嚴(yán)京璽 夏 磊 宋慧新 宦榮華，2) 朱位秋(浙江大學(xué)航空航天學(xué)院，杭州310027)

?(中國(guó)北方車(chē)輛研究所，北京100072)

現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)對(duì)履帶車(chē)輛行駛的平穩(wěn)性提出了更高的要求，運(yùn)行平穩(wěn)性對(duì)于改善作戰(zhàn)人員作戰(zhàn)環(huán)境與提高履帶車(chē)輛行進(jìn)間火炮射擊精度有著極其重要的意義[1]。而要讓履帶車(chē)輛適應(yīng)復(fù)雜多樣的戰(zhàn)爭(zhēng)地形，先進(jìn)的懸架系統(tǒng)至關(guān)重要。履帶車(chē)輛懸架系統(tǒng)連接車(chē)體與負(fù)重輪，一般包含彈性支撐元件和減振裝置等，具有緩沖地面沖擊、減少車(chē)體振動(dòng)的作用，一般可分為被動(dòng)、主動(dòng)與半主動(dòng)三種類(lèi)型。當(dāng)前國(guó)內(nèi)履帶車(chē)輛多采用被動(dòng)懸架，然而由于被動(dòng)懸架剛度與阻尼無(wú)法調(diào)節(jié)，已經(jīng)無(wú)法滿(mǎn)足現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)的高要求。半主動(dòng)懸架由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、能耗較低、相對(duì)可靠等優(yōu)點(diǎn)，具有較好的應(yīng)用前景，其中最典型的就是利用磁流變阻尼器的半主動(dòng)懸架。然而磁流變阻尼器具有易沉淀等缺陷，離實(shí)際應(yīng)用還有一段距離。主動(dòng)懸架能夠根據(jù)車(chē)體實(shí)時(shí)狀態(tài)提供主動(dòng)力，故而在合適的控制策略下，可以起到很好的控制效果。當(dāng)前，世界各國(guó)都致力于主動(dòng)控制履帶車(chē)輛懸架的研究，英、美等發(fā)達(dá)國(guó)家已經(jīng)率先研制出了一些型號(hào)的主動(dòng)懸架履帶車(chē)輛，而我國(guó)在這方面的研究還不夠成熟。有效的控制策略是半主動(dòng)和主動(dòng)懸架的核心技術(shù)，不合適的控制算法不僅不能減小車(chē)體振動(dòng)，還可能會(huì)引起車(chē)體更大振動(dòng)甚至失穩(wěn)。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)車(chē)輛懸架的控制方法進(jìn)行了大量的研究[2-7]?，F(xiàn)有的控制策略主要分為三類(lèi)[8]，第一類(lèi)適用于簡(jiǎn)單的控制系統(tǒng)，以“天棚”控制[9]為代表，這種控制方法設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單但控制效果不夠理想。第二類(lèi)適用于線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，主要有線(xiàn)性最優(yōu)控制[10]、最優(yōu)預(yù)見(jiàn)控制[11]等。第三類(lèi)適用于強(qiáng)非線(xiàn)性系統(tǒng)，主要有模糊控制[12]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法等，這些算法都不是基于精確數(shù)學(xué)模型，雖然具有較好的魯棒性，但是控制效果有限。扭桿式空氣彈簧懸架由于空氣彈簧和扭桿的斜置設(shè)計(jì)，在復(fù)雜路面上運(yùn)行時(shí)表現(xiàn)出非常強(qiáng)的非線(xiàn)性特征，這類(lèi)懸架的隨機(jī)振動(dòng)控制一直以來(lái)都是一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題。近20多年來(lái)，浙江大學(xué)朱位秋團(tuán)隊(duì)對(duì)多自由度強(qiáng)非線(xiàn)性隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng)的最優(yōu)控制進(jìn)行了系統(tǒng)而深入的研究[13-15]，為本文的研究提供了理論基礎(chǔ)。

本文基于隨機(jī)最優(yōu)控制理論方法，研究了扭桿式履帶車(chē)輛機(jī)電懸架的非線(xiàn)性隨機(jī)最優(yōu)控制。首先基于空氣彈簧的非線(xiàn)性模型[16-18]，建立了扭桿式機(jī)電懸架的非線(xiàn)性隨機(jī)動(dòng)力學(xué)模型。隨后，根據(jù)隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理建立并求解機(jī)電懸架系統(tǒng)相應(yīng)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程，考慮到電機(jī)執(zhí)行器的執(zhí)行能力有限，確定了隨機(jī)最優(yōu)有界控制律。最后，通過(guò)仿真分析對(duì)提出控制規(guī)律的控制效果進(jìn)行了評(píng)估，并且討論了控制力時(shí)滯對(duì)控制效果的影響規(guī)律。

1 懸架系統(tǒng)建模

扭桿式履帶車(chē)輛一般由車(chē)體和多個(gè)負(fù)重輪組成，單個(gè)負(fù)重輪和車(chē)體之間通過(guò)扭桿、空氣彈簧和電機(jī)作動(dòng)器連接組成懸架系統(tǒng)。由于實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中，每個(gè)懸架系統(tǒng)是通過(guò)電機(jī)作動(dòng)器獨(dú)立控制的，因此，本文主要研究單個(gè)懸架的隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題，其簡(jiǎn)化模型如圖1所示。

圖1 履帶車(chē)輛機(jī)電懸架系統(tǒng)模型簡(jiǎn)圖

懸架系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，分別為車(chē)體的垂向運(yùn)動(dòng)與扭桿的轉(zhuǎn)動(dòng)，分別用yc與轉(zhuǎn)角α表示。車(chē)輪通過(guò)履帶與地面接觸，車(chē)輪與地面的接觸一般表示為接觸剛度為kw的彈簧，其原長(zhǎng)設(shè)為r0。x軸表示路面基準(zhǔn)線(xiàn)，路面激勵(lì)用隨機(jī)過(guò)程yr(x)表示，通常可以用路面不平順譜來(lái)描述其統(tǒng)計(jì)特性。圖1中δ為OC與水平的夾角，θ為OC與BC的夾角，γ為OC與OB的夾角。

負(fù)重輪通過(guò)空氣彈簧與車(chē)體連接并對(duì)車(chē)體進(jìn)行支撐，空氣彈簧簡(jiǎn)化模型如圖2所示。空氣彈簧結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)參數(shù)如表1所示。

表1 空氣彈簧參數(shù)

圖2 空氣彈簧模型

根據(jù)空氣彈簧的結(jié)構(gòu)，建立其力學(xué)模型為

式中，V0與P0分別為空氣彈簧初始體積與初始?jí)簭?qiáng)，Vd與Pd分別為活塞運(yùn)動(dòng)s時(shí)的空氣體積與壓強(qiáng)，F(xiàn)為活塞桿受力。由幾何條件可得

由第二類(lèi)拉格朗日方程可得懸架系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

式中，g為重力加速度，mc為車(chē)體質(zhì)量，mw為負(fù)重輪質(zhì)量，kr為扭桿扭轉(zhuǎn)剛度，Qα為由空氣彈簧與電機(jī)作動(dòng)器所產(chǎn)生的廣義外力

式中，U為電機(jī)作動(dòng)器所產(chǎn)生的主動(dòng)控制力矩。

由方程式(7)和方程式(8)可得系統(tǒng)靜平衡方程

式中，y0與α0為系統(tǒng)靜平衡時(shí)候車(chē)體垂向位移和扭桿轉(zhuǎn)角，可由方程式(10)和方程式(11)求解得到；Qα0為靜平衡時(shí)的廣義外力。

將方程式(7)和方程式(8)與方程式(10)和方程式(11)相減可得懸架系統(tǒng)的振動(dòng)方程

式中，u=yc-y0為車(chē)體垂向相對(duì)位移，λ=α-α0為扭桿相對(duì)角位移。Qλ為

方程式(13)和方程式(14)中，yr為路面不平順隨機(jī)載荷?？梢钥闯?，懸架系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)受控的隨機(jī)激勵(lì)的強(qiáng)非線(xiàn)性系統(tǒng)。本文主要目的是根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理設(shè)計(jì)一個(gè)控制規(guī)律來(lái)對(duì)該系統(tǒng)的非線(xiàn)性隨機(jī)振動(dòng)進(jìn)行有效控制。

2 非線(xiàn)性隨機(jī)最優(yōu)有界控制

路面不平順載荷模型化為一個(gè)隨機(jī)過(guò)程yr(t)，通常由路面不平順譜描述其統(tǒng)計(jì)量

式中，ω0為最低截止角頻率，n0為參考空間頻率，v為車(chē)輛行駛速度，Gyr(n0)為路面功率譜密度。該不平順通常可由一個(gè)高斯白噪聲過(guò)程經(jīng)一階微分方程濾波得到

式中，W(t)為單位強(qiáng)度高斯白噪聲。根據(jù)不同Gyr(n0)值可將路面不平度分為不同等級(jí)。

其中

實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中履帶車(chē)輛所產(chǎn)生的電能是有限的，所以提供給每個(gè)電機(jī)作動(dòng)器的電能也是有限的，從而導(dǎo)致作動(dòng)器的執(zhí)行能力受到限制。這個(gè)限制條件會(huì)影響實(shí)際控制力的執(zhí)行效果，本文將設(shè)計(jì)考慮執(zhí)行限制時(shí)的最優(yōu)控制規(guī)律。設(shè)控制力的限制由如下約束描述

式中，Ud和Uu分別表示電機(jī)作動(dòng)器的控制力下限和上限。

對(duì)于一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)，以其振動(dòng)響應(yīng)最小為目標(biāo)的最優(yōu)控制通常用一個(gè)性能指標(biāo)表示

式中，E[·]為期望算符，tf為控制終時(shí)，f為成本函數(shù)，ψ為控制終值函數(shù)。f和ψ的函數(shù)具體形式由實(shí)際控制問(wèn)題決定，對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)的線(xiàn)性隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題，f通常取狀態(tài)向量的二次型。方程(18)～(22)構(gòu)成了扭桿履帶車(chē)輛機(jī)電懸架系統(tǒng)的非線(xiàn)性隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題。

基于隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理建立方程式(18)～(22)相應(yīng)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程

式中，V是值函數(shù)，tr[·]為跡算符，e為單位陣。

在限制條件(21)下對(duì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程式(23)等號(hào)右邊取極小值，從而得到最優(yōu)有界控制力形式為

式中，sgn(·)為符號(hào)函數(shù)，其正負(fù)號(hào)由BT?V/(?Z)確定?？梢钥闯?，最優(yōu)控制力是分段式非線(xiàn)性形式。

3 結(jié)果與討論

對(duì)于12負(fù)重輪扭桿式履帶車(chē)輛，機(jī)電懸架系統(tǒng)基本參數(shù)為：1/12車(chē)體質(zhì)量mc=2000 kg，負(fù)重輪質(zhì)量mw=100 kg，扭桿扭轉(zhuǎn)剛度kr=20 kN·m/rad，扭桿預(yù)調(diào)角度ˉα=0.53 rad，負(fù)重輪支承彈簧剛度kw=6.0×105N/m，負(fù)重輪支承彈簧原長(zhǎng)r0=0.35 m?？刂屏ο孪轚d=-3000 N·m，上限Uu=3000 N·m，車(chē)輛時(shí)速v=25 m/s。

利用上述車(chē)體懸架和路面不平順參數(shù)計(jì)算得到控制前后懸架系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)及其統(tǒng)計(jì)量，如圖3～圖5 和表2所示。

圖3 (a)為被動(dòng)與主動(dòng)懸架車(chē)體垂向位移響應(yīng)時(shí)程曲線(xiàn)。被動(dòng)懸架是指電機(jī)作動(dòng)器不起作用，僅在空氣彈簧和扭桿彈性支撐作用下的車(chē)體響應(yīng)，主動(dòng)懸架是按式(24)確定的最優(yōu)控制下的車(chē)體響應(yīng)?？梢钥闯?，車(chē)體在主動(dòng)控制下的垂向振動(dòng)響應(yīng)比被動(dòng)下的振動(dòng)響應(yīng)有顯著降低。圖3(b)～圖3 (d)分別為被動(dòng)與主動(dòng)控制下車(chē)體垂向位移、速度和加速度的頻域(power spectral density，PSD)曲線(xiàn)。可以看出主動(dòng)控

圖3 控制前后車(chē)體垂向振動(dòng)響應(yīng)

圖3 控制前后車(chē)體垂向振動(dòng)響應(yīng)(續(xù))

圖4 控制界限U對(duì)控制效果的影響

圖5 扭轉(zhuǎn)剛度對(duì)控制效果的影響

制力對(duì)車(chē)體在低頻區(qū)間內(nèi)的垂向位移、速度和加速度都有不同程度的降低。對(duì)于履帶作戰(zhàn)車(chē)輛而言，低頻振動(dòng)的抑制至關(guān)重要。車(chē)體垂向位移的降低有利于提高履帶車(chē)輛行進(jìn)間的打擊精度，垂向速度的降低有利于提高履帶車(chē)輛上載觀瞄設(shè)備的觀瞄精度，而垂向加速度的降低有利于提高成員的乘坐舒適度。

表2 不同路面等級(jí)下的控制效果

表2 顯示了提出的控制策略在不同等級(jí)路面下對(duì)車(chē)體垂向振動(dòng)的控制效果。控制效果用主動(dòng)控制下車(chē)體垂向速度響應(yīng)均方值相比于被動(dòng)懸架響應(yīng)均方值的減少百分比來(lái)衡量?？梢钥闯?，隨著路面不平順度的加強(qiáng)，履帶車(chē)輛受到的隨機(jī)載荷強(qiáng)度增加，控制方法的控制效果略有降低，但總體上能維持在60%以上。值得提出的是，我們假設(shè)在不同路面等級(jí)上電機(jī)作動(dòng)器的執(zhí)行能力是一樣的，即具有相同的Ud和Uu值。圖4顯示了控制力界限|Ud|=Uu=U對(duì)控制力執(zhí)行效果的影響規(guī)律?？梢钥闯?，隨著電機(jī)作動(dòng)器控制力界限的提高，控制力對(duì)車(chē)體垂向振動(dòng)的控制效果逐漸增大。因此，在滿(mǎn)足履帶車(chē)輛其他部件能量供應(yīng)后，適當(dāng)提高電機(jī)作動(dòng)器的電能供應(yīng)或者更換更大作動(dòng)力的作動(dòng)器有利于提高控制效果。

實(shí)際履帶車(chē)輛運(yùn)行環(huán)境非常復(fù)雜，在運(yùn)行過(guò)程中懸架系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)有時(shí)會(huì)發(fā)生改變。圖5顯示了扭轉(zhuǎn)剛度變化對(duì)控制效果的影響?？梢钥闯?，在±3 kN·m/rad的扭轉(zhuǎn)剛度變化范圍內(nèi)，控制效果也穩(wěn)定在60%～70%。由此可見(jiàn)，提出的最優(yōu)控制對(duì)于扭轉(zhuǎn)剛度變化具有較好的魯棒性。

在實(shí)際控制中，時(shí)滯現(xiàn)象是不可避免的，傳感器采集和傳遞數(shù)據(jù)、作動(dòng)器的作動(dòng)過(guò)程均存在時(shí)間滯后。大量理論工作已經(jīng)顯示，控制力時(shí)滯對(duì)控制效果具有非常重要的影響。因此本文研究了時(shí)滯對(duì)車(chē)體振動(dòng)控制效果的影響規(guī)律。根據(jù)式(18)建立含時(shí)滯的系統(tǒng)方程

式中，τ為時(shí)滯時(shí)間。在其他參數(shù)不變的條件下對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算分析，得到時(shí)滯對(duì)控制效果的影響，如圖6所示?？梢钥闯?，控制力時(shí)滯對(duì)控制力的執(zhí)行效果具有很大影響?？傮w上，隨著時(shí)滯時(shí)間的增加，控制力的控制效果逐漸降低。時(shí)滯時(shí)間小于0.15 s時(shí)，受控車(chē)體垂向振動(dòng)均方響應(yīng)隨時(shí)滯變化比較緩慢，并且一直小于被動(dòng)控制的均方響應(yīng)，表明控制力還具有一定的控制效果。然而當(dāng)時(shí)滯大于0.15 s之后，受控車(chē)體的均方響應(yīng)快速增大，此時(shí)控制力不僅沒(méi)有起到抑制振動(dòng)的效果，反而導(dǎo)致車(chē)體振動(dòng)響應(yīng)增大。因此，提高傳感器數(shù)據(jù)采集和作動(dòng)器作動(dòng)效率，減小時(shí)滯時(shí)間對(duì)履帶車(chē)輛的主動(dòng)控制具有重要意義。

圖6 時(shí)滯對(duì)車(chē)體垂向位移響應(yīng)均方值的影響

4 結(jié)論

本文研究了扭桿式履帶車(chē)輛機(jī)電懸架非線(xiàn)性隨機(jī)振動(dòng)的最優(yōu)控制。由于負(fù)重輪斜式放置和空氣彈簧非線(xiàn)性，扭桿式履帶車(chē)輛的懸架系統(tǒng)具有強(qiáng)非線(xiàn)性特征，在路面不平順作用下會(huì)產(chǎn)生劇烈非線(xiàn)性隨機(jī)振動(dòng)。本文基于隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，確定了考慮電機(jī)作動(dòng)器有界時(shí)車(chē)體懸架的非線(xiàn)性隨機(jī)最優(yōu)控制策略，并通過(guò)計(jì)算分析了最優(yōu)控制力對(duì)車(chē)體垂向振動(dòng)的抑制效果。主要結(jié)論如下：

(1)最優(yōu)控制對(duì)車(chē)體垂向振動(dòng)的位移、速度和加速度都具有不同程度的抑制作用，有望同時(shí)提升履帶車(chē)輛行進(jìn)間射擊精度、設(shè)備觀瞄精度和人員乘坐舒適度等。

(2)最優(yōu)控制能適應(yīng)不同等級(jí)的路面不平順載荷，可以通過(guò)適當(dāng)提高電機(jī)執(zhí)行器的執(zhí)行界限來(lái)提高控制的執(zhí)行效果。

(3)最優(yōu)控制對(duì)車(chē)體懸架參數(shù)的變化具有較好的魯棒性，能在一定程度上適應(yīng)復(fù)雜環(huán)境運(yùn)行時(shí)履帶車(chē)輛系統(tǒng)參數(shù)的不確定變化。

(4)時(shí)滯對(duì)控制力的執(zhí)行效果影響較為顯著，為保證控制力的執(zhí)行效果，整個(gè)控制回路的時(shí)滯時(shí)間建議在0.15 s以?xún)?nèi)。

本文雖然只是針對(duì)單個(gè)懸架系統(tǒng)確定了隨機(jī)最優(yōu)控制策略，但是由于履帶車(chē)輛的每個(gè)懸架都是獨(dú)立控制的，因此，該控制策略可以應(yīng)用到履帶車(chē)輛的整車(chē)控制上，只是在整車(chē)控制時(shí)還需要考慮到整車(chē)電能在各作動(dòng)器上優(yōu)化分配問(wèn)題。