夏思琦，于先文

（東南大學(xué) 交通學(xué)院，南京 211189）

0 引言

載波相位是全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（global navigation satellite system, GNSS）精密定位中1 個(gè)必不可少的觀測值。在對(duì)載波相位的觀測過程中，由于外界干擾或者硬件故障等原因，會(huì)造成接收機(jī)整周計(jì)數(shù)器發(fā)生中斷，從而導(dǎo)致載波相位觀測值發(fā)生整周跳變，這個(gè)整周跳變被稱作周跳。周跳具有傳遞性，一旦在某個(gè)歷元發(fā)生了周跳，此歷元之后的所有載波相位觀測值中均會(huì)含有該周跳。周跳是1 種常見現(xiàn)象，特別是當(dāng)觀測環(huán)境較差時(shí)，周跳的發(fā)生會(huì)更加頻繁。

隨著GNSS 定位技術(shù)應(yīng)用領(lǐng)域和工作環(huán)境的日益拓展，須不斷完善GNSS 精密定位數(shù)據(jù)處理方法，其中周跳的探測與修復(fù)是1 個(gè)非常重要的環(huán)節(jié)。目前已提出了多種周跳探測與修復(fù)方法，主要有高次差法[1]、多普勒觀測值法[2-3]、圖爾博·埃迪特（TurboEdit）方法[4-5]、3 頻組合周跳探測法[6-7]等。但周跳被誤探、漏探的情況仍時(shí)有發(fā)生，導(dǎo)致GNSS 定位結(jié)果受到較大的影響。文獻(xiàn)[8]指出，周跳對(duì)于GNSS 定位的影響是不能被忽略的問題，即使觀測值中只含有1 個(gè)周跳，也會(huì)對(duì)定位結(jié)果造成分米級(jí)的影響；文獻(xiàn)[9]以全球定位系統(tǒng)（global positioning system,GPS）3 差模型為基本參數(shù)模型，討論了周跳對(duì)基線向量的影響，但未對(duì)影響程度進(jìn)行分析；文獻(xiàn)[10]提出，當(dāng)觀測數(shù)據(jù)中含有周跳時(shí)，對(duì)相對(duì)定位中的雙差解會(huì)造成很大的影響，但也未給出具體的影響程度。

目前，GNSS 定位技術(shù)的應(yīng)用越來越廣泛，在一些特殊環(huán)境下（城市街道、高邊坡路等）進(jìn)行定位時(shí)，受多路徑等因素影響，導(dǎo)致周跳的發(fā)生會(huì)變得更加頻繁[11]。因此，研究周跳對(duì)定位的影響機(jī)理與程度，對(duì)完善數(shù)據(jù)處理方法具有一定的參考價(jià)值。

1 GNSS 精密定位模型

當(dāng)某一歷元無周跳發(fā)生時(shí)，原始載波相位觀測方程[12]可寫成

式中：iλ 為第i 個(gè)頻率載波相位觀測值φ 的波長；ρ 為星地間的幾何距離；ρion,i為第i 個(gè)頻率載波相位觀測值φ 對(duì)應(yīng)的電離層延遲；ρtro為對(duì)流層延遲； δTr、δTs分別為接收機(jī)r 和衛(wèi)星s 的鐘差；c 為真空光速；mr、ms分別為接收機(jī)r 和衛(wèi)星s的相位硬件延遲；N 為整周模糊度；ε 為觀測隨機(jī)誤差。

式（1）中的未知參數(shù)包括模糊度、坐標(biāo)（或基線）向量，其中模糊度具有整數(shù)特性。當(dāng)有多個(gè)載波觀測值時(shí)，基于式（1）可得的觀測方程為

式中：L為載波觀測值與各模型化的系統(tǒng)誤差之和構(gòu)成的矩陣；a 為模糊度向量；b 為坐標(biāo)（或基線）向量；A 和B 為已知系數(shù)矩陣；ε 為觀測隨機(jī)誤差向量。

對(duì)式（2）進(jìn)行加權(quán)最小二乘估計(jì)[13]，得到未知參數(shù)a 和b 的實(shí)數(shù)解向量為

相應(yīng)的方差陣為

由式（6）可知，當(dāng)模糊度被固定后，b 的整數(shù)解較實(shí)數(shù)解在精度方面會(huì)有很大的提高。

2 周跳的影響

2.1 周跳對(duì)實(shí)數(shù)解的影響

當(dāng)有周跳發(fā)生時(shí)，式（2）可寫成

式中ΔN 為周跳向量。

同樣地，對(duì)式（7）進(jìn)行加權(quán)最小二乘估計(jì)，得到未知參數(shù)a 和b 的實(shí)數(shù)解

對(duì)式（8）中的逆矩陣進(jìn)行展開，可得

由式（9）可知，周跳對(duì)定位實(shí)數(shù)解帶來的系統(tǒng)誤差

式中Δb 為周跳對(duì)定位實(shí)數(shù)解帶來的系統(tǒng)誤差。

式（10）中不含隨機(jī)誤差項(xiàng)，故Δb 是1 個(gè)固定向量。基于式（9），可得的均方差陣

由式（11）可知，有周跳發(fā)生時(shí)定位實(shí)數(shù)解的精確度要差于無周跳發(fā)生時(shí)定位實(shí)數(shù)解的精確度，其精度損失可表示為

式中Δ1D 為周跳對(duì)定位實(shí)數(shù)解所造成的精度損失。

為了更直觀地反映周跳對(duì)定位實(shí)數(shù)解精度的影響，將方矩陣Δ1D 映射成1 個(gè)值，得到定位實(shí)數(shù)解精度損失指標(biāo)

式中： tr (· )為方陣的跡；Δs 為周跳對(duì)定位實(shí)數(shù)解所造成的精度損失指標(biāo)。

利用式（13）即可計(jì)算出周跳對(duì)定位實(shí)數(shù)解所造成的精度損失。

2.2 周跳對(duì)整數(shù)解的影響

當(dāng)沒有周跳發(fā)生時(shí)，b 的整數(shù)解向量及相應(yīng)方差陣如式（5）和式（6）所示。當(dāng)周跳發(fā)生后，原來已固定的模糊度由于受到周跳影響將不能被固定，因此不能獲得定位整數(shù)解，定位結(jié)果為受污染的實(shí)數(shù)解。此時(shí)周跳對(duì)定位整數(shù)解帶來的系統(tǒng)偏差可表示為

式中Δb′ 為周跳對(duì)定位整數(shù)解帶來的系統(tǒng)偏差。

式中Δ2D 為周跳對(duì)定位整數(shù)解所造成的精度損失。

由式（15）可知，Δ2D 與具體觀測值無關(guān)且恒為正定矩陣。因此，當(dāng)觀測值中含有周跳且導(dǎo)致模糊度無法被固定時(shí)，會(huì)對(duì)定位結(jié)果產(chǎn)生嚴(yán)重影響，直到模糊度再次被固定后，這種影響才會(huì)消失。

為了更方便地反映周跳對(duì)定位整數(shù)解精度的影響，將方矩陣Δ2D 映射成1 個(gè)值，可得精度損失指標(biāo)

式中Δz 為周跳對(duì)定位整數(shù)解所造成的精度損失指標(biāo)。

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

本算例采用的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來源于2018 年1 月16日，南京1 條18 km 左右的基線，測站名分別為MAQN 和JNNF。接收機(jī)型號(hào)為Trimble NetR9，采樣間隔1 s，衛(wèi)星截止高度角設(shè)為15°。利用2 個(gè)觀測站長期連續(xù)觀測數(shù)據(jù)解算得到該基線向量準(zhǔn)確值，并將該準(zhǔn)確值作為向量坐標(biāo)真值。利用定位軟件對(duì)該組數(shù)據(jù)進(jìn)行相對(duì)定位解算，將獲得的基線向量整數(shù)解坐標(biāo)與向量坐標(biāo)真值作差，得到的坐標(biāo)真誤差情況如圖1 所示。

從圖1 可以看出，3 個(gè)方向的誤差變化整體平緩且坐標(biāo)真誤差均在0.005 m 附近波動(dòng)。說明該組數(shù)據(jù)中無周跳發(fā)生。因此采用該組無周跳的觀測數(shù)據(jù)分別進(jìn)行小周跳、大周跳、連續(xù)周跳對(duì)定位影響的實(shí)驗(yàn)。

圖1 無周跳時(shí)定位結(jié)果

3.2 小周跳的影響

為了分析小周跳對(duì)定位的影響程度。在MAQN 觀測站的第5 個(gè)歷元處，G05 號(hào)衛(wèi)星L1 頻點(diǎn)上的載波相位觀測值中加入1 個(gè)周跳，由于周跳的繼承性，之后L1 所有歷元的載波相位觀測值中都將包含1 個(gè)周跳。利用定位軟件重新對(duì)該條基線數(shù)據(jù)進(jìn)行相對(duì)定位解算，獲得的G05 號(hào)衛(wèi)星L1 頻點(diǎn)上的整周模糊度情況如圖2 所示。

圖2 模糊度變化情況（1 個(gè)周跳）

從圖2 中可以看出，在加入周跳前，模糊度的整數(shù)解為218 976 個(gè)周期，加入1 個(gè)周跳后的一段時(shí)間內(nèi)，模糊度變?yōu)榱藢?shí)數(shù)解，在218 977 個(gè)周期附近震蕩，說明隨著歷元的增加，周跳逐漸被吸收至模糊度中。從第15 個(gè)歷元開始，模糊度才重新被固定。

將利用軟件解算得到的基線向量與向量坐標(biāo)真值作差，結(jié)果如圖3 所示。從圖3 中可以看出，在第5 個(gè)歷元處的東（E）、北（N）、天（U）方向坐標(biāo)真誤差在0.15 m 左右。而從第15 個(gè)歷元開始，模糊度重新被固定，E、N、U 方向的坐標(biāo)真誤差也回到0.005 m 附近波動(dòng)。

圖3 加入周跳后定位結(jié)果

表1 為在第5～14 個(gè)歷元，基于式（16）計(jì)算各歷元的精度損失指標(biāo) Δz 。

表1 第5～15 個(gè)歷元精度損失指標(biāo)

由表1 可知，在第5 個(gè)歷元處， Δz 達(dá)到了0.678 m，可知周跳對(duì)定位會(huì)產(chǎn)生較大的影響。隨著歷元的增加逐漸減小，直到第15 個(gè)歷元模糊度被重新固定后， Δz 變?yōu)? m。

3.3 大周跳影響

為了分析大周跳對(duì)定位的影響程度，同樣在MAQN 觀測站的第5 個(gè)歷元處，G05 號(hào)衛(wèi)星L1頻點(diǎn)上的載波相位觀測值中產(chǎn)生了10 個(gè)周跳，由于周跳的繼承性，之后L1 所有歷元的載波相位觀測值中都將包含10 個(gè)周跳。利用定位軟件重新對(duì)該條基線數(shù)據(jù)進(jìn)行相對(duì)定位解算，獲得的G05 號(hào)衛(wèi)星L1 頻點(diǎn)上的整周模糊度情況如圖4所示。

圖4 模糊度變化情況（10 個(gè)周跳）

從圖4 中可以看出，在加入周跳前，模糊度的整數(shù)解依舊為218 976 個(gè)周期，加入周跳后一段時(shí)間內(nèi)，模糊度不能被固定，直至第25 個(gè)歷元，模糊度才重新被固定。

將利用軟件解算得到的基線向量與向量坐標(biāo)真值作差，結(jié)果如圖5 所示。從圖5 中可以看出，在第5 個(gè)歷元處的E、N、U 方向坐標(biāo)真誤差在1～2 m。而從第25 個(gè)歷元開始，模糊度重新被固定，E、N、U 方向的坐標(biāo)真誤差也回到0.005 m附近波動(dòng)。

圖5 加入周跳后定位結(jié)果

用第5～26 個(gè)歷元處的數(shù)據(jù)，基于式（16）計(jì)算處各歷元的精度損失指標(biāo) Δz ，其結(jié)果如表2所示。

表2 第5～26 個(gè)歷元精度損失指標(biāo)

由表2 可知，在第5 個(gè)歷元處，Δ z 達(dá)到了3.278 m，可知周跳對(duì)定位會(huì)產(chǎn)生較大的影響。隨著歷元的增加逐漸減小，直到第26 個(gè)歷元模糊度被重新固定后， Δz 變?yōu)? m。

3.4 連續(xù)周跳對(duì)定位影響

為了分析連續(xù)周跳對(duì)定位的影響程度，在MAQN 測站的第5 個(gè)、第8 個(gè)歷元處，G05 號(hào)衛(wèi)星L1 頻點(diǎn)上的載波相位觀測值中分別產(chǎn)生了1 個(gè)周跳。利用定位軟件重新對(duì)該條基線數(shù)據(jù)進(jìn)行相對(duì)定位解算，獲得的G05 號(hào)衛(wèi)星L1 頻點(diǎn)上的整周模糊度情況如圖6 所示。

從圖6 中可以看出，在加入周跳前，模糊度的整數(shù)解依舊為218 976 個(gè)周期，在第5 個(gè)歷元加入周跳后，模糊度不能被固定。在第8 個(gè)歷元加入周跳后，模糊度進(jìn)一步受到影響，仍不能被固定。直至第18 個(gè)歷元，模糊度才重新被固定。

將利用軟件解算得到的基線向量與向量坐標(biāo)真值作差結(jié)果如圖7 所示。

圖6 模糊度變化情況（連續(xù)周跳）

圖7 加入周跳后定位結(jié)果

從圖7 中可以看出，在第5 個(gè)歷元處的E、N、U 方向坐標(biāo)真誤差在0.2 m 左右。隨著歷元的增加，周跳逐漸被吸收至模糊度中，坐標(biāo)真誤差逐漸減小。由于在第8 個(gè)歷元處又有了1 個(gè)周跳的產(chǎn)生，E、N、U 方向坐標(biāo)真誤差重新達(dá)到了0.3 m 左右。隨著歷元的增加，坐標(biāo)真誤差繼續(xù)逐漸減小，從第19 個(gè)歷元開始，E、N、U 方向的坐標(biāo)真誤差也回到0.005 m 附近波動(dòng)。

利用第5～19 個(gè)歷元的觀測數(shù)據(jù)，基于式（16）計(jì)算出各歷元的精度損失指標(biāo) Δz ，其結(jié)果如表3 所示。

表3 第5～19 個(gè)歷元精度損失指標(biāo)

由表3 可知，在第3 個(gè)歷元處， Δz 達(dá)到了0.686 m，之后隨著歷元的增加逐漸減小，由于在第8 個(gè)歷元處重新出現(xiàn)了1 個(gè)周跳， Δz 又重新達(dá)到了0.806 m，之后再次隨著歷元的增加逐漸減小，直到第19 個(gè)歷元模糊度被重新固定后，Δ z 變?yōu)? m。

4 結(jié)束語

本文首先給出了GNSS 精密定位模型；然后推導(dǎo)了周跳對(duì)定位實(shí)數(shù)解和定位整數(shù)解的影響程度計(jì)算公式，并根據(jù)方差陣分析了相應(yīng)的精度損失；最后通過對(duì)人為加入大、小、連續(xù)周跳到觀測數(shù)據(jù)中，重新進(jìn)行定位解算，將得到定位結(jié)果與無周跳觀測數(shù)據(jù)的定位結(jié)果相互之間進(jìn)行對(duì)比，可得到如下結(jié)論：①周跳發(fā)生之后，模糊度被重新固定所需的歷元個(gè)數(shù)與周跳的大小有關(guān)，一般周跳值越大，模糊度重新固定所需的歷元個(gè)數(shù)越多；②當(dāng)發(fā)生連續(xù)周跳時(shí)，對(duì)定位的影響程度會(huì)出現(xiàn)疊加現(xiàn)象，模糊度被重新固定所需的歷元個(gè)數(shù)將會(huì)增多。