例題 （2016年全國(guó)Ш卷）定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對(duì)任意k≤2m，a1，a2，…，an中O的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)。若m=4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有（

）。

A.18個(gè)

B.16個(gè)

C.14個(gè)

D.12個(gè)

答案：C

探究一、用分步計(jì)數(shù)原理

解：由題意，{an}中共有8項(xiàng)，4項(xiàng)為O，4項(xiàng)為1，且第一項(xiàng)為O，第八項(xiàng)為1，且要符合對(duì)任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)。如圖l所示，此時(shí)可按項(xiàng)數(shù)從小到大分步作答，但關(guān)鍵是只要前面出現(xiàn)3個(gè)O，即結(jié)束討論，分步如下。

（1）當(dāng)?shù)诙?xiàng)、第三項(xiàng)均為O時(shí)，共C41種情況;當(dāng)?shù)谌?xiàng)為1，第四項(xiàng)為0時(shí)，共C13種情況;當(dāng)?shù)谒捻?xiàng)為1時(shí)，第五項(xiàng)只能為O，共C12種情況。如圖2。

（2）當(dāng)?shù)诙?xiàng)為1時(shí)，第三項(xiàng)只能為O，當(dāng)?shù)谒捻?xiàng)為O時(shí)，共C13種情況;當(dāng)?shù)谒捻?xiàng)為1時(shí)，第五項(xiàng)只能為0時(shí)，共q種情況。如圖3。

綜上，共有C14+C12+C12+C13+C12=14（種）。

探究二、用分類計(jì)數(shù)原理

解：由題意，{an}中共有8項(xiàng)，4項(xiàng)為0，4項(xiàng)為1，且第一項(xiàng)為O，第八項(xiàng)為1，且要符合對(duì)任意k≤2m，a1，a2，…，ak中O的個(gè)數(shù)不少于l的個(gè)數(shù)，分為以下幾種情況：

（1）前4項(xiàng)均為0，后4項(xiàng)均為1——共1種情況;

（2）前4項(xiàng)3個(gè)0，1個(gè)1，后4項(xiàng)1個(gè)O，3個(gè)1——共C23C13種情況;

（3）前4項(xiàng)2個(gè)O，2個(gè)1，后4項(xiàng)2個(gè)O，2個(gè)1——共2×2種情況。

所以，共有1+9+4=14（種）情況。

探究三、構(gòu)造路徑問(wèn)題，通過(guò)標(biāo)數(shù)法解題

解：在直角坐標(biāo)系下，若向右走1個(gè)單位代表o，向上走1個(gè)單位代表1，該題可轉(zhuǎn)化為在4×4方格y≤x的區(qū)域內(nèi)，從o點(diǎn)走到A點(diǎn)的最短路徑的條數(shù)。如圖4所示，給經(jīng)過(guò)的每一個(gè)格點(diǎn)（i，j）[數(shù)學(xué)上把在平面直角坐標(biāo)系中橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)（lattice point）或整點(diǎn)]標(biāo)數(shù)，數(shù)字為從O點(diǎn)到點(diǎn)（i，j）的最短路徑條數(shù)，除y=x上格點(diǎn)（i，i）標(biāo)的數(shù)字和格點(diǎn)（i，j-1）相同外，其余y

注：圖4中標(biāo)在y=x上格點(diǎn)的數(shù)字又稱為“卡特蘭數(shù)”。

進(jìn)一步歸納：

定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對(duì)任意k≤2m，a1a2，…，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)，則不同的“規(guī)范Ol數(shù)列”共有個(gè)。

作者單位：河北省邯鄲市第一中學(xué)

此文是河北省教育科學(xué)研究“十三五”規(guī)劃2018年度一般課題“高中數(shù)學(xué)‘變式訓(xùn)練’的策略探究”（課題編號(hào)：1804082）的階段性成果。