徐 航，何元春，吳耀庭，施 軍，謝桂平，趙新宇

（1.中原工學院 a機電學院；b計算機學院，鄭州 450007；2.寧波夏廈齒輪有限公司，浙江寧波 315202）

精密減速器具有傳動精度高、效率高、傳動比大、剛度大、體積小等優(yōu)點，被廣泛應用于工業(yè)機器人等領域［1-2］。工業(yè)機器人應用減速器主要有RV減速器、諧波減速器和行星減速器。精密減速器的性能對工業(yè)機器人的性能有直接影響。工業(yè)機器人的主要技術參數(shù)包括幾何參數(shù)、運動學特性、負載特性、精度特性和重復性等。其中，幾何參數(shù)如工作空間等特征是通過機器人的關節(jié)參數(shù)來表征的；加速、位置穩(wěn)定時間等運動學特性則取決于精密減速器的背隙、扭轉(zhuǎn)剛度和轉(zhuǎn)矩密度；負載特性由精密減速器的扭轉(zhuǎn)剛度、力矩負載和轉(zhuǎn)矩密度決定；精度、重復性與精密減速器的精度、可重復性直接相關［3］。

精密減速器的非線性摩擦特性是造成工業(yè)機器人遲滯特性的重要原因。國標GB/T 35089—2018將空載摩擦轉(zhuǎn)矩作為精密減速器的重要性能指標，通常需在出廠前進行測量評定，它是指在空載穩(wěn)定轉(zhuǎn)速下精密減速器的摩擦轉(zhuǎn)矩［4］。目前，工業(yè)領域通常在空載狀態(tài)下從輸入端啟動精密減速器，在不同轉(zhuǎn)速下采集輸入轉(zhuǎn)矩及轉(zhuǎn)速，繪制轉(zhuǎn)矩 轉(zhuǎn)速曲線，獲得精密減速器的空載摩擦轉(zhuǎn)矩特性，見式（1）。

式中：T為空載摩擦轉(zhuǎn)矩；ω為轉(zhuǎn)速；c為常數(shù)。

部分學者從測量和控制的角度出發(fā)，研究了精密減速器的摩擦特性。呂明帥［5］分析了RV減速器的摩擦特性，建立了靜摩擦力+Coulomb+Strick+Stribeck摩擦模型；黑沫［6］分別基于 Stribeck靜態(tài)摩擦模型和LuGre動態(tài)摩擦模型，研究了諧波減速器的摩擦特性；Prasanna等［7］基于LuGre動態(tài)摩擦模型研究了諧波減速器的摩擦特性及控制策略。大量實踐表明：從低速到高速的整個過程，精密減速器的空載摩擦轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)速并不是線性關系，而是呈現(xiàn)出典型的Stribeck效應。因此有必要對精密減速器的空載摩擦轉(zhuǎn)矩進行深入分析和測量。

本文中對精密減速器的空載摩擦特性與模型進行分析，介紹了空載摩擦轉(zhuǎn)矩的測量原理，并進行從低速到高速的測量實驗，為精密減速器的空載摩擦轉(zhuǎn)矩性能測量與評價提供參考依據(jù)。

1 精密減速器的空載摩擦性能分析與建模

1.1 精密減速器的空載摩擦性能分析

采用油脂潤滑的精密減速器，其摩擦特性呈現(xiàn)出典型的Stribeck效應，即摩擦轉(zhuǎn)矩在低速階段隨轉(zhuǎn)速的增加而減小，當大于一定的轉(zhuǎn)速時，摩擦轉(zhuǎn)矩隨轉(zhuǎn)速的增加而增加［8-9］，如圖 1［10］所示。

根據(jù)Stribeck摩擦理論，為了描述精密減速器在低速階段的Stribeck現(xiàn)象，將精密減速器的摩擦特性分為以下4個階段：

1）靜摩擦階段：在驅(qū)動力矩未達到最大靜摩擦力矩之前，精密減速器尚未轉(zhuǎn)動，摩擦轉(zhuǎn)矩主要由彈性變形所產(chǎn)生。

2）邊界潤滑階段：精密減速器嚙合副之間的潤滑膜尚未建立，仍為固體到固體接觸。

3）流體潤滑階段：接觸表面間形成液體薄膜，但接觸面未被潤滑劑完全分開，仍有區(qū)域為固體接觸［2，11-12］。

4）全流體潤滑階段：物體間的液體薄膜完全形成，沒有固體接觸的區(qū)域，摩擦轉(zhuǎn)矩主要取決于速度和潤滑劑的黏性系數(shù)，摩擦轉(zhuǎn)矩隨轉(zhuǎn)速的增加而增加［2，11-12］。

1.2空載摩擦轉(zhuǎn)矩 轉(zhuǎn)速曲線模型

目前，國內(nèi)外的學者通常采用Tustin模型、Gaussian模型、Lorentzian模型來描述 Stribeck效應［10，13］，如式（2）～（4）所示。

Tustin模型：

其中：Tf（ω）為摩擦轉(zhuǎn)矩；Tc為庫倫摩擦轉(zhuǎn)矩；Ts為靜摩擦轉(zhuǎn)矩；ωs為Stribeck轉(zhuǎn)速；B為黏滯摩擦因數(shù)；sign（ω）為符號函數(shù)。

以上3個模型均為靜摩擦模型，其中Stribeck轉(zhuǎn)速ωs可用于描述Stribeck曲線的形狀?；诳蛰d摩擦轉(zhuǎn)矩的實際測量數(shù)據(jù)，采用合理的數(shù)據(jù)擬合方法可以獲得精密減速器精確的空載摩擦轉(zhuǎn)矩—轉(zhuǎn)速曲線。

當需要對精密減速器的摩擦特性進行精確控制時，由于 Tustin模型、Gaussian模型、Lorentzian模型均為非線性模型，存在參數(shù)識別困難等問題，因此工業(yè)領域通常基于雙直線模型進行控制，即將低速階段、高速階段的摩擦轉(zhuǎn)矩 轉(zhuǎn)速曲線分別做線性化處理，如圖2所示。其中T1、T2的表達式見式（5）。

2 測量原理

在精密減速器綜合性能測量儀上測量精密減速器的空載摩擦轉(zhuǎn)矩時，其測量原理如圖3所示。精密減速器的輸入端由伺服電機驅(qū)動，并控制其工作在速度模式下，保證測量時轉(zhuǎn)速穩(wěn)定、輸出端空載。

在精密減速器運轉(zhuǎn)平穩(wěn)時，其空載摩擦轉(zhuǎn)矩等價于精密減速器的輸入轉(zhuǎn)矩，如式（6）。精密減速器輸入端的轉(zhuǎn)矩通過輸入端扭轉(zhuǎn)傳感器測量獲得。

其中：Tf為精密減速器的空載摩擦轉(zhuǎn)矩；Tin為輸入端轉(zhuǎn)矩。

由于精密減速器不同嚙合位置處的受力不同，導致精密減速器不同嚙合位置的摩擦轉(zhuǎn)矩不同，在輸出端一轉(zhuǎn)范圍內(nèi)，摩擦轉(zhuǎn)矩呈周期性變化。對精密減速器輸出端一轉(zhuǎn)范圍的扭矩信號進行均值濾波處理，即取扭矩的均值作為該轉(zhuǎn)速下的摩擦轉(zhuǎn)矩［14］，獲得摩擦轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)速的一一對應關系，見式（7）。

3 實驗分析

基于精密減速器綜合性能測量儀（圖 4）［2，15］，對某型號的RV減速器進行空載摩擦轉(zhuǎn)矩測量實驗。被測RV減速器的傳動比為121，額定扭矩為784 N·m，額定轉(zhuǎn)速為15 r/min。

3.1 空載摩擦轉(zhuǎn)矩測量

在設定工況（設定轉(zhuǎn)速、空載）下，由于不同嚙合位置處精密減速器的受力不同，導致在輸出端一轉(zhuǎn)范圍內(nèi)摩擦轉(zhuǎn)矩呈周期性變化。例如在輸出端轉(zhuǎn)速為2.094 ras/s時，測得輸入端轉(zhuǎn)矩如圖5所示，表現(xiàn)出摩擦轉(zhuǎn)矩隨嚙合位置的變化而變化。根據(jù)式（7），由計算可得該測量轉(zhuǎn)速下的RV減速器的空載摩擦轉(zhuǎn)矩為0.208 8 N·m。

3.2空載摩擦轉(zhuǎn)矩—轉(zhuǎn)速曲線

為了準確獲得精密減速器的Stribeck摩擦效應，分別進行低速到高速的摩擦轉(zhuǎn)矩測量實驗。在低速階段，測量間隔設置較小，高速階段測量間隔可適當增大。測量獲得的RV減速器的摩擦轉(zhuǎn)矩—轉(zhuǎn)速如圖6所示。

基于Tustin模型，采用最小二乘法進行曲線擬合，獲得所測RV減速器的空載摩擦轉(zhuǎn)矩—轉(zhuǎn)速曲線如圖7所示。擬合獲得模型的各項參數(shù)如表1、2所示。

表1 RV減速器的正向擬合參數(shù)（Tustin模型）

表2 RV減速器的反向擬合參數(shù)（Tustin模型）

基于Gaussian模型，采用最小二乘法進行曲線擬合，獲得所測RV 減速器的空載摩擦轉(zhuǎn)矩—轉(zhuǎn)速曲線如圖8所示，擬合獲得模型的各項參數(shù)如表3、4所示。

表3 RV減速器的正向擬合參數(shù)（Gaussian模型）

表4 RV減速器的反向擬合參數(shù)（Gaussian模型）

基于Lorentzian模型，采用最小二乘法進行曲線擬合，獲得所測RV 減速器的空載摩擦轉(zhuǎn)矩—轉(zhuǎn)速曲線如圖9所示。擬合獲得模型的各項參數(shù)如表5、6所示。

表5 RV減速器的正向擬合參數(shù)（Lorentzian模型）

表6 RV減速器的反向擬合參數(shù)（Lorentzian模型）

3.3 擬合效果對比

對比Tustin模型、Gaussian模型和Lorentzian模型的擬合結(jié)果，可以看出3個模型的校正決定系數(shù)（Adj.R-Square）均接近1，均達到理想的擬合效果。

3個模型中，Lorentzian模型正反向的擬合參數(shù) SSE、RMSE均最小，R-square、Adjusted R-square均最大，說明Lorentzian模型的擬合效果最佳，更適合精密減速器空載摩擦性能分析。

4 結(jié)論

1）精密減速器的空載摩擦轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)速呈現(xiàn)出典型的Stribeck效應，在低速階段摩擦轉(zhuǎn)矩隨轉(zhuǎn)速的增加而減??；在高速階段，摩擦轉(zhuǎn)矩隨轉(zhuǎn)速的增加而增加。

2）Lorentzian模型可以精確描述精密減速器的Stribeck效應，具有理想的擬合效果。