孫德義

（湖北省荊州市監(jiān)利市荒湖中學(xué) 湖北·荊州 434000）

0 引言

思維是人腦對(duì)客觀事物的一般特殊性和規(guī)律性的一種間接的、概括的反映過程。數(shù)學(xué)思維是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象(空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系等)的本質(zhì)屬性和內(nèi)部規(guī)律的間接反映，并按照一般思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理性活動(dòng)。

數(shù)學(xué)是科學(xué)的基礎(chǔ)，在航空航天、人工智能、金融系統(tǒng)等自然科學(xué)和工程技術(shù)中，數(shù)學(xué)起到了至關(guān)重要的作用。數(shù)學(xué)思維能力，是學(xué)習(xí)各學(xué)科的重要基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體現(xiàn)。數(shù)學(xué)思維并不是人的本能，是需要后天學(xué)習(xí)培養(yǎng)獲得，掌握科學(xué)的數(shù)學(xué)思維方法比擁有多少知識(shí)顯得更為重要。

對(duì)于中小學(xué)生而言，最核心的教育是培養(yǎng)孩子的品格，包括好奇心，學(xué)習(xí)熱情，批判性思維，獨(dú)立思考等等。良好的數(shù)學(xué)思維能力可以幫助學(xué)生快速獲取新知識(shí)，從而提升教學(xué)效果。同時(shí)，良好的數(shù)學(xué)思維能力可以幫助學(xué)生用理性認(rèn)識(shí)去解決生活以至今后工作中的問題，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)。提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力是人自身發(fā)展和時(shí)代發(fā)展的需求。

1 數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)內(nèi)涵

本節(jié)以生活中的數(shù)學(xué)思維案例來闡述抽象的數(shù)學(xué)思維方法，分別包括概率思維、抽象思維、遞歸思維、空間思維、對(duì)稱思維、計(jì)算思維，這些思維方式是數(shù)學(xué)的真諦，是數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的內(nèi)涵。

1.1 概率思維

概率思維是指應(yīng)用概率知識(shí)去解決生活問題的一種思維能力。在生活中總是存在隨機(jī)事件（即不確定性），只要有不確定性則會(huì)有概率。概率告訴我們什么情況最有可能發(fā)生，什么情況最沒可能發(fā)生。概率還能幫助我們做預(yù)測(cè)，概率學(xué)能指導(dǎo)我們得到正確的分析方向，并做出有利的決策。

生活中的偶然和巧合無處不在，體現(xiàn)的是概率問題，生活中概率問題隨時(shí)都會(huì)遇到：一個(gè)硬幣投3次，3次投到都是正面的可能性有多大；在一個(gè)50人的教室里，孩子是同年同月同日生的可能性有多大；一個(gè)家庭有3口人2個(gè)衛(wèi)生間，同時(shí)需要使用衛(wèi)生間的可能性有多大；兩雙鞋子混在了一起，一個(gè)人閉著眼睛穿到同一雙鞋的可能性有多大。

接下來以穿鞋為例，解釋生活中的概率思維。兩雙鞋子混在了一起，一個(gè)人閉著眼睛穿到同一雙鞋的可能性有多大？假設(shè)一雙鞋是（J1，J2），其中1代表左腳，2代表右腳，另一雙鞋是(K1，K2)。從4只鞋中，隨機(jī)選2只，有6種可能結(jié)果，分別是（J1，K1），（J1，K2）（J2，K1），（J2，K2），（J1，J2），（K1，K2）。其中能穿到同一雙鞋的可能結(jié)果有兩種，分別是（J1，J2），（K1，K2），所以穿到同一雙鞋的可能性是1/3。不能穿到同一雙鞋的可能結(jié)果有 4 種，分別是（J1，K1），（J1，K2）（J2，K1），（J2，K2），所以穿到不是同一雙鞋的可能性是2/3。

1.2 抽象思維

形象思維也叫具象思維，是用直觀形象和表象解決問題的思維方式，其特點(diǎn)是具體化和形象化。另一個(gè)與形象思維相對(duì)應(yīng)而存在的哲學(xué)概念—抽象思維，抽象思維屬于理想認(rèn)識(shí)，是憑借科學(xué)的抽象概念對(duì)事物的本質(zhì)和客觀規(guī)律進(jìn)行反映，從而使人們獲得遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過靠感覺器官直接感知的知識(shí)。探索與總結(jié)的過程是完成形象思維到抽象思維這一跨越的關(guān)鍵。

科學(xué)的抽象是在概念中反映自然界或社會(huì)物質(zhì)過程的內(nèi)在本質(zhì)思想，是對(duì)事務(wù)的本質(zhì)屬性進(jìn)行分析、綜合、比較的基礎(chǔ)上，抽取出事物的本質(zhì)屬性，是人們的認(rèn)識(shí)從感性的具體進(jìn)入抽象的規(guī)定，形成概念。例如對(duì)數(shù)字的認(rèn)識(shí)，人們都是從具體的“一個(gè)蘋果”“兩只耳朵”“三支鉛筆”“四個(gè)硬幣”等這些具體的概念，抽取出其本質(zhì)的數(shù)量屬性之后，形成“1”“2”“3”“4”等抽象概念。用字母符號(hào)如x，y，z來表示任何一個(gè)數(shù)，并將算術(shù)的運(yùn)算法用到這些字母所表示的數(shù)上，是抽象化過程的一大進(jìn)步。

療效判定標(biāo)準(zhǔn):根據(jù)患者的睡眠情況評(píng)價(jià),分為:患者臨床癥狀以及體征均完全消失,睡眠時(shí)間>6h為痊愈;癥狀和體征明顯改善,睡眠時(shí)間增加3h為顯效;癥狀和體征有所好轉(zhuǎn),睡眠時(shí)間增加<3h為好轉(zhuǎn);未達(dá)到以上任何一標(biāo)準(zhǔn)為無效?？傆行蕿槿省@效率與好轉(zhuǎn)率之和。

方程思維是一種典型的抽象思維。方程思維的主要環(huán)節(jié)是列方程和解方程。列方程是分析問題的數(shù)量關(guān)系。在用符號(hào)表示數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步用已有的符號(hào)（設(shè)定的未知數(shù)）表示未知的量，然后通過不同的角度計(jì)算同一個(gè)數(shù)量進(jìn)而建立等價(jià)關(guān)系，而解方程的關(guān)鍵是等量替換。接下來用雞兔同籠問題來解析生活中的抽象思維。

今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何。如果按照傳統(tǒng)的假設(shè)分析法，假設(shè)35頭全是雞，則共有70足。而題意有94足，共多出24足。把一只雞換成一只兔多2足，因此需要換成24/2=12只兔，則剩下有23只雞。如果用方程思維來解，可以設(shè)有x只兔，則雞有(35-x)只，這一步就是用已有的符號(hào)來表示未知的量。然后通過足的數(shù)量來建立等價(jià)關(guān)系，即4*x+2*(35-x)=94，求解方程得到x=12，則得到12只兔，23只雞的結(jié)論。也可以設(shè)有x只兔，y只雞，然后通過頭和足的數(shù)量來分別建立等價(jià)關(guān)系，即 x+y=35;4*x+2*y=94。求解方程得到x=12，y=23，則得到12只兔，23只雞的結(jié)論。

1.3 遞歸思維

遞歸思維的本質(zhì)是將原問題的求解轉(zhuǎn)化為許多性質(zhì)相同但是規(guī)模更小的子問題的求解，重點(diǎn)關(guān)注如何將原問題分解成符合條件的子問題。遞歸核心的思想是：每一次遞歸，整體問題都要比原來減小，并且遞歸到一定的層次時(shí)，要能直接給出結(jié)果，也就是要有遞歸出口（終止遞歸條件），避免死循環(huán)。

生活中的遞歸問題很多，一個(gè)典型的例子就是“兔子序列”，假如兔子出生2個(gè)月后就有繁殖能力，一對(duì)兔子每個(gè)月能生出一對(duì)小兔，所有兔子都不會(huì)死，問12個(gè)月后一共有多少對(duì)兔子；另一個(gè)典型例子就是漢諾塔游戲，有3根柱子，第一根柱子上有10個(gè)不同直徑的圓盤，大直徑圓盤在下面，小直徑的圓盤在上面。移動(dòng)這些圓盤，移動(dòng)過程中要保證大直徑圓盤在下面，小直徑的圓盤在上面，請(qǐng)問移動(dòng)多少次，可以將第一根柱子上的所有圓盤移動(dòng)到另一根柱子上；另外還有“爬樓梯問題”，假設(shè)有5層樓梯，一步可以跨1層或2層樓梯，請(qǐng)問一共有多少種不同的爬法？

接下來以爬樓梯例子，解釋生活中的遞歸問題。假設(shè)有5層樓梯，一步可以跨1層或2層樓梯，請(qǐng)問一共有多少種不同的爬法？設(shè)需要爬5層樓梯記為有f(5)種不同的爬法，4層樓梯有f(4)種不同的爬法，3層樓梯有f(3)種不同的爬法，2層樓梯有f(2)種不同的爬法，1層樓梯有f(1)種不同的爬法。假如需要爬5層樓梯，第一步如何走呢，有兩種走法：一種是一步跨1層樓梯，那剩下需要爬4層樓梯。另一種方法是一步跨2層樓梯，那剩下需要爬3層樓梯，因此可以得到f(5)=f(4)+f(3)。同理，假如需要爬4層樓梯，第一步如何走呢，有兩種走法：一種是一步跨1層樓梯，那剩下需要爬3層樓梯。另一種方法是一步跨2層樓梯，那剩下需要爬2層樓梯，因此得到f(4)=f(3)+f(2)。依次類推，f(3)=f(2)+f(1)，基于分析推理很容易得到f(1)=1,f(2)=2。進(jìn)而很容易推廣到f(n)=f(n-1)+f(n-2)，這就是斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系。

1.4 空間思維

空間思維是指識(shí)別物體的形狀、位置、空間關(guān)系，理解并記住物體的相對(duì)位置，然后通過想象與視覺化，來形成新的視覺關(guān)系的能力。有研究表明，空間思維能力高的學(xué)生在工程、計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)、地理與環(huán)境科學(xué)領(lǐng)域都能表現(xiàn)更突出。

正方體是日常生活中最常見的一種空間幾何形狀，涉及正方體的數(shù)學(xué)問題很多，體現(xiàn)的是空間思維問題。例如一個(gè)正方體的6個(gè)面分別涂上6種不同的顏色，請(qǐng)給出每個(gè)面的相對(duì)面的顏色。例如正方體的展開圖有幾種結(jié)構(gòu)。培養(yǎng)空間思維能力需要多動(dòng)手實(shí)踐，從拼圖到拼插類積木，七巧板，魔方等都是很好鍛煉空間思維能力的工具。在實(shí)踐中鍛煉觀察力、空間想象力和空間推理能力是值得推薦的方法。

1.5 對(duì)稱思維

對(duì)稱現(xiàn)象在大自然中隨處可見，對(duì)稱是美，也是一種思維。提到對(duì)稱，腦海里第一反應(yīng)就是左右都一樣。蝴蝶、人都是生活中典型的軸對(duì)稱圖形。二維平面中，通常對(duì)稱有軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱。軸對(duì)稱，顧名思義，就是圖形沿著某條線呈對(duì)稱，則將這個(gè)圖形稱為軸對(duì)稱圖形。中心對(duì)稱是把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果它能夠與原圖形完全重合，則將這個(gè)圖形稱為中心對(duì)稱圖形。旋轉(zhuǎn)對(duì)稱是將某個(gè)圖形圍繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，與原初始圖形完全重合，則將這個(gè)圖形稱為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形?？梢钥闯?，中心對(duì)稱是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的一個(gè)特例。生活中有些漢字都是軸對(duì)稱的，例如中，日，口，昊，曾等。其中有些漢字不僅是軸對(duì)稱也是中心對(duì)稱的，如日，口。

1.6 計(jì)算思維

計(jì)算思維是運(yùn)用計(jì)算機(jī)科學(xué)的思維方式進(jìn)行問題求解、系統(tǒng)設(shè)計(jì)以及人類行為理解等一系列的思維活動(dòng)。計(jì)算思維是當(dāng)今編程方法的基石，它是一種教授學(xué)生像計(jì)算機(jī)一樣思考來解決問題的方法，這種循序漸進(jìn)的認(rèn)知策略對(duì)于學(xué)生進(jìn)行有效學(xué)習(xí)非常有益。通過計(jì)算思維學(xué)習(xí)，學(xué)生可以掌握如何分析新信息和處理新問題。這種思維方式，會(huì)帶來解決問題能力的提升。計(jì)算思維的實(shí)踐可以幫助學(xué)生養(yǎng)成持續(xù)學(xué)習(xí)、嘗試多角度解決復(fù)雜問題、甚至提出新問題的能力。

計(jì)算思維的方法可主要分為四個(gè)基本步驟：分解、模式識(shí)別、抽象及算法；三個(gè)延伸方面：建模、評(píng)估及泛化。計(jì)算思維所關(guān)注的是一個(gè)計(jì)算模型或算法，重點(diǎn)在于問題求解的過程和步驟。

舉一個(gè)日常的生活問題來幫助理解計(jì)算思維，你需要為5人家庭做一餐晚飯，要求有湯有素菜有葷菜，你該怎么做？

（1）分析問題：分析確定要做什么菜，要有肉、素、湯，列舉要做什么菜，比如做青椒炒肉絲，燉雞湯，炒白菜等幾個(gè)菜，并列出這些菜需要購買什么食材。

（2）模式識(shí)別：明確幾道菜的做法和規(guī)律，青椒肉絲需要準(zhǔn)備青椒、肉絲，青椒和肉切細(xì)絲狀，炒白菜是快手菜，燉雞湯需要小火慢燉時(shí)間長，這些菜大多數(shù)都需要油、鹽、蔥等佐料。

（3）將問題抽象化：為了避免菜涼，需要幾道菜都要差不多時(shí)間出鍋，所以需要將菜品制作按時(shí)間排序，抽象為排序問題。

（4）算法開發(fā)和執(zhí)行：列明制作菜品的一些細(xì)節(jié)，轉(zhuǎn)化為清晰明確的流程并執(zhí)行，切雞肉、姜—燉雞湯—切蒜、蔥—切肉、青椒、洗菜心等等。

這樣準(zhǔn)備家庭晚餐的日常問題，就應(yīng)用計(jì)算思維解決了。

2 數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)建議

在教育教學(xué)中，教師要注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，從如下四個(gè)方面給出培養(yǎng)建議和方法。

2.1 培養(yǎng)觀察力

培養(yǎng)學(xué)生的觀察力對(duì)思維能力的培養(yǎng)至關(guān)重要。通過觀察現(xiàn)象探索事務(wù)的本質(zhì)，是現(xiàn)實(shí)世界中解決問題的必然過程。在學(xué)習(xí)生活中養(yǎng)成良好的觀察習(xí)慣不亞于擁有大量的學(xué)術(shù)知識(shí)。

培養(yǎng)學(xué)生的觀察力，可以通過將任務(wù)具體化的方法，引導(dǎo)學(xué)生有目的有興趣的觀察，從現(xiàn)象到隱蔽的細(xì)節(jié)中探索事務(wù)的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)的觀察，從多種嘗試中觀察結(jié)果，進(jìn)行歸納總結(jié)，進(jìn)而得到一些直觀的結(jié)論。

2.2 激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

數(shù)學(xué)來源于生活，可以用生活中的數(shù)學(xué)問題為依據(jù)，激發(fā)學(xué)生的好奇心和興趣，幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)思維方法。以生活中的數(shù)學(xué)問題為出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想去解決生活中的問題，可以幫助學(xué)生更徹底的理解數(shù)學(xué)知識(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

2.3 革新教學(xué)方法

借助一些教學(xué)方法來幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)，提升數(shù)學(xué)思維能力。例如在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史，從問題的發(fā)生發(fā)展及原理的角度，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)形結(jié)合是幫助學(xué)生從形象思維過渡到抽象思維的好方法，應(yīng)用一些圖形讓學(xué)生更好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，將深?yuàn)W的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化、具象化，達(dá)到培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的目的。還可以借助于多媒體技術(shù)，豐富多彩的動(dòng)畫、圖片、音樂等手段不僅調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和興趣，而且通過多媒體技術(shù)使得數(shù)學(xué)知識(shí)更加直觀、簡(jiǎn)單、形象，幫助學(xué)生更好的理解數(shù)學(xué)知識(shí)中的各種數(shù)學(xué)思維方法，從而有效提升數(shù)學(xué)思維能力。

2.4 引導(dǎo)動(dòng)手實(shí)踐

對(duì)于數(shù)學(xué)這樣具有高度抽象性的科目來說，在認(rèn)識(shí)過程中很難直接從教師的講授中獲取其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思維方法，需要在學(xué)生中加強(qiáng)實(shí)際操作，只有通過親自操作，獲得直接的經(jīng)驗(yàn)，才便于在此基礎(chǔ)上進(jìn)行正確的抽象和概括，提升數(shù)學(xué)思維能力。

3 結(jié)語

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是新時(shí)代需求，是人自身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展的需要。在中小學(xué)教育中，切勿填鴨式授學(xué)，要注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)將生活中的問題與書本知識(shí)相結(jié)合，數(shù)學(xué)問題來源于生活，數(shù)學(xué)思想又能反哺于社會(huì)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)踐。本文結(jié)合生活中的數(shù)學(xué)思維案例闡述了抽象的數(shù)學(xué)思維方法，包括概率思維、抽象思維、遞歸思維等等。同時(shí)，本文也給出了教育教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的建議和方法。