郭松林，徐海鵬

(黑龍江科技大學 電氣與控制工程學院， 哈爾濱 150022)

0 引 言

現(xiàn)有的信號分析方法有很多，常用的小波分析法和傅里葉分析法。基于傅里葉變換的信號處理方法由于非周期采樣產(chǎn)生泄露誤差，使測得的幅值、頻率和相角偏離實際值，特別相位測量誤差更大。相對于傅里葉變換分析，小波分析具有較大優(yōu)勢，因為小波函數(shù)在時域和頻域內(nèi)具有局部分析和多分辨率分析的優(yōu)勢。但由于采樣點序列以及所選用的濾波器長度有限，因此，在計算邊緣點時會遇到邊界問題，隨著分解不斷進行，重構(gòu)誤差會不斷增大。此外，小波分析的運算較復雜，且小波基函數(shù)也不易選擇，這也是小波分析方法自身的缺點。

獨立分量分析方法(ICA)，是近年發(fā)展起來的一種有效的盲信號分離方法。該算法可以僅僅根據(jù)輸入信號的一些基本統(tǒng)計特征，在瞬時混疊參數(shù)不清楚的情況下，由觀測信號恢復出源信號的過程。通過不斷發(fā)展和完善的算法理論，使其在語音信號處理、圖像處理、無線通信技術、生物醫(yī)學工程和電氣領域等應用十分廣泛[1]。而基于牛頓二階收斂的快速獨立分量分析(Fast-ICA)算法，相比于ICA算法收斂速度雖然更快，但依然存在收斂精度和分離性能不高的問題。

筆者為了進一步提高算法的收斂速度和分離性能，減小算法的誤差，在原Fast-ICA算法的基礎上改進算法，使改進后的算法滿足四階牛頓收斂特性，提升改進后算法的收斂精度與分離性能。

1 盲源分離

1.1 盲源分離原理

典型的盲源分離(BSS)原理[2]如圖1所示。

圖1 盲源分離原理Fig. 1 Schematic of BSS

n個相互獨立的源信號S(t)=[s1(t),s2(t),…，sn(t)]在經(jīng)過一個未知的混合系統(tǒng)后，得到觀測信號X(t)=[x1(t),x2(t),…，xm(t)]，可以近似的表示為

X(t)=A·S(t),

式中：A——m×n維滿秩可逆混合矩陣；

X(t)——觀測信號；

S(t)——源信號。

當僅知道觀測信號X(t)時，可以通過盲源分離優(yōu)化算法得到分離矩陣，從而得到分離信號為

Y(t)=w·X(t)，

式中：w——m×n維滿秩可逆混合矩陣；

Y(t)——分離信號。

Y(t)=[y1(t),y2(t),…，yn(t)]，盲源分離算法就是根據(jù)y(t)之間的統(tǒng)計獨立性，確定分離矩陣w的過程。為了使盲源分離可以有效地分離，往往需要一些條件來約束，盲源分離最基本的是假設源信號彼此之間是統(tǒng)計獨立的，混合矩陣是可逆的，在源信號中高斯信號至多有一個[3]。

1.2 Fast-ICA算法

分離矩陣w是盲源分離以信號的某種獨立性為依據(jù)確定的。度量信號統(tǒng)計獨立性的兩個常用指標是峭度和負熵，但峭度容易受到野值的影響，但熵在信息論中是一個較為穩(wěn)健的判據(jù)。隨機信號的負熵[4]可以表示為

J(y)=[E{G(y)}-E{G(yg)}]2，

式中：J(y)——負熵；

E{G(y)}——G(y)的數(shù)學期望；

y——變量Y的分量；

yg——具有與y同樣方差的高斯變量。

如果要分量y的數(shù)學期望E{G(yg)}越小，就需要其非高斯性越強，負熵J(y)越大。依據(jù)負熵判據(jù)尋找矩陣w，使負熵J(y)最大。即對E{G(y)}=E{G(wTx)} 求極值，使最大。因此，導數(shù)應為

wT——分離矩陣w的轉(zhuǎn)置矩陣。

g為G的導數(shù)，設：xt為t時刻的輸入變量X的分量，t+1時刻的輸入變量X的分量由牛頓迭代定理可表示為

t時刻的算法的輸入變量分離矩陣為

式中,wt——t時刻的分離矩陣。

因此，分離矩陣為

2 改進的Fast-ICA算法

不難證明當在原有 Fast-ICA 算法中牛頓迭代算法式是二階收斂的。由于牛頓算法收斂階數(shù)越高，算法的收斂速度越快，修正原式，使之滿足四階收斂，減小改進后算法的誤差并提高收斂速度[5]。其修正形式為

由修正后的牛頓迭代公式，可推得改進 Fast-ICA 算法公式為

改進Fast-ICA算法分由預處理(中心化處理和白化處理)與基于負熵的盲分離算法兩部分組成，流程如圖2所示。

圖2 改進算法流程Fig. 2 Improved algorithm flow

2.1 收斂性證明

設f(x)為實數(shù)域內(nèi)四階可導函數(shù)，如果a是f(x)的單根，且x0充分靠近a，則可以根據(jù)修正后的牛頓迭代公式定義改進后牛頓迭代誤差方程為

證明：設

en=xn-a，

式中：f(a)=0,f′(a)≠0，y(a)=a,

計算得

則，迭代公式可以表示為

因此，改進后的Fast-ICA算法是四階收斂的。

誤差方程為

2.2 算法誤差的確定

通過以下方法來確定改進后的誤差，設

函數(shù)表達式為

四階Fast-ICA算法的最小逼近誤差為

假設四階Fast-ICA誤差為10-6>ε>10-7，構(gòu)建Lyapunov函數(shù)為

V(x)=εe-(x-a)，

當誤差為10-6>ε>10-7時，算法是一定收斂的。對比原算法10-5>ε1>10-6有明顯減小[7]。

3 仿真實驗與性能

利用Matlab實現(xiàn)Fast-ICA算法對混合信號的分離，為了驗證改進算法的有效性，對比分析改進后算法與原算法的仿真結(jié)果。

源信號為三路不同的語音信號，利用Matlab將源信號通過隨機混合矩陣混合，得到混合信號。三路原始語音信號如圖3所示，混合后語音信號如圖4所示。

圖3 源信號Fig. 3 Source signal

圖4 混合信號Fig. 4 Mixed signal

由圖4可見，得到混合信號后，分別利用傳統(tǒng)的Fast-ICA算法和改進后的Fast-ICA算法分離混合信號。從圖5、6可以看出，改進后的算法使語音信號成功分離。

圖5 Fast-ICA分離信號Fig. 5 Fast-ICA separation signal

圖6 改進的Fast-ICA分離信號Fig. 6 Improved Fast-ICA separation signal

為了比較兩種算法實時性，分別對兩種算法進行了10次信號分離實驗，記錄了每次實驗兩種算法迭代時間，結(jié)果如圖7所示。原算法和改進后的算法的平均迭代時間分別為0.033 6和0.025 6 s，由圖7可以看出，改進后算法的分離時間要比原算法短，即前者提高了收斂效率[8]。

圖7 兩種算法迭代時間Fig. 7 Iteration time of two algorithms

圖8a、b分別是改進后算法的誤差圖和原算法的誤差圖。由圖8可以看出，改進后的Fast-ICA算法比原來的Fast-ICA在檢測精度上有了顯著的提高。綜上所述，改進后的Fast-ICA算法不僅可以將各個信號有效的分離，而且在實時性和準確性上都要優(yōu)于原有的Fast-ICA算法[9]。

盲源分離算法的分離性能可以通過算法PI值來衡量[10]，其計算公式為

式中：ePI——算法的PI值;

cij——混合矩陣與分離矩陣的乘積；

m——變量的個數(shù)。

如果PI值越小，則說明算法的分離的性能越好，當為零時，證明信號已經(jīng)完全分離，通過計算，得到改進后算法的PI值為0.52，原算法的PI值為0.66。改進后的算法的值要明顯的小于原算法值，由此說明改進后的算法的分離性能要更好。

圖8 改進算法與原算法的誤差對比Fig. 8 Comparing error between improved algorithm and original algorithm

4 結(jié)束語

針對原算法收斂速度較慢，收斂精度不高的問題，改進原有算法，使其滿足四階牛頓收斂，證明了其收斂性，確定了改進后算法的誤差范圍。采用PI值來說明算法的分離性能，最終通過仿真實驗證明了文中提出的改進的Fast-ICA算法的代次數(shù)和迭代時間均小于原算法，分離信號更接近源信號，分離性能更好。