夏思琦,于先文
(東南大學(xué) 交通學(xué)院,南京 211189)
載波相位是全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(global navigation satellite system, GNSS)精密定位中1 個(gè)必不可少的觀測值。在對(duì)載波相位的觀測過程中,由于外界干擾或者硬件故障等原因,會(huì)造成接收機(jī)整周計(jì)數(shù)器發(fā)生中斷,從而導(dǎo)致載波相位觀測值發(fā)生整周跳變,這個(gè)整周跳變被稱作周跳。周跳具有傳遞性,一旦在某個(gè)歷元發(fā)生了周跳,此歷元之后的所有載波相位觀測值中均會(huì)含有該周跳。周跳是1 種常見現(xiàn)象,特別是當(dāng)觀測環(huán)境較差時(shí),周跳的發(fā)生會(huì)更加頻繁。
隨著GNSS 定位技術(shù)應(yīng)用領(lǐng)域和工作環(huán)境的日益拓展,須不斷完善GNSS 精密定位數(shù)據(jù)處理方法,其中周跳的探測與修復(fù)是1 個(gè)非常重要的環(huán)節(jié)。目前已提出了多種周跳探測與修復(fù)方法,主要有高次差法[1]、多普勒觀測值法[2-3]、圖爾博·埃迪特(TurboEdit)方法[4-5]、3 頻組合周跳探測法[6-7]等。但周跳被誤探、漏探的情況仍時(shí)有發(fā)生,導(dǎo)致GNSS 定位結(jié)果受到較大的影響。文獻(xiàn)[8]指出,周跳對(duì)于GNSS 定位的影響是不能被忽略的問題,即使觀測值中只含有1 個(gè)周跳,也會(huì)對(duì)定位結(jié)果造成分米級(jí)的影響;文獻(xiàn)[9]以全球定位系統(tǒng)(global positioning system,GPS)3 差模型為基本參數(shù)模型,討論了周跳對(duì)基線向量的影響,但未對(duì)影響程度進(jìn)行分析;文獻(xiàn)[10]提出,當(dāng)觀測數(shù)據(jù)中含有周跳時(shí),對(duì)相對(duì)定位中的雙差解會(huì)造成很大的影響,但也未給出具體的影響程度。
目前,GNSS 定位技術(shù)的應(yīng)用越來越廣泛,在一些特殊環(huán)境下(城市街道、高邊坡路等)進(jìn)行定位時(shí),受多路徑等因素影響,導(dǎo)致周跳的發(fā)生會(huì)變得更加頻繁[11]。因此,研究周跳對(duì)定位的影響機(jī)理與程度,對(duì)完善數(shù)據(jù)處理方法具有一定的參考價(jià)值。
當(dāng)某一歷元無周跳發(fā)生時(shí),原始載波相位觀測方程[12]可寫成
式中:iλ 為第i 個(gè)頻率載波相位觀測值φ 的波長;ρ 為星地間的幾何距離;ρion,i為第i 個(gè)頻率載波相位觀測值φ 對(duì)應(yīng)的電離層延遲;ρtro為對(duì)流層延遲; δTr、δTs分別為接收機(jī)r 和衛(wèi)星s 的鐘差;c 為真空光速;mr、ms分別為接收機(jī)r 和衛(wèi)星s的相位硬件延遲;N 為整周模糊度;ε 為觀測隨機(jī)誤差。
式(1)中的未知參數(shù)包括模糊度、坐標(biāo)(或基線)向量,其中模糊度具有整數(shù)特性。當(dāng)有多個(gè)載波觀測值時(shí),基于式(1)可得的觀測方程為
式中:L為載波觀測值與各模型化的系統(tǒng)誤差之和構(gòu)成的矩陣;a 為模糊度向量;b 為坐標(biāo)(或基線)向量;A 和B 為已知系數(shù)矩陣;ε 為觀測隨機(jī)誤差向量。
對(duì)式(2)進(jìn)行加權(quán)最小二乘估計(jì)[13],得到未知參數(shù)a 和b 的實(shí)數(shù)解向量為
相應(yīng)的方差陣為
由式(6)可知,當(dāng)模糊度被固定后,b 的整數(shù)解較實(shí)數(shù)解在精度方面會(huì)有很大的提高。
當(dāng)有周跳發(fā)生時(shí),式(2)可寫成
式中ΔN 為周跳向量。
同樣地,對(duì)式(7)進(jìn)行加權(quán)最小二乘估計(jì),得到未知參數(shù)a 和b 的實(shí)數(shù)解
對(duì)式(8)中的逆矩陣進(jìn)行展開,可得
由式(9)可知,周跳對(duì)定位實(shí)數(shù)解帶來的系統(tǒng)誤差
式中Δb 為周跳對(duì)定位實(shí)數(shù)解帶來的系統(tǒng)誤差。
式(10)中不含隨機(jī)誤差項(xiàng),故Δb 是1 個(gè)固定向量。基于式(9),可得的均方差陣
由式(11)可知,有周跳發(fā)生時(shí)定位實(shí)數(shù)解的精確度要差于無周跳發(fā)生時(shí)定位實(shí)數(shù)解的精確度,其精度損失可表示為
式中Δ1D 為周跳對(duì)定位實(shí)數(shù)解所造成的精度損失。
為了更直觀地反映周跳對(duì)定位實(shí)數(shù)解精度的影響,將方矩陣Δ1D 映射成1 個(gè)值,得到定位實(shí)數(shù)解精度損失指標(biāo)
式中: tr (· )為方陣的跡;Δs 為周跳對(duì)定位實(shí)數(shù)解所造成的精度損失指標(biāo)。
利用式(13)即可計(jì)算出周跳對(duì)定位實(shí)數(shù)解所造成的精度損失。
當(dāng)沒有周跳發(fā)生時(shí),b 的整數(shù)解向量及相應(yīng)方差陣如式(5)和式(6)所示。當(dāng)周跳發(fā)生后,原來已固定的模糊度由于受到周跳影響將不能被固定,因此不能獲得定位整數(shù)解,定位結(jié)果為受污染的實(shí)數(shù)解。此時(shí)周跳對(duì)定位整數(shù)解帶來的系統(tǒng)偏差可表示為
式中Δb′ 為周跳對(duì)定位整數(shù)解帶來的系統(tǒng)偏差。
式中Δ2D 為周跳對(duì)定位整數(shù)解所造成的精度損失。
由式(15)可知,Δ2D 與具體觀測值無關(guān)且恒為正定矩陣。因此,當(dāng)觀測值中含有周跳且導(dǎo)致模糊度無法被固定時(shí),會(huì)對(duì)定位結(jié)果產(chǎn)生嚴(yán)重影響,直到模糊度再次被固定后,這種影響才會(huì)消失。
為了更方便地反映周跳對(duì)定位整數(shù)解精度的影響,將方矩陣Δ2D 映射成1 個(gè)值,可得精度損失指標(biāo)
式中Δz 為周跳對(duì)定位整數(shù)解所造成的精度損失指標(biāo)。
本算例采用的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來源于2018 年1 月16日,南京1 條18 km 左右的基線,測站名分別為MAQN 和JNNF。接收機(jī)型號(hào)為Trimble NetR9,采樣間隔1 s,衛(wèi)星截止高度角設(shè)為15°。利用2 個(gè)觀測站長期連續(xù)觀測數(shù)據(jù)解算得到該基線向量準(zhǔn)確值,并將該準(zhǔn)確值作為向量坐標(biāo)真值。利用定位軟件對(duì)該組數(shù)據(jù)進(jìn)行相對(duì)定位解算,將獲得的基線向量整數(shù)解坐標(biāo)與向量坐標(biāo)真值作差,得到的坐標(biāo)真誤差情況如圖1 所示。
從圖1 可以看出,3 個(gè)方向的誤差變化整體平緩且坐標(biāo)真誤差均在0.005 m 附近波動(dòng)。說明該組數(shù)據(jù)中無周跳發(fā)生。因此采用該組無周跳的觀測數(shù)據(jù)分別進(jìn)行小周跳、大周跳、連續(xù)周跳對(duì)定位影響的實(shí)驗(yàn)。
圖1 無周跳時(shí)定位結(jié)果
為了分析小周跳對(duì)定位的影響程度。在MAQN 觀測站的第5 個(gè)歷元處,G05 號(hào)衛(wèi)星L1 頻點(diǎn)上的載波相位觀測值中加入1 個(gè)周跳,由于周跳的繼承性,之后L1 所有歷元的載波相位觀測值中都將包含1 個(gè)周跳。利用定位軟件重新對(duì)該條基線數(shù)據(jù)進(jìn)行相對(duì)定位解算,獲得的G05 號(hào)衛(wèi)星L1 頻點(diǎn)上的整周模糊度情況如圖2 所示。
圖2 模糊度變化情況(1 個(gè)周跳)
從圖2 中可以看出,在加入周跳前,模糊度的整數(shù)解為218 976 個(gè)周期,加入1 個(gè)周跳后的一段時(shí)間內(nèi),模糊度變?yōu)榱藢?shí)數(shù)解,在218 977 個(gè)周期附近震蕩,說明隨著歷元的增加,周跳逐漸被吸收至模糊度中。從第15 個(gè)歷元開始,模糊度才重新被固定。
將利用軟件解算得到的基線向量與向量坐標(biāo)真值作差,結(jié)果如圖3 所示。從圖3 中可以看出,在第5 個(gè)歷元處的東(E)、北(N)、天(U)方向坐標(biāo)真誤差在0.15 m 左右。而從第15 個(gè)歷元開始,模糊度重新被固定,E、N、U 方向的坐標(biāo)真誤差也回到0.005 m 附近波動(dòng)。
圖3 加入周跳后定位結(jié)果
表1 為在第5~14 個(gè)歷元,基于式(16)計(jì)算各歷元的精度損失指標(biāo) Δz 。
表1 第5~15 個(gè)歷元精度損失指標(biāo)
由表1 可知,在第5 個(gè)歷元處, Δz 達(dá)到了0.678 m,可知周跳對(duì)定位會(huì)產(chǎn)生較大的影響。隨著歷元的增加逐漸減小,直到第15 個(gè)歷元模糊度被重新固定后, Δz 變?yōu)? m。
為了分析大周跳對(duì)定位的影響程度,同樣在MAQN 觀測站的第5 個(gè)歷元處,G05 號(hào)衛(wèi)星L1頻點(diǎn)上的載波相位觀測值中產(chǎn)生了10 個(gè)周跳,由于周跳的繼承性,之后L1 所有歷元的載波相位觀測值中都將包含10 個(gè)周跳。利用定位軟件重新對(duì)該條基線數(shù)據(jù)進(jìn)行相對(duì)定位解算,獲得的G05 號(hào)衛(wèi)星L1 頻點(diǎn)上的整周模糊度情況如圖4所示。
圖4 模糊度變化情況(10 個(gè)周跳)
從圖4 中可以看出,在加入周跳前,模糊度的整數(shù)解依舊為218 976 個(gè)周期,加入周跳后一段時(shí)間內(nèi),模糊度不能被固定,直至第25 個(gè)歷元,模糊度才重新被固定。
將利用軟件解算得到的基線向量與向量坐標(biāo)真值作差,結(jié)果如圖5 所示。從圖5 中可以看出,在第5 個(gè)歷元處的E、N、U 方向坐標(biāo)真誤差在1~2 m。而從第25 個(gè)歷元開始,模糊度重新被固定,E、N、U 方向的坐標(biāo)真誤差也回到0.005 m附近波動(dòng)。
圖5 加入周跳后定位結(jié)果
用第5~26 個(gè)歷元處的數(shù)據(jù),基于式(16)計(jì)算處各歷元的精度損失指標(biāo) Δz ,其結(jié)果如表2所示。
表2 第5~26 個(gè)歷元精度損失指標(biāo)
由表2 可知,在第5 個(gè)歷元處,Δ z 達(dá)到了3.278 m,可知周跳對(duì)定位會(huì)產(chǎn)生較大的影響。隨著歷元的增加逐漸減小,直到第26 個(gè)歷元模糊度被重新固定后, Δz 變?yōu)? m。
為了分析連續(xù)周跳對(duì)定位的影響程度,在MAQN 測站的第5 個(gè)、第8 個(gè)歷元處,G05 號(hào)衛(wèi)星L1 頻點(diǎn)上的載波相位觀測值中分別產(chǎn)生了1 個(gè)周跳。利用定位軟件重新對(duì)該條基線數(shù)據(jù)進(jìn)行相對(duì)定位解算,獲得的G05 號(hào)衛(wèi)星L1 頻點(diǎn)上的整周模糊度情況如圖6 所示。
從圖6 中可以看出,在加入周跳前,模糊度的整數(shù)解依舊為218 976 個(gè)周期,在第5 個(gè)歷元加入周跳后,模糊度不能被固定。在第8 個(gè)歷元加入周跳后,模糊度進(jìn)一步受到影響,仍不能被固定。直至第18 個(gè)歷元,模糊度才重新被固定。
將利用軟件解算得到的基線向量與向量坐標(biāo)真值作差結(jié)果如圖7 所示。
圖6 模糊度變化情況(連續(xù)周跳)
圖7 加入周跳后定位結(jié)果
從圖7 中可以看出,在第5 個(gè)歷元處的E、N、U 方向坐標(biāo)真誤差在0.2 m 左右。隨著歷元的增加,周跳逐漸被吸收至模糊度中,坐標(biāo)真誤差逐漸減小。由于在第8 個(gè)歷元處又有了1 個(gè)周跳的產(chǎn)生,E、N、U 方向坐標(biāo)真誤差重新達(dá)到了0.3 m 左右。隨著歷元的增加,坐標(biāo)真誤差繼續(xù)逐漸減小,從第19 個(gè)歷元開始,E、N、U 方向的坐標(biāo)真誤差也回到0.005 m 附近波動(dòng)。
利用第5~19 個(gè)歷元的觀測數(shù)據(jù),基于式(16)計(jì)算出各歷元的精度損失指標(biāo) Δz ,其結(jié)果如表3 所示。
表3 第5~19 個(gè)歷元精度損失指標(biāo)
由表3 可知,在第3 個(gè)歷元處, Δz 達(dá)到了0.686 m,之后隨著歷元的增加逐漸減小,由于在第8 個(gè)歷元處重新出現(xiàn)了1 個(gè)周跳, Δz 又重新達(dá)到了0.806 m,之后再次隨著歷元的增加逐漸減小,直到第19 個(gè)歷元模糊度被重新固定后,Δ z 變?yōu)? m。
本文首先給出了GNSS 精密定位模型;然后推導(dǎo)了周跳對(duì)定位實(shí)數(shù)解和定位整數(shù)解的影響程度計(jì)算公式,并根據(jù)方差陣分析了相應(yīng)的精度損失;最后通過對(duì)人為加入大、小、連續(xù)周跳到觀測數(shù)據(jù)中,重新進(jìn)行定位解算,將得到定位結(jié)果與無周跳觀測數(shù)據(jù)的定位結(jié)果相互之間進(jìn)行對(duì)比,可得到如下結(jié)論:①周跳發(fā)生之后,模糊度被重新固定所需的歷元個(gè)數(shù)與周跳的大小有關(guān),一般周跳值越大,模糊度重新固定所需的歷元個(gè)數(shù)越多;②當(dāng)發(fā)生連續(xù)周跳時(shí),對(duì)定位的影響程度會(huì)出現(xiàn)疊加現(xiàn)象,模糊度被重新固定所需的歷元個(gè)數(shù)將會(huì)增多。