蔡 禾，張 景，鄭 巖，孫金海，張旭濤，李糧生，劉永強(qiáng)，殷紅成

1. 北京環(huán)境特性研究所，北京 100854 2. 電磁散射重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100854 3. 北京電子工程總體研究所，北京 100854

引 言

太赫茲輻射指的是頻率在0.1～10 THz(波長在3 mm～30 μm)之間的電磁波，其波段處于微波和紅外之間，其能量介于電子和光子之間，屬于遠(yuǎn)紅外電磁輻射范疇。太赫茲技術(shù)在物質(zhì)鑒定、生物醫(yī)藥檢測、無損檢測、材料研究以及航空航天領(lǐng)域都有獨(dú)特的應(yīng)用優(yōu)勢。太赫茲技術(shù)的發(fā)展很大程度離不開太赫茲時(shí)域光譜技術(shù)，太赫茲時(shí)域光譜技術(shù)是一種相干探測技術(shù)，已經(jīng)成為了太赫茲領(lǐng)域研究必不可少的測量手段，通過太赫茲寬帶脈沖對樣品的透射、反射波形的提取，可獲得被測物質(zhì)的光學(xué)參數(shù)。

已往絕大多數(shù)研究人員普遍采用透射測量方法，而透射測量具有一定局限性，只有弱吸收、低反射的材料(n?k)更適合透射測量方案[1]，大多情況下，往往面臨待測材料樣品無法被太赫茲波穿透或者材料反射了絕大部分入射能量，透射能量很弱，這樣的材料就更適合通過反射測量來獲取其介電參數(shù)。太赫茲波段，反射測量一直無法普及，最重要的原因是太赫茲波長較短，準(zhǔn)確提取相位信息存在一定的困難。要測準(zhǔn)獲得反射相位信息，需要測量材料反射率時(shí)放置樣品板的前表面與放置參考板前表面嚴(yán)格一致，但對于只有0.3 mm(1 THz)的波長而言，定位精度至少達(dá)到0.003 mm才能保證相位精度3.6°，這是人工放置樣品無法達(dá)到的精度。因此，盡管反射式測量具有更廣范的適用性和更高應(yīng)用價(jià)值，上述問題限制了反射測量的普及。但這一現(xiàn)狀正在逐漸改變，一些修正太赫茲反射譜相位的方法已出現(xiàn)[2-4]。

研究了通過太赫茲時(shí)域光譜反射測量提取材料參數(shù)的方法，引入光學(xué)中常用的Kramers-Kronig關(guān)系應(yīng)用在太赫茲波段，嘗試恢復(fù)正確的反射相位信息，為驗(yàn)證Kramers-Kronig關(guān)系在相位恢復(fù)上的準(zhǔn)確性，將提取常見材料硅的光學(xué)常數(shù)、介電參數(shù)，與另一種反射相位恢復(fù)方法最大熵法以及透射測量的結(jié)果作了比較，并利用反射測量獲取了一種具有明顯吸收峰的精神類藥品的吸收譜，驗(yàn)證了該方法同樣適合處理材料的反射吸收譜數(shù)據(jù)。本文也對Kramers-Kronig關(guān)系在材料參數(shù)反演時(shí)的適用范圍、應(yīng)用特點(diǎn)進(jìn)行了討論和總結(jié)。

1 反射測量相位恢復(fù)及材料參數(shù)提取方法

1.1 Kamers-kronig關(guān)系提取材料參數(shù)

Kamers-Kronig關(guān)系最早由克拉莫斯(Kramers)和克朗尼格(Kronig)提出，之后越來越引起科學(xué)工作者的興趣，并且漸漸被用于各種實(shí)際關(guān)系問題中，大部分的測量光學(xué)常數(shù)的方法都對材料的形態(tài)或者是材料的類型都有一定的要求，有的方法只是用于一定狀態(tài)的材料或者只適用于某一種特定類型的材料，而Kamers-Kronig關(guān)系分析方法的魅力還在與它適用于各種不同形態(tài)、不同類型的材料。從無機(jī)到有機(jī)，從固體到液體，從體材料到薄膜材料，從Kamers-Kronig關(guān)系的應(yīng)用范圍就可以看出其在光學(xué)測量應(yīng)用中的重要性[5-6]。

傳統(tǒng)的太赫茲時(shí)域光譜技術(shù)在反射測量時(shí)，無法保證參考板和樣品表面嚴(yán)格處于同一位置，而太赫茲波長較短，微小的放置偏差將導(dǎo)致相位相差數(shù)個(gè)周期，從而導(dǎo)致了反演太赫茲頻段材料介電參數(shù)失敗或者錯(cuò)誤。如何準(zhǔn)獲得相位信息，是基于太赫茲時(shí)域光譜技術(shù)提取材料光學(xué)參數(shù)的關(guān)鍵問題，如果可以直接得到相移θ和反射率R之間的關(guān)系，就可通過一次性測量反射譜獲得材料的折射率n(ω)和消光系數(shù)k(ω)以及復(fù)介電常數(shù)，而Kamers-Kronig關(guān)系正是給出了反射系數(shù)的振幅和相移之間的表達(dá)式[9-10]

(1)

有了準(zhǔn)確的反射相位，根據(jù)特定偏振，特定反射角可計(jì)算材料的復(fù)折射率

(2)

中間變量[見式(2a)和式(2b)]

(2a)

(2b)

式(2a)和式(2b)中φ1為入射角，M(ω)和W(ω)均為中間計(jì)算變量; 在垂直反射的情況下可獲得簡潔的形式[7]

(3)

(4)

根據(jù)材料的復(fù)折射率n(ω)和k(ω)，可獲得材料的介電參數(shù)以及吸收系數(shù)。

εr=n2(ω)-k2(ω)

(5)

εi=2n(ω)k(ω)

(6)

(7)

應(yīng)用Kamers-Kronig關(guān)系需要注意兩個(gè)問題： 積分范圍與奇點(diǎn)的處理。Kamers-Kronig關(guān)系中反射率和相移的關(guān)系式(1)中，頻率積分范圍從零到無窮的，而測量頻率范圍是有限范圍[ω1,ω2]，在高能端和低能端都需要近似來補(bǔ)足，該積分可以分為三部分分別計(jì)算

(8)

在測量頻率范圍外無法進(jìn)行積分，需要采用端點(diǎn)優(yōu)化的處理方法，對于不同情況可以采用不同的優(yōu)化方法，而最常用是有常數(shù)外推法。對于反射光譜在高頻端或者低頻端變化不明顯的被測物，未知頻段的反射率基本可以當(dāng)成是常數(shù)； 即在[0,ω1]范圍內(nèi)，認(rèn)為其反射率R1=R(ω1)。對于高頻部分[ω2, ∞]，認(rèn)為其反射率為恒定值R2=R(ω2)。因此，基于Kamers-Kronig關(guān)系反演介電參數(shù)時(shí)，對于兩端反射率隨頻率變化不明顯的材料計(jì)算結(jié)果將會(huì)更加準(zhǔn)確，測量頻率范圍越寬，反演結(jié)果將會(huì)越準(zhǔn)確。

在積分過程中，ω′=ω時(shí)出現(xiàn)奇點(diǎn)，該點(diǎn)的值可以用附近的值代替或者該點(diǎn)的極限值代替[9]，根據(jù)洛必達(dá)法則有

(9)

1.2 最大熵法修復(fù)相位提取材料參數(shù)

最大熵法作為一個(gè)相位恢復(fù)過程，在線性和非線性光學(xué)光譜中的適用性已得到驗(yàn)證。香農(nóng)奠定了子信息技術(shù)中作為基礎(chǔ)的熵的一般概念。Vartiainen為了解決光學(xué)反射光譜的相位恢復(fù)問題，引入了這種方法。最大熵一個(gè)主要優(yōu)勢是不需要測定在整個(gè)電磁波譜的反射，而是旨在感興趣的區(qū)域測量。然而，除了反射數(shù)據(jù)，在最大熵的框架內(nèi)通常需要樣品在離散頻率處的光學(xué)特性信息，以確定其復(fù)折射率。

這些在固定點(diǎn)處的信息通常包含樣品的復(fù)折射率的實(shí)部和虛部，由在有限光譜范圍內(nèi)至少一個(gè)頻點(diǎn)確定。在實(shí)際中，最大熵相位恢復(fù)過程包括由以下公式(具體數(shù)學(xué)推導(dǎo)可以在文獻(xiàn)[2]中找到)得到的反射率R(ν)，即

(10)

式中歸一化角頻率ν定義為

(11)

未知的最大熵系數(shù)am和|ζ|是測量值的相關(guān)函數(shù)，可以從一組線性尤利-沃克方程獲得，即

(12)

式中相關(guān)C(t)通過反射的傅里葉變換獲得，即

(13)

相位恢復(fù)通過使用復(fù)反射率來完成

(14)

式(14)中，相位誤差φ是唯一一個(gè)不能通過測量R(ν)獲得的量。這一問題反映到最大熵相位恢復(fù)中表現(xiàn)為找到真正的相位φ被簡化為找到相位誤差φ，它與真正給的相位相比通常是一個(gè)更加簡單的函數(shù)。關(guān)于r(ν)的額外信息，在L+1個(gè)離散歸一化頻點(diǎn)Vl處決定，用于多項(xiàng)式估算相位誤差，即

(15)

式中，相位誤差通常是一個(gè)緩慢變化的函數(shù)，在較優(yōu)情況下只需要一個(gè)或兩個(gè)固定點(diǎn)來確定，即此時(shí)多項(xiàng)式的階數(shù)很低。

1.3 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

使用了兩套系統(tǒng)，美國API公司生產(chǎn)的T-ray 5000型光纖耦合的商用太赫茲系統(tǒng)，作為本研究的主要測量工具如圖1所示，將發(fā)射器和接收器置于一個(gè)半圓形軌道，使其能夠?qū)崿F(xiàn)多角度的反射測量，所有反射測量實(shí)驗(yàn)均基于15°入射角進(jìn)行。系統(tǒng)工作頻率范圍0.05～3 THz，頻譜分辨率最高1.5 GHz。另外采用日本生產(chǎn)的Advantest的TAS7500型太赫茲時(shí)域光譜系統(tǒng)，基于1 550 nm激光激發(fā)切倫科夫輻射源和光電導(dǎo)天線的探測機(jī)制，可實(shí)現(xiàn)0.5～7 THz頻率分辨率7.6 GHz。圖2為兩套系統(tǒng)頻譜比對，可以看到API的T-RAY 5000型的能量分布主要集中在低頻，2 THz以內(nèi)信噪比較高，而Advantest的TAS7500能量主要集中在中高頻，在1.5～6.5 THz以內(nèi)具有較高的信噪比。

2 結(jié)果與討論

基于反射測量以及Kamers-Kronig關(guān)系對太赫茲頻段常用的半導(dǎo)體材料硅的光學(xué)參數(shù)進(jìn)行提取，并與另一種反射處理方法最大熵法以及透射測量方法進(jìn)行比對，以驗(yàn)證應(yīng)用Kamers-Kronig關(guān)系反演材料光學(xué)參數(shù)的準(zhǔn)確性。選擇高阻硅片材是因?yàn)楣柙谔掌濐l段常作為半反半透材料使用，不僅能夠反射太赫茲波，同時(shí)有較低的吸收，適合透射測量，便于結(jié)果比對。

2.1 相位恢復(fù)效果比對

通過Kamers-Kronig關(guān)系和最大熵方法都可以實(shí)現(xiàn)對相位偏差的恢復(fù)，雖然對相位進(jìn)行恢復(fù)原理不太一樣，但能夠達(dá)到異曲同工的效果。圖3為利用同一硅材料的反射測量數(shù)據(jù)，通過Kamers-Kronig關(guān)系和最大熵方法對相位進(jìn)行恢復(fù)并與實(shí)驗(yàn)測量相位進(jìn)行比對； 可以看出實(shí)驗(yàn)直接測量所得的相位斜率較大，而通過兩種方法恢復(fù)的相位更加平緩且基本一致。如果認(rèn)為通過兩種方法恢復(fù)的相位相當(dāng)于更接近真實(shí)情況，實(shí)驗(yàn)測量的相位相對真實(shí)相位都存在一定的偏離，且這個(gè)偏離值隨著頻率的提升而升高是合理的，因?yàn)閷τ诠潭ǖ臉悠贩胖闷睿ㄩL越短，相位偏差將越大。由于系統(tǒng)發(fā)射、接收天線的頻譜能量主要集中在低頻部分，1.5 THz以上的高頻部分的輻射功率較弱，經(jīng)硅片只能反射小部分，進(jìn)一步的削弱了信噪比，因此相位高頻部分存在一定的相位抖動(dòng)。取圖3中1 THz處的相位誤差并參考硅在太赫茲頻段的折射率，可估算出樣品放置誤差約0.014 mm。

圖1 光纖耦合式介電參數(shù)測量系統(tǒng)Fig.1 Fiber coupled TDS system

圖2 兩套太赫茲時(shí)域光譜系統(tǒng)頻率-能量分布曲線Fig.2 Energy distribution curves of two TDS system

圖3 通過Kamers-Kronig關(guān)系、MEM方法恢復(fù)的相位Fig.3 Phase results recovered by Kamers-Kronig relation and MEM method

2.2 材料參數(shù)恢復(fù)結(jié)果比對

圖4為硅片的材料參數(shù)反演結(jié)果，包括了透射、反射測量反演的折射率(a)、消光系數(shù)(b)、復(fù)折射率實(shí)部(c)、虛部(d)，從材料參數(shù)反演結(jié)果分析，通過透射測量、反射測量反演的硅的折射率略有不同，都在3.2～3.4附近，透射測量反演的硅材料的折射率在3.4水平，而反射測量分別通過最大熵(MEM)以及(Kamers-Kronig)關(guān)系反演硅的折射率略低，兩種反射處理方法都使用了同一次測量數(shù)據(jù)，細(xì)微的差異主要來自于兩種不同的相位恢復(fù)方法。Kamers-Kronig關(guān)系反演方法更依賴于測量頻段曲線端點(diǎn)的數(shù)據(jù)，通常采用線性外推，外推值并非真實(shí)反射率，造成了與實(shí)際值存在一定差異，MEM法反演的結(jié)果更依賴于最大熵法譜估計(jì)技術(shù)的準(zhǔn)確度。

圖4 硅片的材料參數(shù)反演結(jié)果 (a)： 折射率； (b)： 消光系數(shù)k； (c): 介電常數(shù)實(shí)部; (d): 介電常數(shù)虛部Fig.4 Inversion result of silicon wafer’s material parameters (a)： The refractive index； (b)： Extinction coefficient； (c)： Real part of permittivity； (d)： Imaginary part of permittivity

2.3 吸收譜的提取

基于反射測量提取吸收譜一直是時(shí)域光譜需要克服的困難之一，基于Kamers-Kronig關(guān)系同樣可以用于吸收譜提取。為了驗(yàn)證這一過程，測量了一種精神類藥品卡馬西平的吸收譜，之所以選擇該藥品是因?yàn)槠湓?.23 THz也有尖銳的吸收峰，在2 THz以內(nèi)整體吸收較弱，同時(shí)又有一定的反射，既可以透射測量也可反射測量，方便兩種方法進(jìn)行比對。樣品為粉末狀，樣品制備時(shí)在卡馬西平樣品中摻了沒有明顯吸收的聚乙烯粉末增加粘性，壓片后放入系統(tǒng)進(jìn)行測量。如圖5所示，分別通過透射、反射方法對樣片進(jìn)行了測試，并計(jì)算了其吸收譜，幅度進(jìn)行了歸一化以便比較。雖然透射可獲得2 THz的吸收譜，但由于反射譜高頻反射信號(hào)較弱[10]，吸收譜只能計(jì)算到1.5 THz，通過Kamers-Kronig關(guān)系和最大熵(MEM)處理的反射測量數(shù)據(jù)在1.24 THz處的吸收峰相互吻合較好，且與透射測量吸收峰位與有些研究結(jié)果一致。由于反射測量采用Kamers-Kronig變換時(shí)，其相位穩(wěn)定度完全依賴反射率的積分，因此計(jì)算出的相位曲線抖動(dòng)較大。

圖5 精神類藥物卡馬西平的吸收譜測量Fig.5 The absorption spectrum of carbamazepine

2.4 兩種方法的使用范圍討論

利用Kamers-Kronig關(guān)系反演材料參數(shù)的方法，理論上若能獲得全頻段的反射率的情況下，反演結(jié)果才足夠準(zhǔn)確，但對于實(shí)際情況，只能測量有限頻段的反射率，其余部分采取外推近似的方法，因此會(huì)引入誤差。為了評(píng)估拓寬測量頻段帶來的多大的改善效果，分別采用API(0.1～2 THz)和Advantest(1～4.5 THz) 兩套系統(tǒng)的測量其反射率，再利用Kamers-Kronig關(guān)系對反射率的拼接結(jié)果進(jìn)行反演獲得硅在0.1～4.5 THz的材料參數(shù)，結(jié)果如圖6所示，從結(jié)果可以看出，拓寬測量頻率對材料的光學(xué)參數(shù)影響并不大。即擴(kuò)展測量頻率范圍對于反射率在整個(gè)頻段較平坦的材料適用，測量更寬的頻帶必要性不大。

Kamers-Kronig關(guān)系和MEM的適用范圍有些區(qū)別，Kamers-Kronig關(guān)系的優(yōu)勢是只需要獲得材料的反射率幅度，恢復(fù)相位的過程中無需借助測量的相位進(jìn)行，因此該方法不僅可以用于太赫茲時(shí)域光譜技術(shù)，也適用于如傅里葉變換光譜儀(FTIR)等非相干測量裝置。而MEM方法的優(yōu)勢是無需反射率外推，更適合相干測量使用。此外，Kamers-Kronig關(guān)系聳用于反射率在測量頻率范圍內(nèi)變化不大的物質(zhì)。反射率在全頻段浮動(dòng)較大的物質(zhì)，會(huì)影響相位的恢復(fù)精度，從而影響材料反演材料參數(shù)的精度。

圖6 透射和反射法測量的硅折射率和消光系數(shù)比較 (a)： 折射率； (b)： 消光系數(shù)Fig.6 Comparison of refractive index and extinction coefficient of silicon by transmission and reflection measurement (a)： The refractive index； (b)： Extinction coefficient

值得注意的是，無論是Kamers-Kronig關(guān)系法還是MEM方法提取材料參數(shù)時(shí)都會(huì)出現(xiàn)較大的噪聲，原因是在相位恢復(fù)過程中都用到了反射率，Kamers-Kronig關(guān)系法的相位恢復(fù)利用了反射率的積分，MEM法通過計(jì)算相位誤差時(shí)也用到了反射率，即幅度噪聲傳遞到了相位中，而透射測量中，相位由直接測量的時(shí)域波形變換而得，因此用，Kamers-Kronig關(guān)系和MEM法處理反射測量數(shù)據(jù)時(shí)，處理的材料參數(shù)的抖動(dòng)將高于透射測量。因此用以上兩種反射處理方法時(shí)，如信噪比不足夠高的情況下，對數(shù)據(jù)進(jìn)行一定的平滑才能得到較好的結(jié)果。

3 結(jié) 論

為了解決反射式太赫茲時(shí)域光譜數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確提取問題，將Kamers-Kronig關(guān)系引入太赫茲時(shí)域光譜系統(tǒng)的反射譜處理過程，該方法能夠較好地恢復(fù)反射相位信息從而用于材料復(fù)折射率、復(fù)介電常數(shù)、吸收譜等反演，該方法與另一種反射測量處理方法-最大熵法以及透射測量得到的結(jié)果都能夠?qū)崿F(xiàn)相互印證，證明了該種方法提取材料參數(shù)具有較好的準(zhǔn)確性。該方法有效的解決了長久以來時(shí)域光譜技術(shù)只應(yīng)用于透射測量的技術(shù)困境，使太赫茲時(shí)域光譜測量更具實(shí)用價(jià)值。Kamers-Kronig關(guān)系非常適合處理太赫茲波無法穿透的高吸收材料或者對太赫茲波具有高反射特性的材料參數(shù)提取過程，不僅可應(yīng)用于相干測量，也適用于不能獲得相位信息的非相干測量，如FTIR測量數(shù)據(jù)。Kamers-Kronig關(guān)系適用于反射率在測量頻率范圍內(nèi)變化不大的物質(zhì)，反射率在全頻段波動(dòng)較大的物質(zhì)，會(huì)影響反演材料參數(shù)的精度。本研究成果對于利用反射式太赫茲時(shí)域光譜系統(tǒng)獲取材料太赫茲波段的光學(xué)參數(shù)提供了一種有效方法，解決了反射測量無法準(zhǔn)確提取材料參數(shù)的困境，使太赫茲時(shí)域光譜技術(shù)可滿足更寬的應(yīng)用范圍。