摘要：三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，本文研究一類不太常見的問題，即三角函數(shù)方程或方程組，并且未知數(shù)的個數(shù)多于所給方程的個數(shù)，如何挖掘題目中的隱藏條件是解決這類問題的關(guān)鍵，文中同時對某些問題進行了推廣。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù);方程;不等式

一般來說，一個方程一個未知數(shù)，兩個方程兩個未知數(shù)才能夠解出唯一解。但是我們在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中往往會發(fā)現(xiàn)一些反常的情況，比如一個方程兩個未知數(shù)能夠解出唯一解，又如兩個方程五個未知數(shù)能夠解出一個定比例關(guān)系。對于這種未知數(shù)個數(shù)多于方程個數(shù)的情況，下面我們就以三角方程為例進行分析。

一、一元二次三角方程

例1

解：將原式整理為

將其視為關(guān)于的一元二次方程，方程有解，則，故

評注：對于一元二次三角方程，一般情況下解是不確定的，只有特殊情況下才有定解。特殊情況主要有非負數(shù)之和為0，基本不等式取等號，一元二次方程判別式為O等。

二、二元一次三角方程組

例2 已知

解：兩式平方相加得推出

評注：這是人教版教材必修四P147的一道習(xí)題，它本質(zhì)上是四個方程四個未知數(shù)（考慮到，但用解方程的方法解出這四個未知數(shù)再計算cOs（α-β）將會非常煩瑣。

希爾伯特說過：“數(shù)學(xué)問題的寶藏是無窮無盡的，一個問題一旦解決，無數(shù)新的問題就會取而代之?！比绻覀兯伎几话愕膯栴}呢？

問題1：設(shè)當m，n∈R滿足什么條件時有解？

解：兩式平方相加得①

所以

解得②

兩式分別和差化積得

由萬能公式得

所以易知此不等式恒成立，所以原方程組有解的充要條件是0≤m2=n2≤4。

問題2：α，β的具體值能求出嗎？（有些同學(xué)對例1的方法始終難以接受，因為我們始終未把α，β求出來，下面我們就利用反三角函數(shù)把α，β表示出來）

解：由問題1中的①③兩式知

評注：兩式相加減即可解出α，β。當然，一般情況下α，β有無窮多組解。即使取k1=k2=0，考慮到方程組兩式各有正負性兩種選擇，此時α，β也有四組解。

三、多元一次三角方程組

例3 已知1，且求證：

解法一：兩式相減得和差化積得即所以則a=

代入原式得所以

解法二：已知兩點A（cosθ，sinθ），B（cosψ，sinψ）都在直線ax+by=c上，但點A，B又決定一條直線（cosθ-cosψ）（y-sinψ）-（sinθsinψ）（x-cosψ）.化簡得xCOS又因為兩點確定唯一一條直線，所以兩直線重合，故有對應(yīng)系數(shù)成比例，即

評析：本題只有兩個方程，而卻有a，b，c，θ，ψ五個未知數(shù)，解題時很容易陷入不知所措的境況。解法一觀察到兩式相減可以消去變量c，通過解出a，b的比例關(guān)系，代入原式尋找c的比例關(guān)系，逐層推進，是一個可行的方法。而解法二則更勝一籌，通過觀察方程的幾何意義，推導(dǎo)出本題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，免去了煩瑣的計算。

例4 已知O<α<β<γ<2π，且sinα+sinβ+sinγ=O，cosα+cosβ+cosγ=0。求β-α的值。

解法一：代數(shù)法。由條件得sinα+sinβ=-sinγ，cosα+cosβ=-cosγ，兩式平方相加得2+2cos（β-α）=1，則cos（β-α）=-1/2。因為O<α<β<γ<2π，所以同理可征則矛盾。故

解法二：向量法。后同解法一。

總結(jié)：解法二實際上證明了一個在單位圓上的三個點組成的△ABC滿足重心和外心重合于坐標原點，則△ABC、為正三角形，從而

綜合例3、例4我們可以看出，多元的三角方程問題如果就題論題，常常會一葉障目，不見泰山，導(dǎo)致計算過程相當煩瑣，很可能走彎路。如果從更高的觀點來看，找出題目的幾何意義或物理背景，往往能夠思路更清晰，計算更簡潔，取得事半功倍之效。

參考文獻：

[1]羅增儒，數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版總社.2016：10-1-105.

作者單位：華南師范大學(xué)附屬中學(xué)