周勝瑤 楊劉

摘要：本文中，我們利用多復(fù)變對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)引理將Milloux不等式推廣至關(guān)于整函數(shù)全導(dǎo)數(shù)的微分多項(xiàng)式.作為應(yīng)用，我們證明了兩個(gè)多復(fù)變Picard型定理：設(shè)f是上的一個(gè)整函數(shù)，a，b是兩個(gè)判別復(fù)數(shù)且b≠0，（1）如果f≠a，f關(guān)于全導(dǎo)數(shù)的微分多項(xiàng)式，則f是常函數(shù);（2）如果，且，則f是常函數(shù)，其中Df是f的k階全導(dǎo)數(shù).

關(guān)鍵詞：整函數(shù);多復(fù)變;全導(dǎo)數(shù);微分多項(xiàng)式

中圖分類號(hào)：O174.5文獻(xiàn)標(biāo)志碼：ADOI：10.3969/j.issn.l000-5641.2021.06.005

Picard-type theorems for entire functions of several complex variables with total derivatives

ZHOU Shengyao，YANG Liu

（School of Mathematics and Physics^ Anhui University of Technology，Maanshan Anhui 243032，China）

Abstract：In this paper，we use the logarithmic derivative lemma for several complex variables to extend the Milloux inequality to differential polynomials of entire functions. As an application，we subsequently apply the concept to two Picard-type theorems：（1）Let f be an entire function in? and a，b（≠0）be two distinct complex numbers. If f≠a，，then f is constant. （2）If? and ，then f is constant，where Df is the k-th total derivative of f and? is a differentialpolynomial of f with respect to the total derivative.

Keywords：entire function;several complex variables;total derivative;differential polynomial

0簡(jiǎn)介及主要結(jié)果

著名的Picard定理說(shuō)明，復(fù)平面上不取三個(gè)值的亞純函數(shù)必為常函數(shù).我們把有關(guān)亞純函數(shù)蛻化為常函數(shù)的定理稱為Picard型定理.例如，由Milloux不等式可以得到整函數(shù)涉及導(dǎo)數(shù)的Picard型定理.

定理A設(shè)f是上的一個(gè)整函數(shù)，k是一個(gè)正整數(shù).若f≠0，f≠1，則f是常函數(shù).

Hayman在文獻(xiàn)[1]中將定理A進(jìn)一步推廣到亞純函數(shù).

定理B設(shè)f是上的一個(gè)亞純函數(shù)，k是一個(gè)正整數(shù).若f≠0，f≠1，則f是常函數(shù).

在文獻(xiàn)[1]中，Hayman還得到涉及導(dǎo)數(shù)的另一種形式的Picard型定理.

定理C設(shè)f是上的一個(gè)整函數(shù)，k>1是一個(gè)正整數(shù).若ff′≠1，則f是常函數(shù).

在文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]中，Hayman猜想：定理C在k≥1時(shí)均成立.1967年Clunie在文獻(xiàn)[3]中證明了這個(gè)猜想成立.這些結(jié)果引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)涉及導(dǎo)數(shù)的亞純函數(shù)值分布理論的關(guān)注和研究.另一方面，一個(gè)很自然的問(wèn)題是：如何將上述涉及導(dǎo)數(shù)的Picard型定理推廣至多復(fù)變情形.為此，2003年金路在文獻(xiàn)[4]中引入多復(fù)變上全導(dǎo)數(shù)的概念，并將定理A和定理C推廣至多復(fù)變整函數(shù)情形.

定義1設(shè)f是上的一個(gè)整函數(shù)，f的全導(dǎo)數(shù)是

其中是f關(guān)于z的偏導(dǎo)數(shù)（j=1，2，…，n）.設(shè)k是一個(gè)正整數(shù)，歸納地定義f的k階全導(dǎo)數(shù)為Df=D（Df），且約定Df=f.

定理D設(shè)f是上的一個(gè)整函數(shù)，a，b是兩個(gè)判別復(fù)數(shù)且b≠0，k是一個(gè)正整數(shù)，若f≠a，Df≠b，則f是常函數(shù).

定理E設(shè)f是上的一個(gè)整函數(shù)，b是一個(gè)非零復(fù)數(shù)，k是一個(gè)正整數(shù)且k≥2.若f·Df≠b，則f是常函數(shù).

近年來(lái)，有不少涉及多復(fù)變整函數(shù)或亞純函數(shù)全導(dǎo)數(shù)的研究，例如多復(fù)變的Picard型定理（見(jiàn)文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]），多復(fù)變唯一性的問(wèn)題（見(jiàn)文獻(xiàn)[6-8]），以及多復(fù)變的正規(guī)定則（見(jiàn)文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]）等.本文的主要目的是考慮全導(dǎo)數(shù)整函數(shù)的微分多項(xiàng)式，將定理D和定理E推廣至更為廣泛的形式. 為方便敘述，我們首先定義一些符號(hào).

如果f是上的一個(gè)整函數(shù)，S是非負(fù)整數(shù)（0≤j≤k），則稱

是f關(guān)于全導(dǎo)數(shù)的一個(gè)微分單項(xiàng)式.

分別稱為微分單項(xiàng)式的次數(shù)和權(quán)重.如果是整函數(shù)f關(guān)于全導(dǎo)數(shù)的p個(gè)不同的微分單項(xiàng)式，記.設(shè)a是上的整函數(shù)，，且除去一個(gè)Lebesgue測(cè)度有限集外的所有的r有T（r，a）=O（log（rT（r，f）））成立，1≤i≤p，則稱

為f關(guān)于全導(dǎo)數(shù)的一個(gè)微分多項(xiàng)式，相應(yīng)地，對(duì)于微分多項(xiàng)式，

分別稱為微分多項(xiàng)式的次數(shù)和權(quán)重.我們的主要結(jié)果如下.

定理1設(shè)f是上的一個(gè)整函數(shù)，是由式（1）所定義的一個(gè)微分多項(xiàng)式，a.b是兩個(gè)判別復(fù)數(shù)且b≠0.若f≠a，，則f是常函數(shù).

注1定理1中取微分多項(xiàng)式即得定理D.

定理2設(shè)s是一個(gè)非負(fù)整數(shù)，s，…，s，t，…，t都是正整數(shù)，f是上的一個(gè)整函數(shù)，b是一個(gè)非零復(fù)數(shù).若，且滿足，則f是常函數(shù).

由定理2可推得一些關(guān)于微分多項(xiàng)式的Picard型定理.如取q=1，s=1，則立刻得到如下結(jié)論.

推論1設(shè)f是上的一個(gè)整函數(shù)，b是一個(gè)非零復(fù)數(shù)，k，l都是正整數(shù)，且k≥l+1.若f·Df≠b，則f是常函數(shù).

注2定理E就是推論1中l(wèi)=1的特殊情形.

1基本概念和引理

我們簡(jiǎn)述一些相關(guān)事實(shí)和概念，更詳細(xì)的內(nèi)容可以參閱文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[11-13]等.對(duì).定義

其中r>0.記，定義

則σ（z）是S（r）上的正測(cè)度.令，設(shè)是上的一個(gè)全純函數(shù)，任意取定，可以寫(xiě)作，其中?；蛘逷是v次多項(xiàng)式，且.上述非負(fù)整數(shù)m由f，a，z唯一確定，稱為f在z處的a值點(diǎn)重級(jí)，記作，稱映射為全純函數(shù)f的a值點(diǎn)除子，其支撐集.記

其中

表示除子在0處的Lelong數(shù).記f關(guān)于∞的臨近函數(shù)為

f關(guān)于a的臨近函數(shù)為

第一基本定理可敘述為：設(shè)f是上的一個(gè)整函數(shù)，a∈C，則

注3對(duì)上任意的整函數(shù)g和h及，成立如下全導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：

D（g+h）=D（g）+D（h），D（kg）=kD（g），D（gh）=D（g）h+gD（h）.

引理1[4]設(shè)f是上的一個(gè)超越整函數(shù)，則對(duì)于任意的正整數(shù)k，Df也是上的超越整函數(shù)，且除去一個(gè)Lebesgue測(cè)度有限集外的所有的r，都有

注4若f是上的一個(gè)多項(xiàng)式，顯然D^kf也是上的多項(xiàng)式，從而是上的有理函數(shù)，因此，即引理1對(duì)于非常數(shù)的整函數(shù)均成立.

引理2設(shè)f是上的一個(gè)d次多項(xiàng)式，若Df是常函數(shù)，則f是常函數(shù)，且.

證明因f是上的一個(gè)d次多項(xiàng)式，則f可以寫(xiě)成下列形式：

其中P（z）或者恒為0，或者是一個(gè)v次齊次多項(xiàng)式（v=0，1，…，d）.經(jīng)計(jì)算可得

因?yàn)镈f是常數(shù)，所以，即.故f是常函數(shù)，且.

2定理1的證明

下面的引理在我們證明定理1中起到關(guān)鍵作用.

引理3如果f是上的超越整函數(shù)，a，b（b≠0）是兩個(gè)判別復(fù)數(shù)，是由式（1）所定義的微分多項(xiàng)式，則

對(duì)除去一個(gè)Lebesgue測(cè)度有限集外的所有的r成立.

證明分別令集合

顯然，I∪I=S（r），I∩I=?，且

注意到對(duì)任意的1≤i≤p，有，所以在I上有

由恒等式

并根據(jù)式（3）、式（4），有

由式（2）、式（5）得

對(duì)式（6）中項(xiàng)利用臨近函數(shù)的性質(zhì)和引理1，得

下面考慮項(xiàng).由恒等式

其中b≠0，可得

由引理1，有

由引理1，Df（z）也是超越整函數(shù)，所以

根據(jù)的定義，由式（9）和式（10）得

因?yàn)槭钦瘮?shù)，由第一基本定理和Jensen公式得

將式（11）、式（12）代入式（8）得

在不等式（7）的左右兩端同時(shí)加上，得

聯(lián)立式（13）和式（14）得

而由第一基本定理和式（15）得

引理3得證.

定理1的證明如果f是上的一個(gè)超越整函數(shù)，則由引理3得

因?yàn)橛梢阎獥l件f≠a，，所以T（r，f）=O（log（rT（r，f）））.這與f是超越整函數(shù)矛盾，因此f是一個(gè)多項(xiàng)式.又由f≠a，所以f是一個(gè)常函數(shù).

3定理2的證明

為了證明定理2，我們先引入下列引理.

引理4如果f是上的超越整函數(shù)，b是一個(gè)非零復(fù)數(shù)，是由式（1）所定義的微分多項(xiàng)式，則

對(duì)除去一個(gè)Lebesgue測(cè)度有限集外的所有的r都成立.

證明首先，由引理3有

然后，處理式（16）中的項(xiàng).為此，設(shè)為f的τ級(jí)零點(diǎn)，則在z的鄰域內(nèi)，f可以展成關(guān)于z-z的齊次多項(xiàng)式的冪級(jí)數(shù)形式：

又由P（z-z）的齊次性可得

因此

其中Q（z-z），或者恒為0，或者是關(guān)于z-z的。階齊次多項(xiàng)式.所以z為Df的零點(diǎn)重?cái)?shù)至少是τ-1.歸納可知，z為Df（z）的零點(diǎn)重?cái)?shù)至少是τ-j.故x為的零點(diǎn)重?cái)?shù)大于或等于

z為的零點(diǎn)重?cái)?shù)大于或等于

記m為z點(diǎn)在的計(jì)數(shù)，注意到

于是，

故

將式（17）代入式（16）得

引理4得證.

定理2的證明若f是一個(gè)超越整函數(shù).取微分多項(xiàng)式為，由數(shù)學(xué)歸納法容易證明，D（f）可以表示成若干個(gè)形如微分多項(xiàng)式的和，其中是常數(shù)，.經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算得

由引理4和式（18）得

由于，則在式（19）中，

即

結(jié)合條件，可得T（r，f）=O（log（rT（r，f））），這與f是超越整函數(shù)矛盾.即f是上的一個(gè)多項(xiàng)式，故也是多項(xiàng)式，又由多項(xiàng)式，得為常數(shù).由于多項(xiàng)式的次數(shù)不超過(guò)多項(xiàng)式的次數(shù)，從而是一個(gè)常數(shù).由引理2，是常函數(shù)，故f也是一個(gè)常函數(shù).

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（責(zé)任編輯：林磊）