龔櫟澎，楊久東，李 韌，梁 鵬

(華北理工大學(xué) 礦業(yè)工程學(xué)院，河北 唐山 063210)

偽距定位是通過利用GNSS接收機(jī)的偽距觀測數(shù)據(jù)計(jì)算測站坐標(biāo)的定位方法，現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)展成為比較成熟的技術(shù)，主要用于導(dǎo)航定位和差分定位中初始大概位置的定位[1]。隨著精密單點(diǎn)定位(PPP)的逐漸深入研究，偽距單點(diǎn)定位方法及理論作為其基礎(chǔ)方法及定位理論，對(duì)偽距單點(diǎn)定位方法的深入研究是極其重要的[2-3]。偽距定位已經(jīng)不僅僅局限于傳統(tǒng)的偽距定位，通過研究的不斷深入，已經(jīng)衍生出了多種偽距定位解算模型[4-5]。研究發(fā)現(xiàn)，采用最小二乘迭代法對(duì)偽距進(jìn)行解算,其迭代次數(shù)少但定位精度較低[6-7]，所以采用卡爾曼( Kalman) 濾波法解算可使得精度有所提高，但迭代次數(shù)過多[8]；很多學(xué)者研究使用最小二乘法和Kalman濾波法組合使用的方法進(jìn)行偽距解算，減少迭代次數(shù)，提高定位精度[9]。偽距單點(diǎn)定位方法的精度一般為米級(jí)，組合偽距觀測值定位精度可高于單一偽距觀測值精度[10]，GPS靜態(tài)精密單點(diǎn)定位模型，點(diǎn)位精度可達(dá)毫米級(jí)[11]。BDS+GPS雙系統(tǒng)組合偽距定位模型的定位精度可高于單一系統(tǒng)偽距定位精度[12-13]。

偽距單點(diǎn)定位方法及理論的研究雖然很多[14]，但關(guān)于偽距定位的數(shù)學(xué)模型的表述多不夠詳細(xì)，筆者通過對(duì)偽距定位的進(jìn)一步研究，整理出加權(quán)最小二乘偽距定位和星間頻間偽距定位模型，以Python3.8為工具進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)，并利用實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證該數(shù)學(xué)模型的可行性與正確性以及程序的穩(wěn)定性，同時(shí)將兩種偽距定位方法的定位結(jié)果進(jìn)行比較，分析兩種偽距定位方法的定位效果及精度。

1 偽距定位模型

筆者通過對(duì)偽距單點(diǎn)定位模型的研究，利用接收機(jī)中的GPS衛(wèi)星系統(tǒng)的觀測文件o文件中的偽距觀測值和星歷文件P文件，采用無電離層模型較短基線測量的實(shí)驗(yàn)方法，分別計(jì)算兩種偽距單點(diǎn)定位模型中的測站坐標(biāo)。

1.1 加權(quán)最小二乘偽距單點(diǎn)定位模型

若在歷元時(shí)刻t，接收機(jī)接收到n顆GPS衛(wèi)星，選取高度角最高的衛(wèi)星r為參考衛(wèi)星，其余的衛(wèi)星記作衛(wèi)星s，對(duì)于參考衛(wèi)星r列出該衛(wèi)星與地面測站點(diǎn)在L1頻率的偽距觀測方程[15-16]，如式(1)所示：

(1)

(2)

(3)

可得式(4)：

(4)

對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行權(quán)陣為高度角定權(quán)模型的加權(quán)最小二乘求解，求得坐標(biāo)結(jié)果如式(5)所示：

(5)

將計(jì)算出的偽距定位結(jié)果與(x0,y0,z0)進(jìn)行比較，從而判斷各分量位置差值的大小，如果各分量差值大于0.01 m，則令x0=Xi，返回衛(wèi)星位置繼續(xù)進(jìn)行迭代計(jì)算，如果小于0.01 m，則退出迭代計(jì)算，輸出此歷元的定位結(jié)果，繼續(xù)下一歷元的坐標(biāo)計(jì)算。

由于單獨(dú)每個(gè)歷元的數(shù)據(jù)都可解算一個(gè)測站點(diǎn)坐標(biāo)，各歷元數(shù)據(jù)可視作是獨(dú)立觀測值，可通過均方根誤差(RMSE)指標(biāo)判別各歷元解算坐標(biāo)與平均值的變化幅度，可通過式(6)求得坐標(biāo)各分量的RMSE值和坐標(biāo)的RMSE值。

(6)

1.2 星間頻間偽距定位模型

文獻(xiàn)中根據(jù)加權(quán)最小二乘傳統(tǒng)偽距定位模型(星間單差偽距單點(diǎn)定位模型)提出了一種利用同一衛(wèi)星系統(tǒng)中的衛(wèi)星間及頻率間的雙差偽距定位模型[17]。由偽距定位原理可知，將式(2)～式(4)進(jìn)行變形整理后可得式(7)：

(7)

根據(jù)參考衛(wèi)星和其他衛(wèi)星的觀測方程進(jìn)行星間作差，可消去式(7a)和式(7b)的公共項(xiàng)cVtR,如式(8)所示：

(8)

GPS衛(wèi)星系統(tǒng)信號(hào)播發(fā)頻率L1是調(diào)制基本頻率10.23 MHz×154獲得的頻率，L2是調(diào)制基本頻率10.23 MHz×120獲得的頻率，如式(9)所示：

(9)

(10)

依據(jù)公式進(jìn)行最小二乘求解，因?yàn)樾情g頻間偽距定位方法是依據(jù)L1、L2頻率間作差進(jìn)行計(jì)算定位，但是衛(wèi)星的頻率發(fā)射是不穩(wěn)定的，存在一定的頻率波動(dòng)范圍，在后期解算中需要進(jìn)行一定的系數(shù)調(diào)整后再計(jì)算出測站的偽距定位坐標(biāo)。在進(jìn)行最小二乘解算中的權(quán)陣采用同一歷元下衛(wèi)星高度角定權(quán)模型，權(quán)陣為方差陣的逆，其方差公式如式(11)所示：

(11)

式中,σ為某顆衛(wèi)星方差;θ為衛(wèi)星高度角。根據(jù)誤差傳播定律可推導(dǎo)出式(12)：

D=(774+604)

(12)

式中,參考星為衛(wèi)星高度角最大的衛(wèi)星，其n-1余顆衛(wèi)星的方差依據(jù)其高度角求得。再計(jì)算出權(quán)陣后通過式(4)～式(6)求出定位坐標(biāo)結(jié)果以及均方根誤差。

2 偽距定位的程序設(shè)計(jì)

在利用Python語言進(jìn)行兩種偽距定位模型的程序設(shè)計(jì)時(shí)，如圖1所示，建立了不同的類來實(shí)現(xiàn)偽距定位坐標(biāo)的計(jì)算，主要包括文件讀取類、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換類、時(shí)間統(tǒng)一類、測站類、偽距定位模型計(jì)算類、精度評(píng)價(jià)類等六大類。

3 定位坐標(biāo)解算及精度分析

運(yùn)用本文所述的兩種偽距定位模型，利用2019年11月在河北省唐山市曹妃甸生態(tài)城控制網(wǎng)靜態(tài)觀測數(shù)據(jù)，選用C401、C410和GPS1共3個(gè)控制點(diǎn)，C401與C410間距5 493 m，C401與GPS1間距1 950 m，C410與GPS1間距4 348 m。同步觀測時(shí)間為100 min，靜態(tài)接收機(jī)型號(hào)為海星達(dá)IRTK2型雙頻接收機(jī)，且經(jīng)過質(zhì)檢鑒定，靜態(tài)數(shù)據(jù)文件為RINEX3.02文件，采樣間隔1 s，高度截止角為10°，因觀測時(shí)間較長，故選取觀測歷元中的300個(gè)歷元參與模型計(jì)算。程序自動(dòng)計(jì)算采用從1～300個(gè)歷元計(jì)算兩個(gè)偽距定位模型中的定位坐標(biāo)，同時(shí)使用中海達(dá)HGO基線解算軟件進(jìn)行控制網(wǎng)的解算并進(jìn)行嚴(yán)密二維約束平差后，最弱點(diǎn)中誤差的最大值為1.19 mm，符合精度要求，相對(duì)偽距定位模型的米級(jí)定位結(jié)果，可以認(rèn)為HGO解算的二維約束平差結(jié)果為真值，并將兩種偽距定位模型的定位結(jié)果進(jìn)行比較，如圖(2)～圖(10)所示。

圖(2)～圖(4)為測站C401的XYZ坐標(biāo)值，圖(5)～圖(7)為測站C410的XYZ坐標(biāo)值，圖(8)～圖(10)為測站GPS1的XYZ坐標(biāo)值。從圖中分析可知，三個(gè)測站的加權(quán)最小二乘偽距定位模型和星間頻間偽距定位模型的每個(gè)歷元解算的定位坐標(biāo)都出現(xiàn)了不同程度的波動(dòng)，符合偽距定位的解算規(guī)律。在兩種定位方法模型解算的300個(gè)歷元坐標(biāo)中，加權(quán)最小二乘方法的圖線波動(dòng)較小，圖形表現(xiàn)較為平穩(wěn)，最大波動(dòng)較差不足5 m，但是均在精密坐標(biāo)圖線下方，反觀星間頻間偽距定位模型解算的300歷元定位坐標(biāo)，波動(dòng)較大，大部分圖線波動(dòng)在精密坐標(biāo)圖線的上方與下方，其平均值與精密坐標(biāo)圖線更為接近。

圖1 程序設(shè)計(jì)流程圖

圖2 測站C401的X坐標(biāo)值

圖3 測站C401的Y坐標(biāo)值

圖4 測站C401的Z坐標(biāo)值

圖5 測站C410的X坐標(biāo)值

圖6 測站C410的Y坐標(biāo)值

圖7 測站C410的Z坐標(biāo)值

圖8 測站GPS1的X坐標(biāo)值

圖 9 測站GPS1的Y坐標(biāo)值

圖10 測站GPS1的Z坐標(biāo)值

為了更加直觀地分析兩種偽距定位方法在3個(gè)測站的定位精度，繪制表1，其中，ΔX、ΔY、ΔZ為300歷元的解算坐標(biāo)平均值與精確坐標(biāo)的差值，DX、DY、DZ為300歷元解算坐標(biāo)的變化范圍?？梢钥闯?，3個(gè)測站在經(jīng)過300個(gè)歷元解算后，對(duì)比兩種偽距定位方法的坐標(biāo)平均值與精密平差的坐標(biāo)的較差值發(fā)現(xiàn)，加權(quán)最小二乘偽距定位的X坐標(biāo)精度要優(yōu)于星間頻間偽距定位模型，但是Y、Z的平均值坐標(biāo)解算精度均是星間頻間偽距定位的定位精度較高，加權(quán)最小二乘偽距定位的最小較差為0.863 7 m，最大較差為4.781 2 m，星間頻間偽距定位的最小較差為0.451 1 m，最大較差為2.526 4 m，但在解算中的坐標(biāo)變化范圍波動(dòng)較大，最大波動(dòng)達(dá)到14.403 7 m，而加權(quán)最小二乘偽距定位最大波動(dòng)僅為4.507 7 m。

表1 測站定位坐標(biāo)誤差及坐標(biāo)變化范圍/m

RMSE值反映觀測值偏離真實(shí)有效數(shù)據(jù)值的波動(dòng)幅度情況，這一值越小誤差就越低，精度越高，偽距定位越準(zhǔn)確。通過表2分析可以得出，用兩種偽距定位方法在3個(gè)測站進(jìn)行300個(gè)歷元的解算，3個(gè)測站的RMSE值表現(xiàn)一致，均是加權(quán)最小二乘偽距定位的X坐標(biāo)解算精度高于星間頻間偽距定位，而星間頻間偽距定位在3個(gè)測站的RMSEY、RMSEZ、RMSEXYZ的值均低于加權(quán)最小二乘偽距定位。綜合分析，星間頻間偽距定位方法的定位精度要高于加權(quán)最小二乘偽距定位，但是X坐標(biāo)解算精度低于加權(quán)最小二乘偽距定位，主要原因可能在于選擇的解算模型不夠精確，在X定位計(jì)算中發(fā)生偏移，導(dǎo)致定位精度不高。

表2 測站RMSE值

4 結(jié) 論

本文對(duì)兩種偽距定位的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析和研究，用Python程序?qū)崿F(xiàn)了加權(quán)最小二乘偽距定位模型、星間頻間偽距定位模型的計(jì)算，并利用靜態(tài)實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，測站點(diǎn)的偽距定位精度在米級(jí)，加權(quán)最小二乘偽距定位方法計(jì)算的XYZ坐標(biāo)誤差在5 m內(nèi)，星間頻間偽距定位方法計(jì)算的XYZ坐標(biāo)誤差在3 m內(nèi)，星間頻間偽距定位的精度高于加權(quán)最小二乘偽距定位。經(jīng)過大量的實(shí)測數(shù)據(jù)的計(jì)算檢驗(yàn)，筆者編制的偽距定位程序是可靠的，其數(shù)學(xué)模型是可行的。由于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)區(qū)域較小，屬于短基線解算，對(duì)流層及電離層誤差影響較小，且僅采用了GPS單系統(tǒng)偽距觀測值進(jìn)行偽距計(jì)算，未加入其它衛(wèi)星系統(tǒng)進(jìn)行聯(lián)合解算。若在后期加入其它衛(wèi)星系統(tǒng)進(jìn)行有效組合偽距定位，能進(jìn)一步提高偽距定位精度及穩(wěn)定性。