胡紅梅

摘要：辮子向量代數是辮子張量范疇中一類非常重要的霍普夫代數.本文通過證明量子向量空間和辮子向量代數作為結合代數是同構的，從而從量子包絡代數U（g）表示的角度詳細刻畫了辮子向量代數定義中的關系式，以及定義中兩個重要的R-矩陣R′，R滿足的三個等式關系的由來.

關鍵詞：辮子向量代數;R-矩陣;辮子張量范疇

中圖分類號：O154.1文獻標志碼：ADOI：10.3969/j.issn.l000-5641.2021.06.004

Braided vector algebra V（R′，R）

HU Hongmei

（School of Mathematical Sciences，Suzhou University of Science and Technology，Suzhou Jiangsu215009，China）

Abstract：Braided vector algebras are an important class of Hopf algebras in braided tensor categories. In this paper，it is shown that braided vector algebras are isomorphic to quantum vector spaces as associative algebras;hence，the algebraic structure of braided vector algebras and three equalities of the pair （R′，R）are recovered from representations of quantized enveloping algebras U（g）.

Keywords：braided vector algebras;R-matrices;braided tensor categories

0引言

量子群理論同數學領域的很多分支、理論物理等都有著密切的聯(lián)系，一直吸引著很多數學家和物理學家的關注.作為有限維單李代數g的普遍包絡代數U（g）的量子化的量子包絡代數U（g）是一類非常重要的量子群，且量子包絡代數U（g）的擬三角結構使得它的表示范疇不再是簡單的張量范疇，而是辮子張量范疇.辮子張量范疇的理論已經被Majid在他一系列文章（[1-3]）中發(fā)展得比較完備. Majid將辮子張量范疇中的霍普夫代數稱為辮子群.特別地，Majid在文獻[4]中建立了辮子張量范疇中著名的雙重玻色化理論.粗略來說，在一個擬三角的霍普夫代數的左（右）表示構成的辮子范疇中，從和兩個相互對偶的辮子群出發(fā)，通過雙重玻色化在張量空間上構造出唯一的霍普夫代數，使得兩個玻色化產生的霍普夫代數和可以作為子霍普夫代數被嵌入中.由此可見，雙重玻色化理論一方面可以構造新量子群，另一方面，從李代數的Cartan數據出發(fā)，Majid構造了一個霍普夫代數H，然后將量子包絡代數的“正（負）”部分看成表示范疇中相互對偶的辮子群，雙重玻色化理論得到的新量子群就實現了量子包絡代數U（g）.基于此，Majid認為雙重玻色化理論使得所有的量子包絡代數U（g）都可通過一步步遞歸構造得到.這個猜想已經被文獻[5]、[6]等一系列文章所證實.在這些文章的遞歸構造中用到的一個非常重要的對象就是Majid在文獻[7]中定義的辮子向量代數V（R′，R）.但在文獻[7]中辮子向量代數V（R′，R）的定義（見下文）不能明顯地得到其代數關系，定義中用到的重要矩陣對（R′，R）滿足的三個等式（如下文式（1））的來源是什么都是不得而知的.這就引發(fā)了本文的研究動機：希望能夠從量子包絡代數U（g）表示的角度去理解辮子向量代數定義中的結構關系式，因為辮子向量代數中重要的數據——R-矩陣是同量子包絡代數U（g）的擬三角結構及其表示有著密切聯(lián)系的.本文的第1章介紹量子向量代數、量子向量空間、普遍R-矩陣等預備知識;第2章介紹同樣與R-矩陣密切相關的量子向量空間概念，并在其與辮子向量代數之間建立作為結合代數的同構關系（見定理1），從而可以通過量子向量空間去理解辮子向量代數.

1預備知識

首先，我們來回憶Majid在文獻[7]中給出的辮子向量代數的定義.設R是一個可逆的R-矩陣，且存在另一個矩陣R′，滿足如下的關系式：

這里的矩陣P是通常的置換矩陣，即其第（ij）行第（kl）列的元素是.

定義1[7]辮子向量代數V（R′，R）是由1和生成的結合代數，且滿足關系式：

注記1辮子向量代數V（R′，R）是文獻[8]中著名的FRT-雙代數A（R）的右余表示辮子范疇中的代數.同時它有一個對偶對象——辮子余向量代數.是由1和生成的，且滿足關系式.

由上面的定義可以看出辮子向量代數V（R′，R）的代數關系式是由矩陣R′決定的，而R′是通過上面的關系式（1）和一個R-矩陣建立關系的.乍看上去，這個定義給得很奇妙，但矩陣對（R′，R）的關系式（1）是怎么得到的？而且代數關系式又是怎么得到的？這引發(fā)了本文對同樣與R-矩陣有密切關系的量子向量空間這個概念的關注.量子向量空間的定義如下.

定義2[9]設f={f，…，f}是帶有一個變量的復多項式f構成的非空集合，R是任意可逆的R- 矩陣，V是帶有基x，…，x的N維向量空間，V′是其對偶空間.是張量代數T（V′）商去其雙邊理想的商代數，由作用在空間的映射f（PR）（m=1，…，n）的像生成.映射f（PR）其實是張量空間上的變換f（PR）的轉置.因此當假設是由x，…，x生成的，則其代數關系式為

注記2量子向量空間也有一個對偶的對象，代數是張量代數T（V）商去雙邊理想的商代數，由作用在空間的映射f（PR）（m=1，…，n）的像生成. 也就是說，是由x，…，x生成的代數，且滿足關系式：

下一章將建立這兩個對象之間的同構，從而可通過量子向量空間來理解辮子向量代數的概念.

2同構定理

復單李代數g的普遍包絡代數所對應的量子包絡代數U（g）是一個帶有如下普遍R-矩陣的擬三角霍普夫代數（參見文獻[9]），

因此從任意一個不可約的有限維U（g）-模T和普遍矩陣出發(fā)，都可以通過如下的等式來得到一個真正的R-矩陣，將其記為R.

其中映射B的定義是.首先設表示T的張量空間的分解為，而且假設這些直和項V是互相不同構的，也就是說對應的辮子矩陣PR是可對稱化的，其存在m個不同的特征值.將這m個不同的特征值記為λ，…，λ，因此辮子矩陣PR有如下關系式：

（PR-λI）…（PR-λI）=0.（4）

定理1令多項式

其中，λ≠0.從矩陣R出發(fā)可以找到矩陣對（R，R′），使得如下映射

φ：x→e，i=1，…，N，

給出量子向量空間和辮子向量代數V（R′，R）之間的結合代數同構.

證明首先設辮子矩陣PR的譜分解為

PR=λP+…+λP，（6）

可通過關系式（4）和得出譜分解中每個投射P（i=1，…，m）可以有如下形式：

另一方面，對每一個特征值λ，將關系式（4）左邊的每個因式項除以-λ，從而可得

然后令，再將式（7）的分子、分母的每個因式都除以-λ，可得

將式（9）代入式（8），則可得

因此，令

則有

然后通過關系式（10），得到矩陣對（R′，R）滿足如下等式：

（PR+I）（PR′-I）=0.（13）

同時將式（9）代入式（11），可得到矩陣R′其實是關于矩陣R的多項式形式，因此很容易驗證矩陣R′滿足關系式（1）中的第一個和第三個等式.至此，從量子包絡代數不可約表示的張量積的譜分解的投射項中得到了辮子向量代數V（R′，R）定義中需要滿足關系式（1）的矩陣對（R′，R）.現在從這些同樣的數據出發(fā)，然后取定義2中的多項式集合f ={f（x）}，即只有一個元素構成的集合.然后對于辮子向量代數V（R′，R）的關系式，有如下等價關系：

由式（5）確定的多項式f（x）及R，R′的定義，得到

其中第二個等式由式（10）得到.因此根據式（14）和式（12），可得

從而得證.

[參考文獻]

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[8]KLIMYK A，SCHMüDGEN K. Quantum Groups and Their Representations [M]. Berlin：Springer-Verlag，1997.

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（責任編輯：林磊）