李家旭，田瑋，谷迎松

(1.航空工業(yè)陜西飛機(jī)工業(yè)(集團(tuán))公司 設(shè)計(jì)院， 漢中 723213)(2.西北工業(yè)大學(xué) 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)與控制研究所， 西安 710072)

0 引 言

一直以來(lái)，飛行器氣動(dòng)彈性問(wèn)題都是航空航天領(lǐng)域研究的重點(diǎn)問(wèn)題之一，備受關(guān)注，極大地推動(dòng)了我國(guó)飛機(jī)氣動(dòng)彈性力學(xué)的研究和發(fā)展。然而，現(xiàn)代航空航天飛行器在具備更高飛行速度、更強(qiáng)機(jī)動(dòng)性能的同時(shí)，涉及的氣動(dòng)彈性問(wèn)題越來(lái)越復(fù)雜，帶來(lái)的非線性問(wèn)題也越發(fā)明顯[1]。控制舵結(jié)構(gòu)作為飛行器典型升力面結(jié)構(gòu)之一，相比其他結(jié)構(gòu)部件，其操縱剛度相對(duì)較低，更易發(fā)生顫振失穩(wěn)。

在生產(chǎn)過(guò)程中，不可避免地出現(xiàn)超差、裝配誤差等因素，同時(shí)飛行器運(yùn)動(dòng)過(guò)程中也會(huì)出現(xiàn)磨損等現(xiàn)象，從而導(dǎo)致飛行器結(jié)構(gòu)出現(xiàn)間隙非線性。它作為最常見(jiàn)的一種集中非線性環(huán)節(jié)，在當(dāng)前飛行器氣動(dòng)彈性分析中需要被重點(diǎn)考慮[2]。楊智春等[3]從建模方法、分析方法及動(dòng)力學(xué)行為等方面對(duì)含結(jié)構(gòu)集中非線性的機(jī)翼顫振研究進(jìn)行了探討和總結(jié)，其中，控制舵的舵軸連接處及其操縱剛度都可能存在間隙非線性環(huán)節(jié)，這些都會(huì)改變系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性及操控性能。該問(wèn)題也受到了國(guó)內(nèi)外研究人員的廣泛關(guān)注[4-12]?；陔p協(xié)調(diào)自由界面法，Wu Zhigang等[13]建立了帶間隙折疊翼的結(jié)構(gòu)模型，并通過(guò)地面振動(dòng)試驗(yàn)驗(yàn)證了建模與辨識(shí)方法的有效性；Yang Ning等[14]針對(duì)含間隙非線性舵結(jié)構(gòu)，提出了一種基于動(dòng)態(tài)子結(jié)構(gòu)法的氣動(dòng)彈性建模方法，用于非線性顫振分析；何昊南等[15]從實(shí)驗(yàn)和仿真兩方面對(duì)含有間隙的折疊舵面建模方法及響應(yīng)分析進(jìn)行了研究；R.D.Firouz-Abadi等[16]建立了帶有間隙的三維雙楔型機(jī)翼模型，考察了關(guān)鍵參數(shù)對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律；Tian Wei等[17]針對(duì)含有間隙的三維全動(dòng)舵面模型，考察了氣動(dòng)載荷和熱載荷作用下間隙對(duì)非線性氣動(dòng)彈性響應(yīng)特性的影響規(guī)律。然而，考慮局部結(jié)構(gòu)間隙影響的舵面非線性顫振機(jī)理研究尚有不足，尤其當(dāng)含有多個(gè)非線性環(huán)節(jié)時(shí)，間隙對(duì)系統(tǒng)顫振和非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)是如何影響的，這些都缺少系統(tǒng)的研究。

綜上所述，本文針對(duì)考慮間隙非線性的控制舵非線性氣動(dòng)彈性系統(tǒng)，著重考察間隙非線性對(duì)舵面非線性顫振特性的影響機(jī)理。應(yīng)用Lagrange方程建立考慮俯仰和撲動(dòng)方向的控制舵動(dòng)力學(xué)方程，利用基于樣條插值函數(shù)獲得氣動(dòng)力降階模型，并應(yīng)用最小狀態(tài)法將降階頻域氣動(dòng)力模型擬合成時(shí)域氣動(dòng)力模型；分別考察僅有俯仰間隙、僅有撲動(dòng)間隙及兩個(gè)自由度同時(shí)含有間隙情況下系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性及非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性。

1 理論模型

1.1 控制舵結(jié)構(gòu)建模

剛性全動(dòng)舵面的結(jié)構(gòu)模型如圖1所示，可以在其根部繞x軸和繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)，分別代表全動(dòng)舵面撲動(dòng)方向(β)和俯仰方向(α)的運(yùn)動(dòng)，并且舵面的根部在撲動(dòng)和俯仰方向上分別施加一個(gè)彈簧約束，即Kβ和Kα。對(duì)于該全動(dòng)舵面氣動(dòng)彈性模型，其動(dòng)能和勢(shì)能可以由式(1)和式(2)得到：

(1)

(2)

圖1 全動(dòng)舵面模型的平面幾何示意圖

通過(guò)應(yīng)用Lagrange方程：

(3)

建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，其運(yùn)動(dòng)方程矩陣形式為

(4)

式中：x=[βα]T為狀態(tài)向量；M和K分別為廣義質(zhì)量陣和剛度陣；Q為廣義外載荷。

當(dāng)不考慮結(jié)構(gòu)阻尼時(shí)：

對(duì)于含有俯仰和撲動(dòng)間隙非線性的控制舵模型，其動(dòng)力學(xué)方程可寫(xiě)為

(5)

式中：M(x)=[g(β)f(α)]T，為彈性恢復(fù)力項(xiàng)。

俯仰和撲動(dòng)方向的非線性恢復(fù)力矩表達(dá)式分別為

(6a)

(6b)

式(6)中的恢復(fù)力矩可分寫(xiě)為線性項(xiàng)和非線性項(xiàng)的形式，即：

f(α)=Kαα+f1(α)

(7a)

g(β)=Kββ+g1(β)

(7b)

其中，

最終，彈性恢復(fù)項(xiàng)可表示為M(x)=K+FN，F(xiàn)N=[g1(β)f1(α)]T。

1.2 控制舵氣動(dòng)力建模

在對(duì)全動(dòng)舵面動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行氣動(dòng)彈性求解時(shí)，需要實(shí)時(shí)地計(jì)算廣義外載荷的非定常氣動(dòng)力。為了提高計(jì)算效率，本文采用升力面理論中的偶極子格網(wǎng)法進(jìn)行氣動(dòng)力建模，利用基于樣條函數(shù)的降階方法對(duì)頻域氣動(dòng)力進(jìn)行降階，從而得到降階的氣動(dòng)力模型，再應(yīng)用最小狀態(tài)法將頻域氣動(dòng)力模型轉(zhuǎn)換到時(shí)域上。

1.2.1 頻域氣動(dòng)力模型降階的理論方法

工程上常用的升力面方法，如偶極子格網(wǎng)法和ZONA51等，則是通過(guò)氣動(dòng)力影響系數(shù)矩陣來(lái)計(jì)算氣動(dòng)力[18-19]。頻域非定常氣動(dòng)力模型可以表示為

Q=q∞A(ω)z

(8)

式中：q∞為動(dòng)壓；A(ω)為非定常氣動(dòng)力影響系數(shù)矩陣；ω為簡(jiǎn)諧振動(dòng)圓頻率；Q和z分別為力向量和位移向量。

常用的樣條插值函數(shù)有面樣條函數(shù)和梁樣條函數(shù)[20]，它們都是通過(guò)樣條矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)力與位移的插值。假設(shè)將式(8)的頻域氣動(dòng)力模型降階到Ns個(gè)節(jié)點(diǎn)上，則有如下樣條插值關(guān)系：

(9)

式中：Qs和zs分別為Ns個(gè)節(jié)點(diǎn)上的氣動(dòng)力、位移組成的列向量；Gs為插值矩陣。

將式(9)代入式(8)即可得到基于樣條函數(shù)的非定常氣動(dòng)力降階模型：

Qs=q∞Ass(ω)zs

(10)

1.2.2 氣動(dòng)力模型的時(shí)域擬合

經(jīng)過(guò)上述過(guò)程可以得到降階頻域氣動(dòng)力模型，下面通過(guò)最小狀態(tài)法將該模型轉(zhuǎn)換到拉式域中，從而用于時(shí)域分析[19]。這里，最小狀態(tài)法將已知的空氣動(dòng)力矩陣Q(k,M∞)在Laplace域中進(jìn)行近似，具體形式如下：

(11)

氣動(dòng)力經(jīng)過(guò)最小狀態(tài)法近似后，運(yùn)動(dòng)方程表示為

(12)

引入的狀態(tài)變量為

(13)

由此，可以得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：

(14)

上述過(guò)程得到的是Ns個(gè)節(jié)點(diǎn)上的時(shí)域降階氣動(dòng)力，但對(duì)于剛性全動(dòng)舵面只需要撲動(dòng)和扭轉(zhuǎn)兩個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)，因此，需要通過(guò)變換矩陣得到撲動(dòng)和俯仰兩個(gè)自由度上的位移β和α，以及廣義力Qβ和Qα。具體關(guān)系如下：

(15)

(16)

式中：R為變換矩陣。

R具體為

(17)

式中：xi和yi分別為降階點(diǎn)到俯仰和撲動(dòng)軸的距離。

因此，通過(guò)上述變換，系統(tǒng)狀態(tài)空間內(nèi)的氣動(dòng)彈性方程式(14)變?yōu)?/p>

(18)

RsR=Rs。

這樣，即可利用數(shù)值方法來(lái)實(shí)現(xiàn)帶間隙非線性的全動(dòng)舵面模型的氣動(dòng)彈性響應(yīng)仿真。

2 算例與分析

三維控制舵在MSC.Adams軟件平臺(tái)上建立的動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示，可以看出：在舵面根部作用有萬(wàn)向節(jié)和兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧，其中，萬(wàn)向節(jié)用于約束系統(tǒng)的3個(gè)平動(dòng)自由度和繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。

在本文算例中，三維舵面的結(jié)構(gòu)參數(shù)若無(wú)特別說(shuō)明均如表1所示。

圖2 三維控制舵的MSC.Adams動(dòng)力學(xué)模型

表1 三維控制舵的結(jié)構(gòu)參數(shù)

2.1 線性顫振分析

對(duì)于三維控制舵線性顫振系統(tǒng)，通過(guò)系統(tǒng)矩陣特征值分析獲得線性系統(tǒng)的顫振特性，如圖3所示。線性顫振速度和頻率分別為259.63 m/s和44.91 Hz，并將該時(shí)域結(jié)果(Time Domain，簡(jiǎn)稱TD)與Nastran頻域和Adams時(shí)域仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表2所示，可以看出：三種方法計(jì)算得到的顫振結(jié)果吻合得很好，系統(tǒng)顫振是由撲動(dòng)-俯仰模態(tài)耦合振動(dòng)導(dǎo)致。上述對(duì)比結(jié)果驗(yàn)證了該分析模型的有效性和準(zhǔn)確性。

(a) 實(shí)部

(b) 虛部

表2 線性顫振速度和頻率的結(jié)果

在三維控制舵線性顫振系統(tǒng)中，俯仰和撲動(dòng)彈簧剛度對(duì)系統(tǒng)顫振特性有著很大的影響。線性顫振速度和顫振頻率隨俯仰彈簧剛度的變化規(guī)律如圖4所示，可以看出：系統(tǒng)的顫振速度和頻率隨著俯仰彈簧剛度系數(shù)的增加而增加。這是因?yàn)楦┭鰪椈蓜偠鹊脑黾樱沟酶┭瞿B(tài)分支的頻率增加，推遲了兩個(gè)運(yùn)動(dòng)模態(tài)分支頻率的接近，從而導(dǎo)致顫振速度提高，相應(yīng)的顫振頻率也提高。

圖4 顫振速度隨俯仰彈簧剛度系數(shù)的變化

線性顫振速度和顫振頻率隨撲動(dòng)彈簧剛度的變化規(guī)律如圖5所示，可以看出：與俯仰彈簧剛度不同，隨著撲動(dòng)彈簧剛度系數(shù)的增加，系統(tǒng)顫振速度降低。產(chǎn)生該結(jié)果的原因是由于撲動(dòng)彈簧剛度的增加，使撲動(dòng)模態(tài)分支的頻率增加，兩個(gè)模態(tài)分支的頻率更接近，導(dǎo)致系統(tǒng)顫振速度降低。

圖5 顫振速度隨撲動(dòng)彈簧剛度系數(shù)的變化

綜上可知，提高俯仰彈簧剛度可以提高顫振速度，增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性；而撲動(dòng)彈簧剛度的增加，會(huì)降低顫振速度，不利于系統(tǒng)的顫振穩(wěn)定性。

2.2 僅考慮俯仰間隙非線性

利用等效線化方法(Equivalent Linearization Method,簡(jiǎn)稱ELM)[21]進(jìn)行非線性顫振分析。俯仰間隙非線性的等效線性剛度曲線如圖6所示，可以看出：當(dāng)幅值在間隙大小之內(nèi)，等效剛度系數(shù)為零；當(dāng)幅值大于間隙值時(shí)，隨著幅值的增加，等效線性剛度增加，表現(xiàn)出“硬彈簧”特性；當(dāng)幅值繼續(xù)增大時(shí)，等效線性剛度將趨近線性剛度。

圖6 間隙非線性的等效線化剛度系數(shù)

系統(tǒng)俯仰角幅值與間隙值之比隨速度和頻率的變化規(guī)律如圖7所示。從圖7(a)可以看出：隨著速度的增加，系統(tǒng)俯仰角與間隙大小之比呈增加趨勢(shì)；從圖7(b)可以看出：俯仰角幅值與間隙值之比越大，相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)頻率也越大，并且系統(tǒng)發(fā)生極限環(huán)顫振的頻率小于線性顫振頻率。

(a) 系統(tǒng)俯仰自由度的運(yùn)動(dòng)幅值隨速度的變化規(guī)律

(b) 系統(tǒng)俯仰自由度的運(yùn)動(dòng)幅值隨頻率的變化規(guī)律

俯仰彈簧剛度對(duì)系統(tǒng)顫振速度和顫振頻率的影響規(guī)律如圖8所示，可以看出：在A/δ>1時(shí)，系統(tǒng)顫振邊界隨俯仰彈簧剛度增加而提高。因此，對(duì)于含俯仰間隙的控制舵系統(tǒng)，俯仰彈簧剛度的增加可以提高系統(tǒng)的顫振邊界。

(a) 顫振速度

(b) 顫振頻率

2.3 僅考慮撲動(dòng)間隙非線性

系統(tǒng)顫振速度隨撲動(dòng)角與間隙大小之比的變化規(guī)律如圖9所示，并將時(shí)域計(jì)算結(jié)果與等效線化法得到的結(jié)果進(jìn)行比較。

圖9 系統(tǒng)撲動(dòng)方向運(yùn)動(dòng)幅值隨速度的變化規(guī)律

從圖9可以看出：兩種方法的結(jié)果吻合一致，并且當(dāng)撲動(dòng)方向帶有間隙非線性時(shí)，隨著撲動(dòng)運(yùn)動(dòng)幅值的增加，系統(tǒng)顫振邊界降低，而顫振頻率隨之增加。這一規(guī)律與線性顫振系統(tǒng)中改變撲動(dòng)彈簧剛度的結(jié)果是類似的。

在系統(tǒng)受到一定擾動(dòng)后，系統(tǒng)振幅超過(guò)當(dāng)前運(yùn)動(dòng)幅值，則系統(tǒng)進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)域從而導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)發(fā)散，而當(dāng)系統(tǒng)振幅小于當(dāng)前運(yùn)動(dòng)幅值，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)收斂。因此，含有撲動(dòng)間隙非線性的系統(tǒng)不能得到穩(wěn)定的極限環(huán)運(yùn)動(dòng)。而在時(shí)域分析中，需要通過(guò)調(diào)整不同速度來(lái)尋找系統(tǒng)不穩(wěn)定的極限環(huán)運(yùn)動(dòng)，而此時(shí)對(duì)應(yīng)的速度就是系統(tǒng)的不穩(wěn)定顫振邊界。

U*= 271.75和U*= 271.76時(shí)，時(shí)域響應(yīng)和相平面圖分別如圖10～圖11所示，可以看出：在0.3 s左右之前存在一段等幅運(yùn)動(dòng)，并且兩個(gè)相鄰速度下等幅運(yùn)動(dòng)的幅值基本相同，但0.3 s之后的響應(yīng)分別為收斂和發(fā)散，因此，該等幅運(yùn)動(dòng)的幅值所對(duì)應(yīng)的顫振速度和頻率即為系統(tǒng)的不穩(wěn)定顫振邊界上的點(diǎn)。

(a) 時(shí)域歷程

(b) 相平面圖

(a) 時(shí)域歷程

(b) 相平面圖

綜上可知，在撲動(dòng)自由度帶有間隙非線性的控制舵氣動(dòng)彈性系統(tǒng)中，系統(tǒng)的顫振邊界大于線性顫振速度，并且該系統(tǒng)的顫振速度隨振幅的增加而降低。

2.4 同時(shí)考慮俯仰和撲動(dòng)間隙非線性

對(duì)于控制舵系統(tǒng)兩個(gè)方向同時(shí)含有間隙的情況，系統(tǒng)俯仰和撲動(dòng)運(yùn)動(dòng)的分岔圖分別如圖12～圖13所示，可以看出：在線性顫振速度內(nèi)，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)有限幅值的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，而當(dāng)速度大于線性顫振速度時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)將發(fā)散。

圖12 控制舵俯仰運(yùn)動(dòng)的分岔圖

圖13 系統(tǒng)撲動(dòng)方向運(yùn)動(dòng)的分岔圖

(a) 相平面圖

(b) 幅值譜

(c) Poincare映射圖

圖時(shí)系統(tǒng)俯仰方向運(yùn)動(dòng)

根據(jù)上述分析可知，當(dāng)俯仰和撲動(dòng)方向同時(shí)含有間隙非線性時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)與僅含有俯仰間隙非線性系統(tǒng)類似，即在線性顫振邊界內(nèi)存在有限幅值的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。并且，控制舵在顫振邊界內(nèi)表現(xiàn)出多周期LCO、混沌等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

3 結(jié) 論

(1) 采用本文建立的時(shí)域模型，相比于Nastran頻域和Adams時(shí)域仿真結(jié)果，具有足夠精度可用于預(yù)測(cè)三維控制舵模型的顫振穩(wěn)定性及非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

(2) 提高俯仰彈簧剛度可以提高顫振速度，增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而撲動(dòng)彈簧剛度的增加會(huì)降低顫振速度。

(3) 對(duì)于含有俯仰間隙的控制舵系統(tǒng)，在顫振邊界內(nèi)會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定的極限環(huán)運(yùn)動(dòng)；而對(duì)于含有撲動(dòng)間隙控制舵系統(tǒng)，系統(tǒng)不存在穩(wěn)定極限環(huán)運(yùn)動(dòng)，并且系統(tǒng)顫振速度隨振幅的提高而持續(xù)下降。

(4) 對(duì)于控制舵系統(tǒng)同時(shí)含有俯仰和撲動(dòng)間隙非線性的情況，在顫振邊界內(nèi)存在多周期LCO、混沌等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。