2),

x(t+3),x(t+4),x(t+5),x(t+6)}

(16)

將44個輸入樣本輸入RBF神經網(wǎng)絡預測模型，計算得到RBF神經網(wǎng)絡混沌預測值。

2.2 RBF神經網(wǎng)絡混沌預測與最大Lyapunov指數(shù)混沌時間序列預測的比較

將RBF神經網(wǎng)絡混沌預測與基于最大Lyapunov指數(shù)的混沌時間序列預測的誤差進行比較，分析兩種預測模型的精度。

對于x方向的變形，對后50期數(shù)據(jù)進行預測，第251～259期數(shù)據(jù)預測結果如表1所示，實測值與基于RBF神經網(wǎng)絡的預測值和基于最大Lyapunov指數(shù)的混沌時間序列預測值對比如圖5(a)所示。

由表1絕對差和RMSE對比分析可知，基于RBF神經網(wǎng)絡混沌預測模型的預測值比基于最大Lyapunov指數(shù)混沌時間序列預測模型的預測值要更接近于實測值且精度明顯提高。由圖5(b)可見，隨著觀測期數(shù)的增加，預測值逐漸偏離實測值，殘差呈現(xiàn)逐漸變大的趨勢。這證明本文基于RBF神經網(wǎng)絡所建立的混沌預測模型在短期預測的情況下，比基于最大Lyapunov指數(shù)的混沌時間序列預測模型得到的預測結果更接近于真實值。這從一個方面證明混沌預測對時間序列只能進行短期預測。

表1 x方向預測值與實測值對比Tab.1 Comparison of the measured and predicted values of x direction

圖5 x方向實測值與預測值對比Fig.5 Comparison of the measured and predicted values of x direction

3 結 語

1)根據(jù)跨海大橋系統(tǒng)受外界影響擾動的特點，提出其變形伴有混沌現(xiàn)象。根據(jù)混沌理論，對橋梁變形時間序列進行混沌特性識別，確定青島膠州灣跨海大橋監(jiān)測數(shù)據(jù)表現(xiàn)為混沌性。

2)運用C-C法計算時間序列的延遲時間τ，用G-P方法求得最佳嵌入維數(shù)m，通過求取的時間延遲和最佳嵌入維數(shù)對橋梁變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進行相空間重構，建立橋梁變形時間序列混沌性識別的理論模型與方法。

3)基于RBF神經網(wǎng)絡建立混沌時間序列預測模型，并通過MATLAB語言實現(xiàn)其算法。

4)對基于RBF神經網(wǎng)絡的混沌時間序列橋梁變形預測值與基于最大Lyapunov指數(shù)的混沌時間序列預測值以及實測數(shù)據(jù)進行對比分析，結果表明，基于RBF神經網(wǎng)絡建立的混沌時間序列預測模型的預測結果比基于最大Lyapunov指數(shù)的混沌時間序列預測模型的預測結果要好，且短期預測效果好。