摘 要：本文研究了時(shí)滯反饋控制的三八超混沌系統(tǒng)平衡點(diǎn)的Hopf分岔問題。首先分析了線性化系統(tǒng)特征方程純虛根的存在性，然后討論了平衡點(diǎn)發(fā)生Hopf分岔的橫截性條件，給出了系統(tǒng)平衡點(diǎn)失穩(wěn)發(fā)生Hopf分岔的時(shí)滯值，最后數(shù)值仿真證明了理論分析的正確性。

關(guān)鍵詞：三八超混沌系統(tǒng);時(shí)滯反饋控制;Hopf分岔

中圖分類號(hào)：O175

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

美國(guó)著名氣象學(xué)家Lorenz于1963年提出第一個(gè)三維連續(xù)混沌系統(tǒng)，稱之為L(zhǎng)orenz系統(tǒng)[1]，此后，大量的混沌系統(tǒng)相繼被提出，比較著名的連續(xù)混沌系統(tǒng)有Chen系統(tǒng)[1]、Lü系統(tǒng)[1]和Chua電路系統(tǒng)[2]，離散系統(tǒng)有Logistic映射[3]、Hénon映射[4]等。文獻(xiàn)[5]基于Lorenz混沌系統(tǒng)，利用增加狀態(tài)方程和反饋控制的方法，提出了一個(gè)新超混沌系統(tǒng)，由于其混沌吸引子形狀出現(xiàn)了數(shù)字“3”和“8”的樣式，為此將這個(gè)超混沌系統(tǒng)稱為“三八超混沌系統(tǒng)”。

混沌控制是混沌應(yīng)用的前提，比較著名的混沌控制方法有：參數(shù)微擾法[6]、時(shí)滯反饋控制法、自適應(yīng)控制法、滑模變結(jié)構(gòu)控制法等。時(shí)滯反饋控制法是一類重要的混沌控制方法，一方面時(shí)滯反饋控制法不需要知道精確的系統(tǒng)模型，這一點(diǎn)是參數(shù)微擾法方法無法比擬的;另一方面時(shí)滯現(xiàn)象在通信和生態(tài)系統(tǒng)中是普遍存在的[7]，例如通信過程中信號(hào)傳輸?shù)膿頂D阻塞，捕食者從出生到具有捕食能力，需要一定的成長(zhǎng)時(shí)間等。因此， 有必要研究時(shí)滯反饋控制混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。

許多學(xué)者在時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)方面做了大量工作。文獻(xiàn)[8]研究了Arneodo混沌動(dòng)力系統(tǒng)的時(shí)滯反饋控制，分析了系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及局部Hopf分岔的存在性。文獻(xiàn)[9]研究了時(shí)滯反饋控制Rssler系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性和Hopf分岔的存在性。文獻(xiàn)[10]研究了一類食餌具有階段結(jié)構(gòu)的時(shí)滯捕食系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性與Hopf分岔。然而這些研究考慮的是三維混沌系統(tǒng)的時(shí)滯反饋控制或時(shí)滯依賴分析。目前，對(duì)時(shí)滯反饋控制的四維超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究卻較少，同時(shí)超混沌系統(tǒng)是比混沌系統(tǒng)更加復(fù)雜的動(dòng)力系統(tǒng)，能夠產(chǎn)生更加復(fù)雜的時(shí)間序列，在保密通信與圖像加密領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價(jià)值。

基于以上考慮，本文對(duì)三八超混沌系統(tǒng)進(jìn)行了繼續(xù)研究，給出了時(shí)滯反饋控制的三八超混沌系統(tǒng)模型，分析了其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性以及平衡點(diǎn)失穩(wěn)時(shí)發(fā)生Hopf分岔的參數(shù)空間和時(shí)滯值。本文的研究可以看成是對(duì)文獻(xiàn)[8-10]研究成果的進(jìn)一步推廣，具有一定的理論價(jià)值。

1 三八超混沌系統(tǒng)

文獻(xiàn)[5]基于著名的三維Lorenz混沌系統(tǒng)，利用線性反饋方法，構(gòu)造了三八超混沌系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程為：

2 時(shí)滯反饋控制三八超混沌系統(tǒng)

由于時(shí)滯是信號(hào)傳輸中不可避免的通信現(xiàn)象，同時(shí)也是生態(tài)系統(tǒng)平衡性分析必須考慮的問題，因此對(duì)三八超混沌系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)滯反饋控制，形成如下時(shí)滯微分動(dòng)力系統(tǒng)：

3 數(shù)值仿真

為了研究系統(tǒng)（2）在平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性問題，檢驗(yàn)定理4的三個(gè)條件。數(shù)值仿真在滿足條件 （H1）中①的情況下進(jìn)行，對(duì)于條件 （H1）中②的情況與①的情況類似，這里不再贅述。

4 結(jié)論

本文對(duì)三八超混沌系統(tǒng)進(jìn)行了時(shí)滯反饋控制，被控的超混沌系統(tǒng)是一個(gè)泛函微分動(dòng)力系統(tǒng)，通過線性化系統(tǒng)的特征方程根的分布，分析了時(shí)滯值對(duì)系統(tǒng)平衡點(diǎn)的影響，給出了系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近發(fā)生Hopf分岔的參數(shù)和時(shí)滯條件。本文的研究成果可以看作是對(duì)被控三維混沌系統(tǒng)研究的進(jìn)一步延伸，具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯：于慧梅）