盧 玲

(吉林電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院，吉林 吉林 132021)

0 前言

齒輪作為重型機(jī)械領(lǐng)域中應(yīng)用最為廣泛的傳動(dòng)部件之一，其使用壽命直接關(guān)系到機(jī)械的整體壽命。磨損作為不可避免的一種故障形式，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)齒輪磨損過程對(duì)齒輪壽命分析具有重要的研究意義。在低速重載條件下，齒輪表面油膜難以形成，齒輪的主要磨損形式為粘著磨損，導(dǎo)致齒輪表面產(chǎn)生嚴(yán)重磨損[1]。無法準(zhǔn)確估計(jì)齒輪表面磨損發(fā)展過程將導(dǎo)致齒輪有過度的冗余設(shè)計(jì)，進(jìn)而導(dǎo)致機(jī)械重量增大，成本增加，運(yùn)行與維護(hù)難度大。Flodin等人針對(duì)齒輪粘著模型進(jìn)行了研究，將Archard磨損模型引入到齒輪磨損計(jì)算中，提出了齒輪磨損的計(jì)算模型，為齒輪磨損問題奠定了基礎(chǔ)[2-4]。潘東等人充分考慮了齒輪負(fù)載及轉(zhuǎn)速對(duì)齒輪副齒面磨損的綜合影響，建立了齒輪磨損壽命預(yù)測(cè)模型，但僅僅考慮了單一齒輪在恒定工況下的齒輪磨損壽命預(yù)測(cè)[5]。馮松等人對(duì)齒輪齒面磨損對(duì)齒輪剛度的影響進(jìn)行了分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)磨損對(duì)齒輪剛度的影響可以忽略，該研究對(duì)齒輪磨損后剛度計(jì)算的簡化提供了依據(jù)[6]。周長江等人則針對(duì)圓柱斜齒輪提出了在準(zhǔn)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)載荷下的粘著磨損計(jì)算，并計(jì)算出磨損后的動(dòng)力學(xué)特性[7]。本文結(jié)合Archrad磨損模型，充分考慮齒輪的內(nèi)部和外部激勵(lì)，得到齒面的動(dòng)態(tài)載荷分布，從而計(jì)算齒輪齒面磨損分布。

1 磨損模型

粘著磨損計(jì)算首先是由Archard提出，計(jì)算粘著磨損公式為[8]

(1)

式中，h為磨損厚度；s為相對(duì)滑動(dòng)距離；k是磨損系數(shù)；p為觸壓力；由式(1)可以得

(2)

式中，v是滑動(dòng)速度；在齒輪磨損計(jì)算中需要進(jìn)行離散化分析，可以得到離散化齒輪磨損計(jì)算公式為

hi,j=hi,j-1+kpi,j-1vjΔt

(3)

式中，hi為i微元內(nèi)的齒輪磨損深度，i為嚙合點(diǎn)所在單元，j為p點(diǎn)的磨損次數(shù)；p為嚙合點(diǎn)所受壓強(qiáng)；vp為嚙合點(diǎn)滑動(dòng)速度；Δt為時(shí)間步長。齒面磨損離散化模型具體如圖1所示。

圖1 齒面離散化

圖中θ1和θ2為齒輪旋轉(zhuǎn)角度；v1和v2為齒輪齒面線速度，vp=v1-v2。

2 齒輪動(dòng)力學(xué)模型

本文以直齒輪為研究對(duì)象，建立2個(gè)自由度的動(dòng)力學(xué)模型，分別為內(nèi)外齒輪的角位移θ1和θ2，具體如圖2所示。其中，Rb1、Rb2分別為外、內(nèi)齒輪基圓半徑；T1、T2分別為輸入、輸出力矩；I1、I2分別為外、內(nèi)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；m1、m2分別為外、內(nèi)齒輪的質(zhì)量；Ke(t)為齒輪時(shí)變嚙合剛度；c(t)為時(shí)變嚙合阻尼；e(t)為齒輪齒廓誤差；f(δ)為齒輪應(yīng)變函數(shù)。

圖2 內(nèi)嚙合直齒輪動(dòng)態(tài)嚙合模型

為求解動(dòng)態(tài)嚙合力，將角位移θ1、θ2轉(zhuǎn)化為嚙合方向的線位移y1、y2。假定Fd表示外部載荷力，則Fd滿足Fd=T1/Rb1=T2/Rb2可得[9]

(4)

式中，S1i=ρ1i/Rb1，S2i=ρ2i/Rb2分為外、內(nèi)齒輪嚙合點(diǎn)處曲率半徑與其基圓半徑之比。

對(duì)于任意嚙合齒對(duì)i，其動(dòng)態(tài)嚙合力可以表示為

Fi=Kei(xr-e)

(5)

其中，當(dāng)xr-e≤0時(shí)齒輪嚙合點(diǎn)處的嚙合力為0，當(dāng)xr-e>0時(shí)Fi>0。

將式(6)代入式(5)整理后可得

(6)

將粘性阻尼考慮進(jìn)去整理后可得

(7)

3 齒輪嚙合剛度

根據(jù)最小勢(shì)能原理可以準(zhǔn)確求解出齒輪嚙合剛度。通過計(jì)算在齒輪接觸過程中的各應(yīng)變勢(shì)能，累加后得到總應(yīng)變勢(shì)能，從而計(jì)算總的接觸剛度。計(jì)算的直齒輪輪齒的彈性勢(shì)能U可以表示為彎曲勢(shì)能Ux、擠壓勢(shì)能Un和剪切勢(shì)能Us[11]：

U=Ux+Un+Us

(8)

所有的勢(shì)能可以通過彈性理論公式進(jìn)行計(jì)算：

(9)

式中，F(xiàn)為兩齒間法向接觸力；ξP為P點(diǎn)壓力角；B為齒輪軸向?qū)挾?；E為彈性模量；G為剪切彈性模量；y為齒輪截面旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)；e(y)為y的函數(shù)，表示y對(duì)應(yīng)的齒輪截面齒厚；yb和yP分別為根截面和載荷截面對(duì)應(yīng)的值；Cs為當(dāng)量修正系數(shù)，這里取值為1.5；具體參數(shù)如圖3所示。

圖3 齒輪幾何參數(shù)

可以將U轉(zhuǎn)化為關(guān)于嚙合壓力角ξP的函數(shù)，計(jì)算公式為

式中，ξP與嚙合參數(shù)有關(guān)，γb為齒輪根部角厚度。

在齒嚙合過程中會(huì)出現(xiàn)多對(duì)齒同時(shí)參與嚙合的情況，得到多齒彈性勢(shì)能Uz。

(10)

式中，在當(dāng)齒輪嚙合點(diǎn)的嚙合參數(shù)為ξP時(shí)，其相鄰齒面嚙合點(diǎn)參數(shù)分別為ξP+1和ξP-1。為得到不同輪齒的齒面載荷，定義Us的逆函數(shù)Vs滿足以下條件

(11)

4 齒面磨損計(jì)算

主動(dòng)輪齒輪模數(shù)為5.5，壓力角為0.35 r/min，輸入功率為50 kW，其他參數(shù)如表1所示。

表1 齒輪參數(shù)

將齒輪從進(jìn)入嚙合到退出嚙合等間距分割成100個(gè)時(shí)間步長，并假設(shè)每個(gè)時(shí)間微元內(nèi)認(rèn)為齒輪齒面幾何參數(shù)不變。為求解齒輪運(yùn)行過程中的齒面動(dòng)態(tài)載荷隨時(shí)間變化的函數(shù)，需要求解出齒輪齒面的穩(wěn)態(tài)載荷分布，并結(jié)合龍格庫塔法進(jìn)行迭代求解。計(jì)算流程圖如圖4所示。

圖4 齒輪表面磨損流程圖

根據(jù)最小勢(shì)能法可以計(jì)算得到齒輪穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下的齒面嚙合力，并作為計(jì)算迭代的初值進(jìn)行計(jì)算。同時(shí)為研究不同轉(zhuǎn)速下對(duì)齒輪磨損的影響，分別計(jì)算在主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速分別為10 r/min、40 r/min、70 r/min時(shí)的嚙合力,如圖4所示。

圖5 齒輪齒面滑動(dòng)速度和齒面嚙合力

圖5中Tz為輪齒嚙合周期?？梢钥闯鳊X輪在單-雙齒嚙合過程中兩次明顯突變。而在動(dòng)態(tài)條件下的低速齒輪齒面嚙合力如圖6所示。

圖6 齒輪齒面滑動(dòng)速度和齒面嚙合力

從圖6中可以看出，在功率不變時(shí)，齒輪轉(zhuǎn)速增加齒輪齒面嚙合力從10 r/min時(shí)的多峰分布逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)?0 r/min和0 r/min時(shí)的雙峰分布。此時(shí)齒輪齒面嚙合力呈明顯的動(dòng)態(tài)特征。

分別計(jì)算轉(zhuǎn)速為10 r/min、30 r/min和50 r/min時(shí)，主動(dòng)輪和從動(dòng)輪經(jīng)過10 000、20 000、…、100 000次嚙合厚度的齒輪表面磨損分布，如圖7～圖12所示。

圖7 10 r/min時(shí)主動(dòng)輪齒面磨損分布

圖8 10 r/min時(shí)從動(dòng)輪齒面磨損分布

圖9 30 r/min時(shí)從動(dòng)輪齒面磨損分布

圖10 30 r/min時(shí)從動(dòng)輪齒面磨損分布

圖11 10 r/min時(shí)從動(dòng)輪齒面磨損分布

圖12 10 r/min時(shí)從動(dòng)輪齒面磨損分布

從圖7～圖12中可以看出，主動(dòng)輪在進(jìn)入嚙合段時(shí)的磨損較退出嚙合段有明顯減少，同時(shí)從動(dòng)輪在進(jìn)入和退出嚙合段的磨損較為均衡。且主動(dòng)輪最大磨損較從動(dòng)輪增加約67%。同時(shí)在功率不變時(shí)，隨著轉(zhuǎn)速增加，齒輪表面磨損逐漸平緩，齒輪齒面磨損量減少。

王曉筍等人則基于齒輪準(zhǔn)靜態(tài)條件計(jì)算齒輪齒面磨損分布，具體如圖13～圖18所示[12]。

圖13 準(zhǔn)靜態(tài)條件下10 r/min時(shí)主動(dòng)輪磨損厚度

圖14 準(zhǔn)靜態(tài)條件下10 r/min時(shí)從動(dòng)輪磨損厚度

圖15 準(zhǔn)靜態(tài)條件下30 r/min時(shí)主動(dòng)輪磨損厚度

圖16 準(zhǔn)靜態(tài)條件下30 r/min時(shí)主動(dòng)輪磨損厚度

圖17 準(zhǔn)靜態(tài)條件下50 r/min時(shí)主動(dòng)輪磨損厚度

圖18 準(zhǔn)靜態(tài)條件下50 r/min時(shí)主動(dòng)輪磨損厚度

圖13～圖18中分別給出了主動(dòng)輪和從動(dòng)輪在10 r/min、30 r/min和50 r/min轉(zhuǎn)速下，嚙合次數(shù)分別為10 000，20 000，…，100 000時(shí)的齒面磨損厚度。可以看出，王曉筍等人計(jì)算齒面磨損分布時(shí)，在節(jié)線處齒輪磨損厚度同樣為零，齒面磨損厚度隨著齒輪節(jié)線距離增加而增加，但是在齒輪嚙合力突變處能看出有明顯突變。從動(dòng)輪在進(jìn)入嚙合段的磨損較大，而主動(dòng)輪在進(jìn)入與退出嚙合段的磨損較為均衡。可以看出準(zhǔn)靜態(tài)齒輪齒面磨損計(jì)算無法反映出齒輪的動(dòng)態(tài)特性。

5 結(jié)論

本文利用Archard粘著磨損理論，并結(jié)合最小勢(shì)能理論計(jì)算低速重載齒輪在轉(zhuǎn)速變化時(shí)的齒輪齒面嚙合力變化規(guī)律，同時(shí)計(jì)算出在變載荷條件下的齒輪磨損厚度變化。隨著轉(zhuǎn)速升高，齒輪齒面動(dòng)態(tài)嚙合力逐漸趨于平穩(wěn)，齒面沖擊減弱。通過對(duì)比準(zhǔn)靜態(tài)齒輪齒面磨損計(jì)算方法，可以看出需要充分結(jié)合齒輪的動(dòng)態(tài)特性并計(jì)算齒面磨損分布，齒輪齒面動(dòng)態(tài)嚙合力變化是導(dǎo)致齒齒面磨損分布變化的主要原因。