高云凱， 馬 超， 劉 哲， 田林靂

(1. 同濟(jì)大學(xué) 汽車學(xué)院， 上海 201804； 2. 武漢理工大學(xué) 現(xiàn)代汽車零部件技術(shù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 武漢 430070； 3. 武漢理工大學(xué) 汽車零部件技術(shù)湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心， 武漢 430070)

符號(hào)說(shuō)明

a—截距矢量

A—M維矩陣

B—H鋼截面寬度

[d]—鋼結(jié)構(gòu)撓度容許值

d—節(jié)點(diǎn)z向位移

di—第i個(gè)指定節(jié)點(diǎn)的z向位移

dmax—最大z向節(jié)點(diǎn)位移

d(pi,N,R)—pi,N與R之間的最小Euclidean距離

fi(x)—第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)

Fi—第i個(gè)支配層級(jí)

Fl—臨界非支配層級(jí)

g(x)—指定函數(shù)

gide—理想點(diǎn)

gi,min—第i個(gè)目標(biāo)維度的最小值

gi—第i維目標(biāo)軸

gi(pj)—個(gè)體pj的第i維目標(biāo)值

h—H鋼截面高度

i—任意整數(shù)

j—任意整數(shù)

jR—參考點(diǎn)

k—任意整數(shù)

K—整數(shù)

L—網(wǎng)架上相鄰焊接球節(jié)點(diǎn)的間距

m—結(jié)構(gòu)總質(zhì)量

M—目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)

nI—迭代次數(shù)

nS—非支配解數(shù)量

N—種群規(guī)模

p—當(dāng)前迭代的Pareto解集

pmax,i—距離第i維目標(biāo)軸最近的個(gè)體

pi,N—pN中的個(gè)體

pj,k—個(gè)體pj中的第k個(gè)元素

pN—?dú)w一化后的Pareto最優(yōu)解集

Pt—t次迭代的父代種群

q—每一維目標(biāo)均勻分割的段數(shù)

Qt—t次迭代的子代種群

r—工藝圓角

R—均勻分布在超平面上的參考點(diǎn)集

Rt—第t次迭代合并后的種群

s—指定整數(shù)

St—存放個(gè)體的臨時(shí)解集

t1—腹板厚度

t2—翼緣厚度

t3—無(wú)縫鋼管壁厚

vi—設(shè)計(jì)變量

V—設(shè)計(jì)變量集合

xi—處于[0,1]的隨機(jī)數(shù)

γC—交叉概率

γM—變異概率

ε—指定極小值

Φ—無(wú)縫鋼管外徑

ρjR—與參考點(diǎn)jR相關(guān)聯(lián)的個(gè)體數(shù)

σmax—結(jié)構(gòu)中的最大應(yīng)力

ω—權(quán)重向量

ωi—第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重向量

ωi，k—ωi中的第k個(gè)元素

鋼結(jié)構(gòu)具有自重輕、強(qiáng)度高、施工周期短等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于建造工業(yè)廠房、橋梁、公共服務(wù)設(shè)施等大型建筑.該類建筑體積龐大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜，采用傳統(tǒng)方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，存在周期長(zhǎng)、效率低、結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)和建造成本難以平衡等問(wèn)題.因此，研究大型鋼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法具有重要意義.

離散拓?fù)鋬?yōu)化主要是指以桁架和剛架結(jié)構(gòu)為主的桿系結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化，該方法可以在概念設(shè)計(jì)階段提出創(chuàng)新構(gòu)型，改變結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中依賴經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)的缺點(diǎn).但離散拓?fù)鋬?yōu)化存在設(shè)計(jì)變量高度非線性、變量耦合等數(shù)值問(wèn)題[1]，且優(yōu)化時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，容易陷入局部最優(yōu).近年來(lái)，以遺傳算法 (GA)為代表的進(jìn)化算法具有可處理離散設(shè)計(jì)變量、支持并行計(jì)算等特點(diǎn)，全局搜索能力和穩(wěn)健性較好[2-3]，使得其在離散拓?fù)鋬?yōu)化中獲得廣泛應(yīng)用.Pan等[4]、Assimi等[5]和孫仁范等[6]改進(jìn)了搜索方法和基因操作方法，提高GA的收斂性.Wang等[7]使用GA研究考慮抗震性能的離散拓?fù)鋬?yōu)化，將離散拓?fù)鋬?yōu)化拓展到了動(dòng)態(tài)領(lǐng)域.

但GA計(jì)算效率低下，難以處理多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題[8-9].為此，Deb等[10]通過(guò)引入Pareto最優(yōu)概念、精英保留策略和擁擠度比較算子，先后提出了第1代非支配排序遺傳算法 (NSGA)和第2代非支配排序遺傳算法 (NSGA-II)，提高計(jì)算效率的同時(shí)增加了解空間的多樣性，使優(yōu)化易于收斂至全局最優(yōu).高云凱等[11]和Ho-huu等[12]改進(jìn)了個(gè)體選擇機(jī)制，使得處于解空間臨界區(qū)域的優(yōu)異個(gè)體得以保留，提高了NSGA-II處理離散拓?fù)鋬?yōu)化的收斂性.但胡浩等[13]的研究發(fā)現(xiàn)，隨著設(shè)計(jì)變量的增多，NSGA-II的收斂速度顯著降低.

實(shí)際工程優(yōu)化問(wèn)題大多是包含多個(gè)目標(biāo)函數(shù) (目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)大于3)的高維多目標(biāo)優(yōu)化(MOO)問(wèn)題，如包含質(zhì)量、位移、應(yīng)力、固有頻率等多個(gè)目標(biāo)函數(shù).使用NSGA-II 求解MOO問(wèn)題時(shí)，隨著目標(biāo)函數(shù)數(shù)量的增多，非支配解的數(shù)量呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，互不支配的可能性急劇上升，使得優(yōu)化過(guò)程難以收斂[14].其次，由于目標(biāo)函數(shù)數(shù)量較多，保持種群中優(yōu)異個(gè)體的精英保留策略將會(huì)顯著降低計(jì)算效率，因此 NSGA-II 并不適合求解MOO問(wèn)題.近年來(lái)，基于參考點(diǎn)的多目標(biāo)進(jìn)化算法通過(guò)將目標(biāo)空間分解為多個(gè)子空間，并行地搜索每個(gè)子空間，在提高求解MOO問(wèn)題計(jì)算效率的同時(shí)，增加了解空間的多樣性.據(jù)此，Deb等[15]又提出了基于參考點(diǎn)的第3代非支配排序遺傳算法(NSGA-III).但實(shí)際應(yīng)用 NSGA-III 求解離散拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)，發(fā)現(xiàn)優(yōu)化不收斂.本文在 NSGA-III 的基礎(chǔ)上，提出新型極值點(diǎn)選擇算法，以期穩(wěn)定個(gè)體歸一化過(guò)程，提高 NSGA-III 的收斂性.基于測(cè)試函數(shù)和工程實(shí)例，比較 NSGA-III 和改進(jìn)的 NSGA-III (mNSGA-III)的性能.

1 mNSGA-III

NSGA-III 流程如圖1所示.

圖1 NSGA-III流程

NSGA-III 流程可概述為：

第1步初始化種群，種群中的個(gè)體根據(jù)相互間的支配關(guān)系分為若干層級(jí).對(duì)種群中的所有個(gè)體進(jìn)行歸一化，并關(guān)聯(lián)至參考點(diǎn)，關(guān)聯(lián)過(guò)程將在后文詳細(xì)介紹.

第2步通過(guò)選擇、交叉、變異等基因操作產(chǎn)生子代種群.

第3步合并父代種群和子代種群，再次進(jìn)行非支配排序、個(gè)體歸一化和關(guān)聯(lián)操作.

第4步修剪合并的種群，把修剪后的種群作為下一次迭代的父代種群.迭代循環(huán)往復(fù)，直至達(dá)到預(yù)先設(shè)定的收斂條件，輸出Pareto最優(yōu)解集.

NSGA-III 的算法流程與NSGA-II 相似，但保持種群個(gè)體多樣性的選擇機(jī)制由擁擠度比較算子變?yōu)榛趨⒖键c(diǎn)的個(gè)體選擇機(jī)制，NSGA-III 的個(gè)體選擇機(jī)制如下.

1.1 非支配排序

假設(shè)當(dāng)前迭代步Pt中的個(gè)體數(shù)量為N，記為|Pt|=N.通過(guò)基因操作生成Qt，|Qt|=N.合并父代種群和子代種群，即Rt=Pt∪Qt.對(duì)Rt進(jìn)行非支配排序，Rt分為多個(gè)非支配層級(jí) (F1,F2, …).按層級(jí)高低將各個(gè)非支配層級(jí)中的個(gè)體逐次加入St，直到|St|≥N.最后一個(gè)加入St的非支配層級(jí)記為Fl，不包含F(xiàn)l層的解集記為Pt+1=St/Fl.

1.2 生成參考點(diǎn)

圖2 參考點(diǎn)示意圖

優(yōu)化過(guò)程中，將當(dāng)前種群中的個(gè)體映射到參考點(diǎn)所在的歸一化的超平面上 (即對(duì)個(gè)體進(jìn)行歸一化)，以個(gè)體和參考點(diǎn)的距離，決定該個(gè)體是否進(jìn)入下一次迭代.首先，找出種群中所有個(gè)體在各個(gè)目標(biāo)維度上的gi, min，獲得gide=[g1,min…gi,min…]作為解空間的零點(diǎn)，即種群中所有個(gè)體減去gide或稱解空間沿gide平移.

1.3 新型極值點(diǎn)選擇算法

解空間平移后，找出解空間中的極值點(diǎn)，以構(gòu)建極限平面.Deb等[15]提出的極值點(diǎn)選擇公式如下：

ASF(p,ω)=argmin(max(pj./ωi))

(1)

i∈[1,M]

對(duì)于M維多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)式 (1)可以獲得M個(gè)極值點(diǎn)，即M個(gè)M維向量[p1p2…pM]T.當(dāng)這M個(gè)極值點(diǎn)各不相同 (即M個(gè)M維向量線性無(wú)關(guān))時(shí)，由這些極值點(diǎn)可構(gòu)建唯一的M-1維極限平面，如圖3所示.

圖3 極值點(diǎn)構(gòu)建的極限平面

極限平面與各個(gè)目標(biāo)軸的交點(diǎn)和理想點(diǎn)之間的距離，即為各個(gè)目標(biāo)軸的截距.記極限平面與第i個(gè)目標(biāo)軸的截距為ai，截距矢量記為a=[a1a2…aM]，將種群中所有個(gè)體各個(gè)維度的目標(biāo)值分別除以相應(yīng)目標(biāo)軸的截距，即完成個(gè)體的歸一化.

但實(shí)際應(yīng)用時(shí)，發(fā)現(xiàn)部分迭代出現(xiàn)一個(gè)或多個(gè)個(gè)體，同時(shí)最接近兩個(gè)或兩個(gè)以上目標(biāo)軸的現(xiàn)象.這時(shí)求得的M個(gè)M維向量線性相關(guān)，獲得的極值點(diǎn)能夠創(chuàng)建無(wú)數(shù)個(gè)M-1維極限平面，無(wú)法確定唯一的截距矢量，個(gè)體歸一化過(guò)程不穩(wěn)定，優(yōu)化過(guò)程難以收斂.為此，針對(duì)M維多目標(biāo)離散拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，提出新型極值點(diǎn)選擇算法：優(yōu)化過(guò)程中，選擇第i維目標(biāo)的極值點(diǎn)時(shí)，將當(dāng)前迭代種群中的所有個(gè)體根據(jù)其第i維目標(biāo)值降序排列，選擇第i維目標(biāo)值最大的個(gè)體作為極值點(diǎn)；若該pj已經(jīng)被選為極值點(diǎn)，則選擇第i維目標(biāo)值次之的個(gè)體作為極值點(diǎn)，以此類推.這種算法避免了重復(fù)選擇同一個(gè)個(gè)體作為極值點(diǎn)，因此能夠確保獲得唯一的極限平面，新型極值點(diǎn)的選擇算法偽代碼如算法1所示.

1.4 個(gè)體歸一化

根據(jù)求得的截距矢量，個(gè)體的歸一化可表示為

(2)

執(zhí)行歸一化操作后，種群中的個(gè)體即映射到參考點(diǎn)所在的歸一化超平面上.由于優(yōu)化過(guò)程中，每一次迭代都會(huì)進(jìn)行個(gè)體的歸一化和極限平面的構(gòu)建，所以NSGA-III 在優(yōu)化過(guò)程中始終能夠保持種群的多樣性，從而有效求解MOO問(wèn)題.

算法1新型極值點(diǎn)選擇算法

輸入:p

輸出: 矩陣A=[pmax，1pmax，2…pmax,M]

1.A=?

2. fori=1 toMdo

3.j=1

∥種群中個(gè)體根據(jù)第i維目標(biāo)函數(shù)值降序排列

4. sequence=sort(p,gi)

5.pmax,i=sequence[1]

6. whilepmax,iinA

7.j=j+1

8.pmax,i=sequence[j]

9. end while

10.A=A∪pmax,i

11.end for

1.5 個(gè)體關(guān)聯(lián)至參考點(diǎn)

將參考點(diǎn)與理想點(diǎn)連接起來(lái)，即定義了一簇參考線.計(jì)算歸一化以后的個(gè)體到各個(gè)參考線的距離，并將個(gè)體關(guān)聯(lián)至距其最近的參考線所屬的參考點(diǎn)，關(guān)聯(lián)過(guò)程如圖4所示.

圖4 個(gè)體關(guān)聯(lián)操作示意圖

1.6 選擇個(gè)體

1.7 算法比較

為驗(yàn)證所提mNSGA-III 的綜合性能，使用NSGA-III[15]和mNSGA-III 求解MOO領(lǐng)域中通用的SDTLZ1測(cè)試函數(shù)[17]，該函數(shù)為線性多模態(tài)函數(shù)，主要用于測(cè)試算法的收斂能力.兩種算法都是在配置Intel i5，8 GB內(nèi)存，3.1 GHz主頻處理器，64 bit Win10操作系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)上運(yùn)行.SDTLZ1測(cè)試函數(shù)如下所示：

(3)

由式(3)可以知道，測(cè)試函數(shù)的M=3.取q=4，N=500，最大迭代步數(shù)設(shè)置為100，γC=0.7，γM=0.4.

圖5 NSGA-III與mNSGA-III 非支配解數(shù)量的迭代歷程

由兩種算法獲得的非支配層級(jí)最高的非支配解數(shù)量迭代曲線如圖5所示.非支配解的進(jìn)化歷程表明，由mNSGA-III 獲得的非支配解數(shù)量增長(zhǎng)穩(wěn)定.而NSGA-III 即使處理SDTLZ1函數(shù)這種使用連續(xù)設(shè)計(jì)變量的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，也在部分迭代出現(xiàn)極值點(diǎn)重復(fù)選擇的情況，算法無(wú)法穩(wěn)定構(gòu)建極限平面，非支配解數(shù)量出現(xiàn)振蕩.因此，盡管兩種算法均在第40次迭代左右使非支配層級(jí)最高的非支配解數(shù)量達(dá)到最大值，但使用mNSGA-III 的優(yōu)化過(guò)程更穩(wěn)定.

100次迭代后，由兩種NSGA-III 算法獲得的Pareto最優(yōu)解集和SDTLZ1函數(shù)的理想Pareto最優(yōu)解集如圖6所示.由mNSGA-III 獲得的Pareto最優(yōu)解集更接近測(cè)試函數(shù)的理想Pareto最優(yōu)解集，而由NSGA-III 獲得的Pareto最優(yōu)解集與理想Pareto最優(yōu)解集仍有一定的距離.綜上所述，對(duì)于MOO問(wèn)題，mNSGA-III 的優(yōu)化過(guò)程穩(wěn)定且收斂速度更快.

圖8 白車身焊裝生產(chǎn)平臺(tái)優(yōu)化區(qū)域示意圖(m)

圖6 SDTLZ1函數(shù)的理想Pareto最優(yōu)解集以及由NSGA-III、mNSGA-III 獲得的Pareto最優(yōu)解集

2 拓?fù)鋬?yōu)化模型

某汽車生產(chǎn)線焊裝車間為鋼結(jié)構(gòu)柱、柱間支撐和屋面焊接網(wǎng)架組成的鋼結(jié)構(gòu)體系.因生產(chǎn)需要，廠房屋面下部設(shè)置有白車身焊裝生產(chǎn)平臺(tái)，用來(lái)承載白車身自動(dòng)化輸送設(shè)備——滾床.生產(chǎn)平臺(tái)通過(guò)吊桿與上輔梁相連，上輔梁與屋面焊接網(wǎng)架中的焊接球節(jié)點(diǎn)相連.吊桿和上輔梁的數(shù)量及布置受生產(chǎn)線布局、成本和屋面網(wǎng)架的承載能力限制，設(shè)計(jì)時(shí)需要合理的布置桿件，以同時(shí)滿足性能和成本要求.使用mNSGA-III 對(duì)生產(chǎn)平臺(tái)進(jìn)行離散拓?fù)鋬?yōu)化，白車身焊裝生產(chǎn)平臺(tái)結(jié)構(gòu)如圖7所示.

圖7 白車身焊裝生產(chǎn)平臺(tái)結(jié)構(gòu)示意圖

2.1 生產(chǎn)平臺(tái)結(jié)構(gòu)及其有限元模型

待建白車身焊裝生產(chǎn)平臺(tái)的總規(guī)劃面積為120 m×144 m，如圖8(a)所示.若對(duì)其進(jìn)行完整建模，模型單元數(shù)量較大，計(jì)算效率較低.由于該生產(chǎn)平臺(tái)被x向和y向間距均為24 m的鋼結(jié)構(gòu)柱均勻分割為多個(gè)子模塊，各模塊承載基本一致，所以選擇其中一個(gè)子模塊D作為優(yōu)化區(qū)域，模塊D的面積為24 m×24 m，如圖8(b)所示.區(qū)域內(nèi)共設(shè)有18個(gè)輸送滾床，每個(gè)輸送滾床的額定載荷為300 kg，滾床自重200 kg，平臺(tái)上的其他附屬設(shè)備按照40 kg/m2的面密度進(jìn)行加載.該生產(chǎn)平臺(tái)系改擴(kuò)建工程，出于維護(hù)性和成本方面的考慮，各類桿件使用的型材規(guī)格與既有生產(chǎn)平臺(tái)一致，型材規(guī)格如表1所示.符號(hào)生產(chǎn)平臺(tái)使用的型材材質(zhì)為Q235鋼.

在不影響生產(chǎn)線運(yùn)行及考慮各節(jié)點(diǎn)連接方式合理性的前提下，在優(yōu)化區(qū)域中盡可能多設(shè)置上輔梁、吊桿及平臺(tái)層梁形成基結(jié)構(gòu)，離散拓?fù)鋬?yōu)化就是在該基結(jié)構(gòu)中尋找最優(yōu)桿件組合.所有桿件使用梁?jiǎn)卧x散，以進(jìn)一步提高計(jì)算效率.不同桿件之間使用剛性連接單元連接，在滾床的質(zhì)心處以及平臺(tái)其他相應(yīng)部位設(shè)置質(zhì)量單元，以模擬白車身焊裝生產(chǎn)平臺(tái)的實(shí)際受力情況.基結(jié)構(gòu)的有限元模型如圖9(a)所示，模型中共有218根桿件，單元數(shù)量為 7 486，基結(jié)構(gòu)總質(zhì)量為40.996 t.

表1 型材規(guī)格(mm)

基結(jié)構(gòu)有限元模型在重力作用下的位移云圖如圖9(b)所示.由圖9(b)可知，基結(jié)構(gòu)中的最大z向位移為 -0.40 mm.靜力學(xué)分析結(jié)果表明，此模型可用于優(yōu)化分析.

圖9 基結(jié)構(gòu)有限元模型及其靜力學(xué)分析位移云圖

2.2 拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量

優(yōu)化過(guò)程中，為了避免因桿件刪除導(dǎo)致的功能缺失或出現(xiàn)自由桿件，平臺(tái)層邊框處及支承輸送滾床的平臺(tái)層梁不作拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量，其余部件均作為拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量.如圖9(a)所示，圖中黑色線條表示作為拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量的桿件，優(yōu)化過(guò)程中可刪除；灰色線條表示作為非拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量的桿件，優(yōu)化過(guò)程中不可刪除.作為拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量的桿件共有162個(gè)，包含所有拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量的集合以V表示.

2.3 拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

生產(chǎn)平臺(tái)的拓?fù)鋬?yōu)化屬于概念設(shè)計(jì)階段的結(jié)構(gòu)優(yōu)化，為了盡可能發(fā)掘出最優(yōu)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案，本研究將通常作為約束函數(shù)的位移響應(yīng)和應(yīng)力響應(yīng)作為目標(biāo)函數(shù).優(yōu)化時(shí)，以m、σmax以及各個(gè)滾床質(zhì)心處和平臺(tái)層邊框處共計(jì)26個(gè)節(jié)點(diǎn) (圖8(b)中的實(shí)心圓點(diǎn))的di最小作為目標(biāo)函數(shù)，對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型可表示為

(4)

式中：當(dāng)vi=0時(shí)，表明桿件i被刪除；當(dāng)vi=1時(shí)，則表明桿件i保留在有限元模型中.位移是表示結(jié)構(gòu)局部性質(zhì)的度量，不能全面反映結(jié)構(gòu)的性能.因此，在優(yōu)化區(qū)域中選擇26個(gè)節(jié)點(diǎn)，并以其在重力作用下的z向位移評(píng)估結(jié)構(gòu)的整體剛度性能.

3 拓?fù)鋬?yōu)化程序

采用二進(jìn)制編碼對(duì)種群中的個(gè)體 (對(duì)應(yīng)于生產(chǎn)平臺(tái)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案)進(jìn)行描述，即每一個(gè)個(gè)體均由一個(gè)162位的二進(jìn)制編碼來(lái)表達(dá).若桿件i不在個(gè)體p1中，則表示p1的二進(jìn)制編碼，其第i位數(shù)字為0，否則為1.使用MATLAB對(duì)二進(jìn)制編碼進(jìn)行解碼，若桿件i在個(gè)體中，則將表示桿件i的梁?jiǎn)卧獙懭雽?duì)應(yīng)當(dāng)前個(gè)體的bdf格式文本文件 (即結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案的有限元模型)，反之則不寫入.編碼、解碼及輸出有限元模型的過(guò)程如圖10所示.輸出有限元模型以后，即調(diào)用有限元軟件MSC.Nastran計(jì)算bdf文件，并讀取有限元分析結(jié)果.

優(yōu)化結(jié)束后，輸出最后一代種群中非支配層級(jí)最高的所有個(gè)體對(duì)應(yīng)的有限元模型供設(shè)計(jì)人員篩選、決策，以提高設(shè)計(jì)效率.生產(chǎn)平臺(tái)離散拓?fù)鋬?yōu)化流程如圖11所示.

圖10 編碼、解碼及輸出有限元模型示意

圖11 生產(chǎn)平臺(tái)離散拓?fù)鋬?yōu)化流程

4 結(jié)果分析

適當(dāng)選擇交叉概率和變異概率可在保證較高計(jì)算速率的同時(shí)，維持種群的多樣性[18].取γC=0.7，γM=0.4.由于生產(chǎn)平臺(tái)離散拓?fù)鋬?yōu)化具有28個(gè)目標(biāo)函數(shù)，所以，每個(gè)維度目標(biāo)分割段數(shù)取較小值，即可得到足夠多的參考點(diǎn).為平衡計(jì)算代價(jià)和優(yōu)化設(shè)計(jì)效果，取q=2，即生成406個(gè)參考點(diǎn).通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)及參考相關(guān)研究[11]，最大迭代次數(shù)和種群規(guī)模均設(shè)定為100.

由NSGA-III 和mNSGA-III 獲得的非支配層級(jí)最高的非支配解數(shù)量迭代歷程如圖12所示.由圖12可知，NSGA-III 求解離散拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)，非支配解的數(shù)目出現(xiàn)嚴(yán)重的振蕩.而mNSGA-III 計(jì)算過(guò)程穩(wěn)定，且優(yōu)化收斂速度較快.該結(jié)果表明新型極值點(diǎn)選擇算法能夠有效構(gòu)建極限平面，穩(wěn)定個(gè)體的歸一化過(guò)程，利于優(yōu)化收斂.

圖12 非支配解數(shù)量迭代歷程

由于所研究的白車身焊裝生產(chǎn)平臺(tái)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)多達(dá)28個(gè)，Pareto最優(yōu)解集是28維的超越空間，所以無(wú)法使用Pareto最優(yōu)解集來(lái)比較算法的優(yōu)劣.選取Zitzler等[19]提出的反向世代距離(IGD)綜合比較NSGA-III 和mNSGA-III 的收斂性和個(gè)體多樣性.IGD為一個(gè)無(wú)量綱值，可表示為

(5)

式中： |R|為參考點(diǎn)的個(gè)數(shù).IGD越小，表明多目標(biāo)優(yōu)化算法的收斂性和種群多樣性越好.經(jīng)計(jì)算，使用NSGA-III 進(jìn)行優(yōu)化，IGD為 0.475 4；使用mNSGA-III 進(jìn)行優(yōu)化，IGD為 0.110 9.因此，mNSGA-III 的收斂性和種群多樣性優(yōu)于NSGA-III.

由于種群規(guī)模較大，設(shè)計(jì)變量較多，為便于決策，首先根據(jù)個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行初步篩選，如去除最大應(yīng)力超出材料屈服極限的個(gè)體，然后輸出剩余個(gè)體的有限元模型進(jìn)行觀察和選擇.使用NSGA-III 和mNSGA-III 獲得的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案、靜力學(xué)分析位移云圖及應(yīng)力云圖如圖13～15所示.由圖13可知，基結(jié)構(gòu)中，沿y向布置的上輔梁因?yàn)閷?duì)減小z向位移和最大應(yīng)力的影響不大，但對(duì)減小結(jié)構(gòu)質(zhì)量較為靈敏，因此優(yōu)化后被完全去除.與圖13(a)展示的設(shè)計(jì)方案相比，圖13(b)中各類桿件的布置更規(guī)律，更符合工程實(shí)際需求.綜合圖14和15可以發(fā)現(xiàn)，通過(guò)mNSGA-III 獲得的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案的最大位移和最大應(yīng)力均小于通過(guò)NSGA-III 獲得的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案.圖14(a)和15(a)中不規(guī)律的桿件布置導(dǎo)致結(jié)構(gòu)局部位移增大，應(yīng)力分布不均勻.

優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量、最大應(yīng)力及最大z向位移如表2所示.生產(chǎn)平臺(tái)優(yōu)化后，結(jié)構(gòu)總質(zhì)量分別降至28.624 t和28.681 t，降幅分別為30.2%和30.1%.但通過(guò)mNSGA-III 獲得的設(shè)計(jì)方案最大z向位移和最大應(yīng)力分別為-1.92 mm和18.84 MPa，均小于通過(guò)NSGA-III 獲得的設(shè)計(jì)方案.《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》[20]針對(duì)所研究的生產(chǎn)平臺(tái)一類的鋼結(jié)構(gòu)，設(shè)立的容許撓度值為[d]≤L/400.此處L=6 000 mm，即結(jié)構(gòu)中的最大z向位移小于設(shè)計(jì)規(guī)范要求的容許撓度；結(jié)構(gòu)中的最大應(yīng)力也遠(yuǎn)小于材料的屈服極限——235 MPa.因此，通過(guò)mNSGA-III 優(yōu)化獲得的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案滿足剛度和強(qiáng)度要求.

圖13 由NSGA-III 與mNSGA-III 獲得的設(shè)計(jì)方案對(duì)比

圖14 由NSGA-III 與mNSGA-III 獲得的設(shè)計(jì)方案位移云圖

圖15 由NSGA-III 與mNSGA-III 獲得的設(shè)計(jì)方案應(yīng)力云圖

表2 優(yōu)化前后生產(chǎn)平臺(tái)的性能對(duì)比

5 結(jié)語(yǔ)

采用第3代非支配排序遺傳算法對(duì)白車身焊裝生產(chǎn)平臺(tái)進(jìn)行離散拓?fù)鋬?yōu)化，提出一種新型極值點(diǎn)選擇算法，通過(guò)穩(wěn)定個(gè)體歸一化過(guò)程，有效地解決了NSGA-III 收斂性差的問(wèn)題.

測(cè)試函數(shù)和工程實(shí)例表明：相較于NSGA-III，mNSGA-III 求解MOO問(wèn)題時(shí)，具有收斂速度快、優(yōu)化過(guò)程穩(wěn)定、種群多樣性更好等優(yōu)點(diǎn)；mNSGA-III 求解獲得的生產(chǎn)平臺(tái)設(shè)計(jì)方案，桿件布置更合理，結(jié)構(gòu)力學(xué)性能更優(yōu)異.相較于基結(jié)構(gòu)，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)總質(zhì)量降低了30.1%.相較于傳統(tǒng)的依賴經(jīng)驗(yàn)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法，MATLAB集成MSC.Nastran軟件編制的離散拓?fù)鋬?yōu)化程序，簡(jiǎn)化了決策過(guò)程，提高了設(shè)計(jì)效率.所提出的mNSGA-III 可有效解決更符合工程實(shí)際的MOO問(wèn)題，為大型鋼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了新的技術(shù)途徑.