霍志敏 李雪飛 聶慶微 張玲玲 王榮華

摘? 要：產權體是三維地籍的登記客體，其模型是三維地籍登記的基礎。帶洞產權體是一種幾何形狀比較特殊的體，在建模過程中存在一定困難，是三維地籍建模必須解決的一個問題。文章給出了三維帶洞產權體的分類，在此基礎上，提出了一種三維空間數(shù)據(jù)模型和基于“拉伸”式的三維帶洞產權體重建方法。利用該方法，在已有的2D圖形基礎上，可快速重建三維帶洞產權體，為三維空間權的管理和利用提供了理論借鑒和技術支持。

關鍵詞：三維地籍;產權體;拉伸;三維重建

中圖分類號：P208? ? ? ? ?文獻標志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2095-2945（2020）26-0017-04

Abstract： The property right body is the registration object of three-dimensional cadastre， and its model is the basis of 3D cadastral registration. The property right with cavities is a kind of body with special geometric shapes， and there are some difficulties in the process of modeling， which is a problem that must be solved in 3D cadastral modeling. In this paper， the classification of three-dimensional property rights with cavities is given. On this basis， a three-dimensional spatial data model and a reconstruction method of 3D property rights with cavities based on "stretching" are proposed. Using this method， the 3D property right with cavities can be quickly reconstructed on the basis of the existing 2D graphics， which provides theoretical reference and technical support for the management and utilization of 3D space rights.

Keywords： 3D cadastral; property right body; stretching; 3D reconstruction

人口的劇增和土地資源的日益稀缺促使城市土地利用不斷向立體空間延伸[1]，導致了不同的產權單元在空間上相互疊加，形成了復雜的產權簇或產權層。特別是不斷出現(xiàn)的新型建筑，如空中跨街建筑、錯層住宅等，使得傳統(tǒng)的二維地籍圖和分層分戶圖難以準確表達產權單元的空間權屬范圍[2]。實踐中，因空間權屬范圍不明確引起的糾紛日漸突出[2]。清晰、準確地界定各類產權單元在三維空間中的權屬范圍已成為權屬管理部門亟需解決的問題[3]。

近幾年來，郭仁忠[3-5]Stoter[6-8]等提出引入三維地籍來解決上述問題，即以具有明確三維權屬邊界的產權體為登記對象來管理立體權利。產權體是三維地籍中最小的單元，相當于二維地籍中的宗地，通常采用多面體表達[6]。以產權體的形式登記可以準確記錄產權單元的空間權屬范圍，為空間確權提供了有效方法。然而，城市中產權體的數(shù)量巨大，如何快速、經(jīng)濟對其重建是實現(xiàn)三維產權精細管理的關鍵。而現(xiàn)實世界中的產權體多為規(guī)則體，并有對應的二維圖形數(shù)據(jù)（樓層平面圖、宗地圖等）和高度信息，可采用“拉伸”二維圖形的方式重建產權體的三維模型，即以二維圖形為底面，按照給定高度，自下向上“拉伸”生成體模型。

目前，Ledoux研究了基于“拉伸”式的拓撲一致性重建，并通過引入“節(jié)點柱”來解決鄰接建筑物不等高以及圖形拓撲弱連接的問題。賀彪[1]研究了異構建筑物的拓撲重建，提出異構條件下橫向拓撲的構建算法。然而，這些研究所基于的二維圖形都不帶洞?，F(xiàn)實世界中，洞是較普遍存在的現(xiàn)象，如包含天井的建筑、電梯間、房間中的柱子等。因此，洞的重建問題不能忽視。本文將以二維圖形為基礎，研究基于“拉伸”式的帶洞產權體拓撲重建。

1 分析

1.1 洞的數(shù)學描述

從拓撲學的角度來講，曲面上的洞被稱為“環(huán)柄”（handles），面的“環(huán)柄”數(shù)稱為虧格（Genus）。虧格數(shù)是拓撲變換下的一個拓撲不變量。如果一個曲面具有圖（graph）結構

1.2 二維帶洞多邊形限定

帶洞二維多邊形類型有多種，涉及內外邊界相接、洞中帶島等多種奇異情況。這些奇異型雖然在幾何上有意義，但在GIS中并不一定合法。倘若以非法的二維圖形作為“拉伸”數(shù)據(jù)源，則生成的三維產權體也是奇異非法的。因此，需要對“拉伸”所使用的帶洞多邊形進行限定。具體限定如下：

（1）帶洞多邊形的內外邊界、外外邊界、內內邊界應分離，不允許存在強連接（邊邊相接）、弱連接（邊點相接）或刺出。圖1（a）給出上述情況的示例，其中洞①與外邊界之間為強連接，洞②與外邊界之間為弱連接，③為外外邊界強連接，④為外外邊界弱連接，洞②⑤⑥間為內邊界的弱連接，洞①⑤間為內邊界的強連接，⑦為內邊界刺出外邊界。（2）帶洞多邊形的洞內不允許有島（圖1（b）中①），亦不允許島與洞以強連接（圖1（b）中②）或弱連接（圖1（b）中③）的方式存在。（3）帶洞多邊形內部應為連通區(qū)域，即多邊形內外邊界圍成的區(qū)域為一整塊，圖1（c）是個反例，其內部不連通，表達該圖形需要兩個多邊形。

1.3 三維帶洞體分類

采用“拉伸”方式重建產權體的方法有兩種：一種是先將二維圖形離散化，再拉伸生成三維體（圖2（a））。該方法的實質是去洞化，通過連接帶洞多邊形的內外邊界，將其分解為多個無洞多邊形后，再進行“拉伸”?！袄臁焙笊傻娜S體（圖2（a））是由多個同胚于球面的曲面（拓撲術語，指由平面片圍成的封閉面集）粘合而成，而非一個曲面。這導致了本應完整的體被分解為多個體，使得體的表達不唯一，出現(xiàn)一個產權體對應多個幾何體的情況。另一種方法是直接“拉伸”二維圖形生成三維體，“拉伸”后生成的體是一個封閉曲面，如圖2（b）所示。依據(jù)“拉伸”過程體與洞是否等高，還可細分為等高式“拉伸”和非等高式“拉伸”;前者為體與洞“拉伸”高度相同（圖2（b）），后者為體與洞“拉伸”高度不同（圖2（c））。另外，前者的頂面為一個平面，后者的頂面則是由多個平面構成。雖然二者在幾何上存在差異，但在拓撲上是等價的，二者都同胚于環(huán)面，具有相同的虧格G=1和歐拉示性數(shù)N=0。受被“拉伸”二維圖形形狀的影響（如構成內外邊界的邊數(shù)不等），非等高式“拉伸”生成體的頂面幾何形狀可能不唯一，如圖2（d）外邊界有6條邊，內邊界有4條邊，由這些邊生成頂面存在多種形式。再如圖2（e）（f），頂面的構建更加復雜，需要人工干預。本文旨在設計三維拓撲的自動構建算法，因此，僅考慮了帶洞多邊形的等高式“拉伸”。

2 空間數(shù)據(jù)模型

2.1 二維空間數(shù)據(jù)模型

“拉伸”所使用二維數(shù)據(jù)采用拓撲數(shù)據(jù)模型組織，涉及四種拓撲元素：節(jié)點（Node）、邊（Edge）、邊環(huán)（Edge_loop）和面（Face）。具體描述如下：

（1）節(jié)點為拓撲構造的最低維基元，由x，y坐標構成;節(jié)點同時被兩條或兩條以上的邊共享。（2）邊為由兩個節(jié)點限定的有向直線段，由起點指向終點。邊同時被一個或兩個邊環(huán)共享。（3）邊環(huán)是由邊按照一定次序和方向組成的閉合環(huán)。若邊的方向與邊環(huán)的方向相反，則在該邊的標號前添加負號，以示該邊方向與邊環(huán)方向相反。邊環(huán)上的所有邊共平面。如圖3左圖，el1={e1，-e4，-e2，e3}，el2={-e5，e6，-e7，e8}。（4）面是由一個或多個邊環(huán)圍成的平面。其中第一個邊環(huán)定義了面片外邊界，其它定義了面片的內邊界（洞）;面片同樣具有方向性，其方向由邊環(huán)方向決定。如圖3左圖，f1={el1，el2}。

2.2 三維空間數(shù)據(jù)模型

對于“拉伸”生成的三維數(shù)據(jù)采用六種拓撲元素表達：節(jié)點（Node）、邊（Edge）、邊環(huán)（Edge_loop）、面片（Face）、面環(huán)（Face_loop）和多面體（Polyhedron）。其中，前四種是上述二維拓撲元素在三維的推廣，除節(jié)點增加了z分量外，在拓撲構建上相同，都是采用了節(jié)點-邊-邊環(huán)-面這種拓撲遞進的方式。對于面環(huán)和多面體的描述如下：

（1）面環(huán)是由多個面片形成的殼，并且構成面環(huán)的各個面片具有相同的方向。如面片方向與整個面環(huán)方向相反，則在該面片的標號前添加負號，以示該面片定向與面環(huán)定向相反。如圖3右圖， Face_loop1={f1，f2，f3，f4，f5，f6}，F(xiàn)ace_loop2={f7，f8，f9，f10}。（2）多面體由一個或多個面環(huán)構成。其中第一個面環(huán)定義了多面體的外邊界，其它定義了多面體內邊界（洞）。如圖3右圖， Polyhedron1={ Face_loop1，F(xiàn)ace_loop2}。

3 基于“拉伸”式的三維帶洞產權體重建算法

基于“拉伸”式的產權體拓撲重建涉及三類信息：底面、立（墻）面和頂面。由于單樓層型和多樓層型產權體的重建方法存在差異，本文將對它們分開討論。

3.1 單樓層型帶洞產權體的重建算法

對于體洞等高的產權體而言，雖然底面與頂面的高度不同，但二者結構卻相同。在生成頂面時，只要復制底面數(shù)據(jù)與拓撲關系，并將頂點坐標中的z分量值替換為頂面的高度即可。因此，頂面的構建比較簡單，關鍵是立面的構建。立面的構建分兩步：第一步是將底面上的節(jié)點“拉伸”為垂直邊。由于“拉伸”是垂直的，對于底面的任意節(jié)點而言，不妨設為A（x，y，z），忽略z坐標，在頂面中搜索離點（x，y）最近的節(jié)點，理論上應該是坐標等于（x，y），但由于計算機浮點精度問題，可能有少許偏差，因此找到的最近點A'即是A的對應點;以A為起點A'為終點生成垂直邊EAA'（圖3右圖）。對底面中的所有節(jié)點均做上述處理，產生垂直邊集。第二步是將底面上的邊“拉伸”為立面。以底面任意一條邊為起始，不妨設為EAB（下標的第一個字母表示起點，第二字母表示終點，下同），查找與該邊相關聯(lián)的垂直邊。可通過構成該邊的節(jié)點進行查找，如查找與節(jié)點A、B關聯(lián)的邊EAA， EBB，進而查找到EAB，獲得構成立面的邊集{EAB，EAA，EBB，EAB}。對邊集中的邊排序，獲取立面F=（ EAB，EBB，-EAB，-EAA）。對底面中的所有邊均做上述處理，產生垂直面集。通過上述“拉伸“算法，產生的是NEF（Node-Edge-Face）拓撲模型。

3.2 多樓層型帶洞產權體的重建算法

對于多樓層型產權體而言，由于上下層結構可能不同，不能使用單樓層型算法進行“拉伸”。例如，圖4第二列為某建筑物中三個樓層的二維結構圖，若采用單樓層型“拉伸”算法對三個樓層重建，將生成圖4第一列所示的體。由于上下層結構不同，使得重建后下層（如第n層）頂面與上層底面（如第n+1層）不同，導致上下層拓撲無法接合，影響了整個建筑物的拓撲構建。因此，多樓層型產權體重建不僅要考慮被“拉伸”層的結構，還要考慮其相鄰層的結構。為此，我們將多樓層產權體拓撲重建所需信息分為兩種：粘合面圖和結構圖。

3.2.1 基于粘合面圖的縱向拓撲構建

粘合面顧名思義是將上下兩層“粘合”起來。粘合面圖用于生成上下層間的粘合面，以實現(xiàn)層間縱向拓撲的構建。為粘合上下層，粘合面圖應同時具備上下層的結構特征，這就要求粘合面圖應融合上下層結構。為達到該目的，采用以下步驟：

（1）樓層圖疊加。將上下層結構圖疊加，疊加后的圖同時具有了上下層的結構。（2）疊加圖求并。求并（例如ArcGIS中的Union功能）是以疊加后的邊界為基礎，“打碎”原始結構圖，刪除重復拓撲基元，打斷相交拓撲基元，構建新基元，實現(xiàn)兩層結構融合，生成粘合面圖。圖4中的上、下粘合面（第3列的上下兩圖）為疊加求交后的示例。（3）空洞“實面”化。在疊加求并過程中，洞不能再被當作一塊空區(qū)域，而是被當作一個真正的面參與求并。如圖4，求并前，f1為帶洞多邊形，包含一塊空區(qū)域h1（洞），f3與之類似;生成了面f5，f6和f7。其中，f5的邊界與f1的邊界相同;f6的外邊界為f5（或f1）的內邊界，內邊界為f7的邊界;f7由h2的邊界構成。再如，E1所在面與f4疊加后，生成f8、f9、f10與f11;“拉伸”后，f4生成體的上粘合面為f8與f10;f2生成體的下粘合面則為f8與f9?？梢?，同一個粘合面在不同樓層拓撲構建中所使用部分不同。經(jīng)該過程，洞被轉化為實面參與后期的拓撲重建。（4）重建拓撲。通過鄰接拓撲基元共享低維拓撲基元的方式（如兩個鄰接面共享一條公共邊），構建節(jié)點-邊-面這種層次化遞進拓撲關系。

3.2.2 基于結構圖的橫向拓撲構建

結構圖用于生成產權體的立面（墻），以實現(xiàn)同一層產權體間橫向拓撲構建。結構圖決定了哪些位置有立面，哪些立面圍成一戶。在重建第n層時，其結構圖即為該層的樓層平面圖。結構圖的“拉伸”過程如下：

（1）節(jié)點生成垂直邊。在已構建的上、下粘合面中查找與待“拉伸”節(jié)點對應的節(jié)點，生成垂直邊;查找方法與單樓層型相同。例如，圖4第二列第n層結構圖上的節(jié)點N1在上、下粘合面中查找到的對應節(jié)點為N1和N1，故N1“拉伸”生成的垂直邊為EN1 N1。（2）邊生成立面。對于結構圖中的一條邊，在上、下粘合面中查找對應的邊集。結構圖中的一條邊對應著上粘合面或下粘合面中的一條或多條邊。例如，圖4第二列第n層結構圖上的邊EN1N2的節(jié)點在上粘合面中對應的節(jié)點為N1和N2。在確定對應節(jié)點基礎上，檢查上粘合面圖中N1和N2是否構成一條邊;如果是，邊EN1 N2為對應邊;否則，查找上粘合面中到邊EN1 N2的距離小于給定閾值的節(jié)點;同樣忽略z坐標，是普通的平面算法。小于這個閾值時，就認為該點在邊上。所有由這些節(jié)點加上N1和N2構成的邊即為對應的邊集。如圖4中節(jié)點M便落在邊EN1 N2上。上粘合面中所有落在邊EN1 N2上的節(jié)點與N1和N2構成的邊即為對應的邊集{EN1 M，，EM N2}。同理獲得邊EN1N2在下粘合面中對應的邊集{EN1 P，，EP N2}。對查找到的邊集與上一步中生成的垂直邊一起排序，生成立面F=（EN1 N1，EN1 M，EM N2，- EN2N2 ，-EN2P，-EP N1）。通過上述“拉伸”算法，生成了整個樓層乃至整棟建筑物的垂直立面集，獲取了與單樓層型相似的NEF（Node-Edge-Face）拓撲模型，需要在離散面中自動尋體。（3）面生成體。對于結構圖中的每一個面（多邊形），首先在上、下粘合面圖中找出其對應的面片集。過程如下：求取結構圖面片中所有邊的對應邊，圈定結構圖面片在上、下粘合面圖中的范圍。如果這些對應邊剛好圍成一個面片，那么此面片即為對應面片。否則，依次判斷上粘合面圖或下粘合面圖中的所有面片，挑選出那些落在圈定范圍內的面片，這些面片構成了對應的面片集。如圖4中的面片f2在上粘合面圖中對應面片f3和f4。同樣這個判斷也是基于x，y坐標進行的，是一個普通的平面多邊形與多邊形關系的判斷。由上、下粘合面圖中相對應的面片集形成體的上、下面。體的側面則由構成結構圖中面片的邊所生成的面片來構造。如圖4中的邊EN1N2為構成面片f2的一條邊，那么由該邊生成的面片就是由面片f2生成的體的一個側面。

4 結束語

三維地籍是面向空間權管理的地籍，其登記客體是一個三維的幾何體。與二維圖形相比，三維圖形更加復雜，其幾何、拓撲維護也更加困難。三維帶洞體作為一種特殊的體在三維地籍建設過程中不可回避，它在表達上比不帶洞的體更加困難。為了解決該類體的建模，本文提出了“拉伸”式的三維帶洞產權體的重建方法。這種方法主要面對規(guī)則的產權體，即立面垂直、底面水平的體，這種體也是三維地籍管理的絕大多數(shù)類型。在下一步的工作中，我們將開發(fā)具體的算法來實現(xiàn)產權體的重建。

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