關(guān)海鵬，趙秋霞，遲美玲

(運(yùn)城學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，山西 運(yùn)城 044000)

引言

配電網(wǎng)是人們直接用電的基本設(shè)施，它的結(jié)構(gòu)體系龐大、錯綜復(fù)雜，運(yùn)行的好壞直接影響著用戶的體驗質(zhì)量。在系統(tǒng)正常運(yùn)轉(zhuǎn)的狀態(tài)下，配電網(wǎng)中每條線路的日負(fù)荷情況皆有不同，負(fù)荷的極值時間也隨之變化[1]。在這種情況下，對配電網(wǎng)進(jìn)行重構(gòu)可以有效地平衡負(fù)載、減少網(wǎng)損，以提高供電電壓質(zhì)量、減小經(jīng)濟(jì)消耗。因此，配電網(wǎng)重構(gòu)技術(shù)對供電系統(tǒng)的運(yùn)行以及民眾的便利有著重大研究意義。

傳統(tǒng)的配電網(wǎng)重構(gòu)算法如遺傳算法[2，3]、蟻群算法[4]等已經(jīng)得到很好的應(yīng)用。除此之外，還有其他算法的應(yīng)用。臧志斌[5]、肖軒怡[6]等在潮流計算的基礎(chǔ)上，采用啟發(fā)式算法來確定徑向配電網(wǎng)的最小損耗配置。吳霜[7]立足于啟發(fā)式規(guī)則，結(jié)合模糊多目標(biāo)方法對電網(wǎng)的配置進(jìn)行優(yōu)化。而譚輝[8]以能量最小損失為目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合用戶的需求、當(dāng)前的系統(tǒng)負(fù)荷，改變電網(wǎng)的切換序列，達(dá)到重構(gòu)配電網(wǎng)的目的。陳莎[9]利用最小生成樹Kruskal算法對配電網(wǎng)進(jìn)行了重構(gòu)過程中，首先利用初始網(wǎng)損權(quán)值求出最小生成樹T，然后對該樹的權(quán)值進(jìn)行了重新計算，加入最小權(quán)值支路，更新迭代求出最小生成樹。

根據(jù)圖論理論，運(yùn)用最小生成樹算法對配電網(wǎng)進(jìn)行優(yōu)化重構(gòu)，不僅是被應(yīng)用最多的優(yōu)化算法，更是適用于網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化重構(gòu)的算法。本文將最小生成樹算法和潮流算法相結(jié)合，解決配電網(wǎng)重構(gòu)問題。

1. 配電網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型

傳統(tǒng)電網(wǎng)采用的數(shù)學(xué)分析模型主要有非線性和線性兩種，并同時依據(jù)優(yōu)化算法求取最適合的解。目標(biāo)函數(shù)的選取取決于解決問題的角度和算法的實質(zhì)，主要有以下幾種目標(biāo)函數(shù)。

1.1 目標(biāo)函數(shù)

(1)以網(wǎng)損最小作為目標(biāo)函數(shù)：

(2)以均衡負(fù)荷作為目標(biāo)函數(shù)：

(3)以開關(guān)控制次數(shù)最少作為目標(biāo)函數(shù)：

(4)以提高電壓質(zhì)量為目標(biāo)函數(shù)：

1.2 約束條件

(1)配電網(wǎng)重構(gòu)后的網(wǎng)絡(luò)依然為輻射狀。

(2)配電網(wǎng)不能有孤島。

(3)滿足潮流計算方程。

(4)開關(guān)操作次數(shù)盡量減小。

(5)電流與電壓約束。

式中，Ui，min和Ui，max分別為節(jié)點(diǎn)電壓i的下上限；Ci為支路i流過的實際功率；Ci，max為支路i的功率最大負(fù)載值(變壓器最大允許值與支路饋線相比較，取較小的值)。

1.3 潮流算法

潮流算法有很多種，本文選用的是前推回代法[10]，該算法以饋線為基本計算單位，通過配電網(wǎng)的始端電壓和終端負(fù)荷，求得各節(jié)點(diǎn)的電壓分布。在計算前，需要先給支路進(jìn)行編號[10]。本文應(yīng)用該算法的前提條件為，假設(shè)三相輻射配電網(wǎng)是平衡的，用單相模型進(jìn)行等值替代是成立的。

功率前推過程：

電壓回代公式：

電壓幅值的前推計算公式：

式中，Psi和Qsi分別為節(jié)點(diǎn)i的有功損耗和無功損耗；Ri為支路i的電阻值；PDi和QDi分別為節(jié)點(diǎn)i的有功功率負(fù)荷和無功功率負(fù)荷；Pi和Qi分別為節(jié)點(diǎn)的有功功率和無功功率；Xi為支路i的電抗值。

計算步驟如下：

Step1 進(jìn)行初始化操作，迭代次數(shù)k=0，設(shè)置根節(jié)點(diǎn)電壓。

Step2 根據(jù)已知的節(jié)點(diǎn)功率．從配電網(wǎng)的末端節(jié)點(diǎn)向根節(jié)點(diǎn)進(jìn)行計算，要先計算子支路后計算父支路，其次利用功率前推公式計算配電網(wǎng)的潮流功率分布。

Step3 從網(wǎng)絡(luò)的根節(jié)點(diǎn)出發(fā)，要先計算父節(jié)點(diǎn)然后計算子節(jié)點(diǎn)，再通過電壓回代公式計算配電網(wǎng)的電壓分布。

Step4 判別鄰接兩次電壓差幅值的最大值max|ΔUi|與已知的收斂數(shù)值ε的大小．如果滿足收斂條件，則停止計算；反之令k=k+1，然后返回步驟Step3。

2. 基于Kruskal算法的數(shù)學(xué)模型

Kruskal算法(克魯斯卡爾算法)，是在賦權(quán)無向連通圖中，不斷地選取權(quán)值最小的邊加入集合。該算法的實質(zhì)是貪心算法，由于要包含所有的頂點(diǎn)的數(shù)為n，所以總共要選擇n-1條邊。

2.1 目標(biāo)函數(shù)

本文通過優(yōu)化配電網(wǎng)絡(luò)，以便改善配電網(wǎng)的經(jīng)濟(jì)性、安全性和可靠性。故對前面提到的以網(wǎng)損最小作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行修正：

2.2 約束條件

(1)配電網(wǎng)重構(gòu)后的網(wǎng)絡(luò)依然為輻射狀。

(2)配電網(wǎng)中不存在回路并且也沒有孤立節(jié)點(diǎn)。

(3)切換操作的次數(shù)盡量減小。

(4)容量與節(jié)點(diǎn)電壓約束。

滿足潮流計算方程。

2.3 基于Kruskal算法的配電網(wǎng)重構(gòu)實現(xiàn)過程

配電網(wǎng)重構(gòu)是閉環(huán)設(shè)計，開環(huán)呈輻射狀運(yùn)行[11]，因此可以把配電網(wǎng)看作是一個加權(quán)連通圖，通過改變開關(guān)狀態(tài)，調(diào)整網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，優(yōu)化配電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。陳莎[9]在整個重構(gòu)過程中，支路權(quán)值加入過多，使得運(yùn)算較為復(fù)雜且會造成運(yùn)算的混亂，N次迭代下來，得出的最終結(jié)果并不一定是最優(yōu)結(jié)果。因此本文將該步驟進(jìn)行了改進(jìn)，加入支路之后產(chǎn)生回路形成無向圖，在此基礎(chǔ)上再對權(quán)值進(jìn)行重新計算并求出最小生成樹，避免了權(quán)值混亂而求得的結(jié)果，使權(quán)值更加接近真實合理，得到更優(yōu)化的結(jié)果。

本文在配電網(wǎng)重構(gòu)過程中所采用的Kruskal算法不對其初始結(jié)構(gòu)產(chǎn)生依賴性，可以有效地對配電網(wǎng)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)進(jìn)行問題的尋優(yōu)，從而可以得出，配電網(wǎng)重構(gòu)問題的最優(yōu)解。即可以看作是對某一明確的根節(jié)點(diǎn)，通過滿足某一目標(biāo)函數(shù)，探索配電網(wǎng)所對應(yīng)的最小生成樹過程。

首先假設(shè)整個配電網(wǎng)為一個賦權(quán)連通無向圖G=，其中V是頂點(diǎn)的集合；E是由V集合中的元素構(gòu)成的邊的集合，集合內(nèi)全部為無序二元組。由于配電網(wǎng)是一個有權(quán)值的無向圖，所以每條邊e都對應(yīng)一個權(quán)值W(e)。權(quán)值最小且無回路的子集便是該無向圖G的最小生成樹T，也就是配電網(wǎng)尋求的最優(yōu)結(jié)果。因此，基于配電網(wǎng)所有負(fù)荷節(jié)點(diǎn)和根節(jié)點(diǎn)的最小生成樹T可以用以下方程來描述：

而Kruskal算法作為尋找最小生成樹的主要算法之一，因為不限制初始結(jié)構(gòu)，所以在配電網(wǎng)優(yōu)化重構(gòu)中被大量使用。該算法的操作步驟為：

Step1 在閉合所有開關(guān)的前提下，通過潮流算法計算潮流作為初始權(quán)值W(e0)。

Step2 利用Kruskal算法計算，尋找網(wǎng)絡(luò)的初始最小生成樹T(K)，經(jīng)過反復(fù)更新迭代，找出全網(wǎng)的最小生成樹使配電網(wǎng)結(jié)構(gòu)狀態(tài)達(dá)到最優(yōu)。具體步驟為：

Step2.1 根據(jù)初始權(quán)值W(e0)找到最小生成樹T(0)并求出其目標(biāo)函數(shù)minpL0。其中，樹T(0)之外的線路權(quán)值不發(fā)生變化，但是要將它們按照從小到大的順序依次放入隊列Q中。

Step2.2 取出隊首元素放入樹T(0)中形成無向圖G1；由于多加一條邊產(chǎn)生了一個環(huán)路，所以要重新計算無向圖G1的權(quán)值W(e1)，并找到最小生成樹T(1)，求出其目標(biāo)函數(shù)minpL1。

Step2.3 比較目標(biāo)函數(shù)minpL0與minpL1的大小，若minpL0小，則令T(1)=T(0)；若minpL1小，則將無向圖G1中樹T(1)之外的線路權(quán)值放到隊列Q的尾端。

Step2.4 回到步驟Step2.2，直到隊列Q為空，輸出最小生成樹T(N)。

3. 算例分析

3.1 算例1

該算例采用的是IEEE14節(jié)點(diǎn)電網(wǎng)系統(tǒng)對本文算法進(jìn)行測試。該電網(wǎng)系統(tǒng)參數(shù)信息有饋線電壓為12.66 kV，總有功負(fù)荷為2590 kV，無功負(fù)荷為j735 MVA，基準(zhǔn)電壓取10.5 kV。配電網(wǎng)的原結(jié)構(gòu)方式如圖1所示。

圖1 IEEE14節(jié)點(diǎn)配電系統(tǒng)圖

將圖中的14個節(jié)點(diǎn)抽象成為網(wǎng)圖中的14個節(jié)點(diǎn)，首選利用上述算法計算的電壓分布，如圖2所示。

圖2 IEEE14系統(tǒng)初始化潮流節(jié)點(diǎn)電壓分布

由圖中得出最低電壓節(jié)點(diǎn)為14，電壓值為10.4186 V。對IEEE14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行初始權(quán)值更新，同時每個節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)損如表1所示。

表1 IEEE14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)各支路初始網(wǎng)損

依據(jù)這些網(wǎng)損值，使用Kruskal算法進(jìn)行重構(gòu)，得出本算例系統(tǒng)所對應(yīng)的如圖3所示的系統(tǒng)初始最小生成樹。

圖3 IEEE14系統(tǒng)初始生成樹

該初始生成樹的網(wǎng)損是0.51241 MkW．利用Kruskal算法進(jìn)行迭代更新，最后得出的最小生成樹如圖4所示。

圖4 IEEE14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)重構(gòu)最小生成樹

表2 重構(gòu)結(jié)果比較

由表2可知，重構(gòu)后的網(wǎng)損明顯減小，最低節(jié)點(diǎn)電壓有所提高，一定程度上改善了電壓質(zhì)量。

3.2 算例2

該算例采用的是IEEE33[12]節(jié)點(diǎn)電網(wǎng)系統(tǒng)，基準(zhǔn)電壓值取12.66 kV，三相功率準(zhǔn)值取10 MVA，總負(fù)荷5084.26+j2547.32 kVA。配電網(wǎng)結(jié)構(gòu)如圖5所示。

其所包含節(jié)點(diǎn)的電壓分布如圖6所示。

由圖6中得出最低電壓節(jié)點(diǎn)為31，電壓值為9.4949 V。對表3所示的IEEE33節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)各支路初始網(wǎng)損進(jìn)行權(quán)值更新。

圖5 IEEE33節(jié)點(diǎn)配電系統(tǒng)圖

圖6 IEEE33節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)初始化潮流節(jié)點(diǎn)電壓分布

表3 IEEE33節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)各支路初始網(wǎng)損

更新權(quán)值后使用Kruskal算法對網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行初始化重構(gòu)，得出系統(tǒng)的初始最小生成樹，如圖7所示。

圖7 IEEE33節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)初始生成樹

該初始生成樹的網(wǎng)損是0.54876 MkW。利用Kruskal算法進(jìn)行迭代更新，最后得出的最小生成樹，如圖8所示。

圖8 IEEE33節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)重構(gòu)最小生成樹

表4 重構(gòu)結(jié)果

由表4可知，重構(gòu)后的網(wǎng)損明顯減小，最低節(jié)點(diǎn)電壓有所提高，一定程度上改善了電壓質(zhì)量。

4. 結(jié)論

配電網(wǎng)重構(gòu)主要有網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化和故障優(yōu)化兩種重構(gòu)方式。本文以網(wǎng)損最小為出發(fā)點(diǎn)來改善配電網(wǎng)的性能，屬于網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化的一種。研究結(jié)果主要包括：

(1)給出更加合理的權(quán)值。將配電網(wǎng)和圖論聯(lián)系起來，結(jié)合配電網(wǎng)特性，提出合適的賦權(quán)算法。在開關(guān)閉合的狀態(tài)下，通過潮流計算對配電網(wǎng)進(jìn)行初始賦值。

(2)基于最小生成樹的Kruskal算法進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化重構(gòu)，計算網(wǎng)損，以網(wǎng)損最小作為目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行支路交換操作反復(fù)迭代更新，直至尋找出符合目標(biāo)函數(shù)的最小生成樹。

(3)通過仿真算例，對基于最小生成樹算法的配電網(wǎng)重構(gòu)方法進(jìn)行驗證，結(jié)果表明：配電網(wǎng)優(yōu)化重構(gòu)技術(shù)對電網(wǎng)線路消耗削減，對提高供電質(zhì)量具有實際意義。