蘇 玖

高考題 （2019年全國(guó)Ⅱ理科卷第23題）已知函數(shù)f（x）=|x-a|x+|x-2|（x-a）.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）＜0的解集；

（2）當(dāng)x∈ （-∞，1）時(shí)，f（x）＜0，求a的取值范圍.

點(diǎn)撥 本題是二次不等式與絕對(duì)值不等式的解法，考查了分類討論思想，題目難度不大.如果已知不等式解集中整數(shù)的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，于是有改編1.

改編1已知不等式|有三個(gè)整數(shù)解，求a的取值范圍.

點(diǎn)撥 本題先解絕對(duì)值不等式，然后再利用數(shù)形結(jié)合思想確定端點(diǎn)所滿足的條件.其實(shí)這類絕對(duì)值不等式兩邊平方就轉(zhuǎn)化為一元二次類型不等式，這也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，于是有改編2.

改編2集合｛x∈Z|x2-x-6≤0｝為（ ）

A.｛x|-2≤x≤3｝

B.｛x|-3≤x≤2｝

C.｛-2，-1，0，1，2，3｝

D.｛-3，-2，-1，0，1，2｝

點(diǎn)撥 這類問題常出現(xiàn)在高考卷或模擬卷中，題型常是選擇題.因此解一元二次不等式最基本的方法就是因式分解中的十字相乘法.如果將x替換為x2，則又可以有改編3.

改編3不等式x4-3x2+2＞0的解集為________.

點(diǎn)撥 本題是二次不等式中的雙二次，將x2作為整體求解二次不等式，然后再開方運(yùn)算.若將不等式中引入一個(gè)參數(shù)，再結(jié)合集合運(yùn)算，于是有改編4.

改編4已知集合A=｛x|x2-5x+4≥0｝，B=｛x|x2-2ax-3a2≤0｝，若A∪B=R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.

點(diǎn)撥 本題是含有參數(shù)的一元二次不等式，利用集合運(yùn)算判斷出集合B的區(qū)間端點(diǎn)與集合A的區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系，再建立關(guān)于a的不等式，求出a的取值范圍.如果二次不等式的值域?yàn)镽，于是又有改編5.

改編5已知二次不等式f（x）=ax2+bx+c≥0的解集為R，求的最小值.

點(diǎn)撥 由已知不等式解集為R可以判斷a＞0，同時(shí)得到判別式小于等于零，利用不等式性質(zhì)建立不等關(guān)系，從而利用減元思想將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，很容易求解.其實(shí)可以利用秒殺的方法求解，事實(shí)上判斷a＞0，而f（1）≥0，故所求式子的最小值為0.

詳細(xì)解析

●原●題 （1）（-∞，1）；（2）［1，+∞）.

當(dāng)a=0時(shí)，1＜x＜7，有5個(gè)整數(shù)解，不合適，舍去.

當(dāng)a＞0時(shí)，要使不等式有三個(gè)整數(shù)解，必有，

●改●編●2x2-x-6≤0等價(jià)于（x+2）（x-3）≤0，

所以-2≤x≤3，整數(shù)解為-2，-1，0，1，2，3，

故整數(shù)解集為｛-2，-1，0，1，2，3｝.故選C.

●改●編●3 因?yàn)閤4-3x2+2＞0，所以x2＞2或x2＜1，

●改●編●4A=（-∞，1］∪［4，+∞），集合B中的不等式等價(jià)于（x+a）（x-3a）≤0，不等式對(duì)應(yīng)兩個(gè)零點(diǎn)分別為-a和3a，因?yàn)锳∪B=R，所以-a≤1且3a≥4，或者3a≤1且-a≥4，所以a≤-4或.

●改●編●5 因?yàn)閍≠0，f（x）=ax2+bx+c≥0的解集為R，

所以a＞0，Δ=b2-4ac≤0，即b2≤4ac，.

Tips：

（1）解一元二次不等式的一般步驟：

①化為標(biāo)準(zhǔn)形式（二次項(xiàng)系數(shù)大于0）；②確定判別式Δ的符號(hào)；③若Δ≥0，則求出該不等式對(duì)應(yīng)的二次方程的根，若Δ＜0，則對(duì)應(yīng)的二次方程無根；④結(jié)合二次函數(shù)的圖象得出不等式的解集.

（2）解含參數(shù)的一元二次不等式，需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論：

① 二次項(xiàng)中若含有參數(shù)，應(yīng)討論是小于零、等于零，還是大于零，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式；

② 當(dāng)不等式對(duì)應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)不確定時(shí)，討論判別式Δ與零的關(guān)系；

③ 確定無根時(shí)可直接寫出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式.

牛刀小試

（2019年江蘇卷第21C題）設(shè)x∈R，解不等式|x|+|2x-1|＞2.

改編1：設(shè)函數(shù)f（x）=5-|x+a|-|x-2|.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥0的解集；

（2）若f（x）≤1，求a的取值范圍.

改編2：（2018年全國(guó)Ⅰ文科卷）已知f（x）=|x+1|-|ax-1|.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）＞1的解集；

（2）若x∈（0，1）時(shí)不等式f（x）＞x成立，求a的取值范圍.

改編3：（2017年全國(guó)Ⅰ理科卷）已知函數(shù)f（x）=-x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x-1|.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含［-1，1］，求a的取值范圍.

解題回顧

（1）在解決有關(guān)絕對(duì)值不等式的問題時(shí)，充分利用絕對(duì)值不等式的幾何意義解決問題能有效避免分類討論不全面的問題.若用零點(diǎn)分段法求解，要掌握分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏.

（2）絕對(duì)值不等式|a±b|≤|a|+|b|，從左到右是一個(gè)放大過程，從右到左是縮小過程，證明不等式可以直接用，也可利用它消去變量求最值.絕對(duì)值不等式是證明與絕對(duì)值有關(guān)的不等式的重要工具，但有時(shí)還需要通過適當(dāng)?shù)淖冃问蛊浞辖^對(duì)值不等式的條件.