陳勇將 湯文成 郭 魂 華洪良 劉宵陽

(①常州工學院航空與機械工程學院，江蘇 常州 213032；②東南大學機械工程學院，江蘇 南京211189)

滾珠絲杠進給系統(tǒng)被廣泛應用于數(shù)控機床中，其性能直接影響著數(shù)控機床的加工精度與質(zhì)量。在高速切削過程中，滾珠絲杠進給系統(tǒng)是時變系統(tǒng)，其動力學模型會隨工作臺位置和負載工件質(zhì)量的變化而改變[1]。對滾珠絲杠進給系統(tǒng)振動特性、時變特性等動態(tài)特性進行研究，建立其準確的動力學模型至關重要。

滾珠絲杠進給系統(tǒng)動力學模型主要包括集總參數(shù)模型、混合模型和有限元模型[2-3]：集總參數(shù)模型不能分析系統(tǒng)的時變特性；混合模型只對絲杠采用連續(xù)彈性梁模型，其他部件簡化成集中質(zhì)量和彈簧阻尼單元，模型精度較差；有限元模型精度較高，但建模難度大。結(jié)合部模型的精確構(gòu)建是進給系統(tǒng)混合與有限元模型準確建立的共性問題，其模型誤差是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)動力學建模誤差的主要來源[4]。因此，要建立準確的滾珠絲杠進給系統(tǒng)動力學模型，關鍵在于構(gòu)建精確的結(jié)合部動力學模型。

在機床結(jié)合部建模方法中，基于虛擬材料的建模方法具有較高的精確性、較廣的適用性和較強的實用性[5]，因此，對此結(jié)合部建模方法開展的研究也越來越廣泛和深入[6-10]。然而，基于虛擬材料結(jié)合部建模的研究仍停留在部件級分析階段，對于滾珠絲杠進給系統(tǒng)不能只重視各結(jié)合部孤立的研究，更要開展系統(tǒng)級的結(jié)合部虛擬材料模型建模研究，才能建立準確的滾珠絲杠進給系統(tǒng)動力學模型。

1 滾珠絲杠進給系統(tǒng)動力學模型的建立

滾珠絲杠進給系統(tǒng)主要包括滾珠絲杠副、軸承及導軌等零件，它存在螺栓固定結(jié)合部和滾珠絲杠-螺母運動結(jié)合部、滾動導軌-滑塊運動給合部與軸承運動結(jié)合部兩種類型?；谔摂M材料的結(jié)合部動力學參數(shù)化建模法，滾珠絲杠進給系統(tǒng)固定結(jié)合部和運動結(jié)合部虛擬材料模型示意如圖1所示。

采用多目標優(yōu)化算法獲得系統(tǒng)結(jié)合部虛擬材料模型的參數(shù)是一種有效的參數(shù)獲取方法[11-12]。以仿真固有頻率和試驗固有頻率之間差值的最小化目標函數(shù)計算模型，如式(1) ，選擇帶精英策略的非支配排序的遺傳算法(NSGA-II)作為多目標優(yōu)化算法?；诜中卫碚摻⑾到y(tǒng)結(jié)合部虛擬材料模型參數(shù)的解析模型，以此解析模型求解得到的動力學參數(shù)變化范圍作為約束條件。針對滾珠絲杠進給系統(tǒng)結(jié)合部虛擬材料參數(shù)的獲取，基于多目標優(yōu)化方法獲取其參數(shù)可采用單獨和整體兩種獲取方法。

(1)

1.1 結(jié)合部虛擬材料模型參數(shù)的優(yōu)化初值

滾珠絲杠進給系統(tǒng)結(jié)合部虛擬材料模型參數(shù)主要包括彈性模量、泊松比、密度和厚度。栓接固定結(jié)合部虛擬材料層的厚度一般約為1 mm，滾動導軌-滑塊與軸承運動結(jié)合部的厚度值為滾珠直徑值，滾珠絲杠-螺母運動結(jié)合部厚度值為螺母內(nèi)徑與絲杠外徑差值，所以設計變量為彈性模量、泊松比和密度。考慮微凸體接觸變形存在的三個階段，基于兩微接觸點之間互相作用的彈性模量求解公式，可得到虛擬材料結(jié)合部的彈性模量求解公式為[5]

(2)

結(jié)合部虛擬材料的泊松比解析模型建立的關鍵是切變模量的構(gòu)建，泊松比的表達式為

(3)

結(jié)合部虛擬材料的密度常用平均密度計算公式來計算：

(4)

式中：m1、m2分別為兩工件微凸體層的質(zhì)量；V1、V2分別為兩工件微凸體層的體積；ρ1、ρ2分別為兩工件微凸體層的密度；h1、h2分別為兩工件微凸體層的厚度；Aa為結(jié)合面的名義接觸面積。

1.2 結(jié)合部虛擬材料模型參數(shù)獲取的多目標優(yōu)化方法

針對滾珠絲杠進給系統(tǒng)結(jié)合部虛擬材料參數(shù)的獲取，基于多目標優(yōu)化方法獲取其參數(shù)可采用兩種方法：一是單獨獲取到各結(jié)合部的虛擬材料參數(shù)，即設計變量為單個結(jié)合部的彈性模量、泊松比、密度和厚度，目標函數(shù)為含單個結(jié)合部試件的仿真固有頻率和試驗固有頻率之間差值的最小化；二是整體獲取到全部結(jié)合部的虛擬材料參數(shù)，即設計變量為全部結(jié)合部的彈性模量、泊松比、密度和厚度，目標函數(shù)為系統(tǒng)整機的仿真固有頻率和試驗固有頻率之間差值的最小化。

2 滾珠絲杠進給系統(tǒng)建模方法驗證

為了驗證基于虛擬材料方法建立的滾珠絲杠進給系統(tǒng)模型，搭建了如圖2所示的滾珠絲杠進給系統(tǒng)模態(tài)測試平臺，此平臺主要由力錘、三軸加速度計、數(shù)據(jù)采集器、實時動態(tài)分析模塊以及計算機組成。被測量滾珠絲杠進給系統(tǒng)主要結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。實驗測量：螺母在3個不同位置時的進給系統(tǒng)固有頻率與振型，螺母移動位置的參照面為靠近前法蘭軸承座的導軌起始端面，如圖2所示，螺母位置1處、2處和3處距導軌起始端面分別為0 mm、115 mm和230 mm；含單個結(jié)合部試件的固有頻率與振型。

表1 滾珠絲杠進給系統(tǒng)模態(tài)測試平臺主要參數(shù)

模態(tài)實驗采用移動力錘法，傳感器安裝在絲杠上，通過橡皮繩懸掛滾珠絲杠進給系統(tǒng)試件來模擬自由邊界條件，在試件上布置了32個激勵點。根據(jù)模態(tài)有效質(zhì)量比計算結(jié)果可知，需取3階試驗固有頻率參與到目標函數(shù)的優(yōu)化過程。通過對比試驗模態(tài)振型與理論模態(tài)振型的相似性，確定此3階試驗固有頻率具體選擇的階數(shù)。由獲得的實驗振型可知，在3個不同螺母位置處，皆有一階與滾珠絲杠進給系統(tǒng)仿真振型對應的實驗振型未獲取到，分別為螺母位置1處、2處及3處的第2階、第1階及第2階實驗振型。同時可知，滾珠絲杠進給系統(tǒng)前3階振型，以絲杠的彎曲振動為主，伴有底板的扭轉(zhuǎn)振動。由圖3可知，基于滾珠絲杠進給系統(tǒng)虛擬材料動力學模型仿真得到的固有頻率與模態(tài)實驗獲取的固有頻率基本吻合，且基于整體獲取法獲取參數(shù)的仿真固有頻率更為接近實驗固有頻率。

3 討論

3.1 兩種方法獲取的結(jié)合部虛擬材料模型參數(shù)的對比與分析

由圖4～6可知，基于多目標優(yōu)化方法整體獲取的結(jié)合部虛擬材料模型參數(shù)值都小于初值和單獨獲取法的獲取值，這主要是由于整體獲取法的目標函數(shù)為系統(tǒng)整機的仿真固有頻率和試驗固有頻率之間差值的最小化，而滾珠絲杠進給系統(tǒng)整機固有頻率較絕大部分單獨部件的固有頻率低(含各結(jié)合部的單獨部件固有頻率，以下簡寫成“各結(jié)合部的固有頻率”)。

同時可知，基于多目標優(yōu)化方法單獨獲取各結(jié)合部虛擬材料模型參數(shù)值相較于整體獲取法的獲取值有著一定的分散性，這與單獨獲取法目標函數(shù)為各結(jié)合部試件的仿真固有頻率和試驗固有頻率之間差值的最小化有著直接關系。因為各結(jié)合部試件的固有頻率都不一樣，而整體獲取法的獲取值相對集中于3個區(qū)域，尤其是結(jié)合部虛擬材料模型的泊松比和密度，這與選取3階試驗固有頻率參與到目標函數(shù)的優(yōu)化過程不無關系。滾珠絲杠-螺母運動結(jié)合部虛擬材料模型的彈性模量值最大，由已有研究可知，滾珠絲杠進給系統(tǒng)中滾珠絲杠-螺母結(jié)合部接觸剛度相對較大，從宏觀角度看彈性模量可以表征結(jié)合部的接觸剛度。

3.2 螺母位置與負載質(zhì)量對進給系統(tǒng)振動的影響

由上可知基于整體獲取法獲取的滾珠絲杠進給系統(tǒng)結(jié)合部虛擬材料參數(shù)，將其獲取的參數(shù)代入至仿真模型，據(jù)此分析不同螺母位置與負載質(zhì)量對進給系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。在高速切削過程中，螺母位置與負載質(zhì)量在不斷變化，這種變化會影響滾珠絲杠進給系統(tǒng)的振動模態(tài)。由圖3可知，隨著螺母位置從位置1移至位置3，即螺母遠離參照面的過程中，滾珠絲杠進給系統(tǒng)的前三階固有頻率皆先變大后減小。在螺母位置2處，即絲杠中間位置處的前三階固有頻率最大。這是由于螺母扮演了移動彈性支撐的角色，其位置變化會導致進給系統(tǒng)的剛度跟隨其產(chǎn)生相應的變化：當螺母處于絲杠兩端時，系統(tǒng)的總體支撐剛度最小；當螺母處于絲杠中間位置時，系統(tǒng)總體支撐剛度較大，其固有頻率也就越高。由圖7可知，工作臺負載質(zhì)量越大，系統(tǒng)剛度越小，系統(tǒng)的固有頻率越小。工作臺負載質(zhì)量對進給系統(tǒng)固有頻率雖有影響，但不如螺母位置對進給系統(tǒng)固有頻率的影響。

4 結(jié)語

(1)基于多目標優(yōu)化方法單獨獲取各結(jié)合部虛擬材料模型參數(shù)的獲取方法計算量小，但操作繁雜，需要對各個結(jié)合部都進行試驗模態(tài)分析與仿真模態(tài)計算?；诙嗄繕藘?yōu)化方法整體獲取全部結(jié)合部虛擬材料模型參數(shù)的獲取方法計算量大，需要同時優(yōu)化全部結(jié)合部的參數(shù)，但操作簡單，只需對滾珠絲杠進給系統(tǒng)進行一次試驗模態(tài)分析與仿真模態(tài)計算，并通過實驗證明其獲取參數(shù)更為可靠。

(2)由于整體獲取法基于系統(tǒng)整機的固有頻率，故基于多目標優(yōu)化方法整體獲取的結(jié)合部虛擬材料模型參數(shù)值都小于初值和單獨獲取法的獲取值。

(3)隨著螺母位置和工作臺負載質(zhì)量的改變，滾珠絲杠進給系統(tǒng)的動力學模型具有時變特性。工作臺負載質(zhì)量對進給系統(tǒng)固有頻率雖有影響，但不如螺母位置對進給系統(tǒng)固有頻率的影響。