楊 明 夏雨帆

(中交第二公路勘察設(shè)計(jì)研究院有限公司 武漢 430063)

隨著恐怖襲擊和偶發(fā)爆炸事故造成的橋梁爆炸事故不斷增加，橋梁結(jié)構(gòu)抗爆安全問題越來越受到關(guān)注。然而現(xiàn)有橋梁在設(shè)計(jì)過程中很少考慮橋梁的抗爆安全性，也無橋梁抗爆方面的相關(guān)規(guī)范要求[1]。為此，國內(nèi)外學(xué)者開展了大量研究，并取得了一定成果：上世紀(jì)40年代，美國安全委員會(huì)出版了《美國陸軍安全技術(shù)手冊TM5-855-1》[2]；Williamson[3-5]等對鋼筋混凝土橋墩進(jìn)行抗爆模型試驗(yàn)和有限元模擬，提出了公路橋梁橋墩抗爆構(gòu)造要求；國內(nèi)吳亮等[6]對近場爆炸時(shí)RC(鋼筋混凝土)墩柱的動(dòng)力響應(yīng)開展了參數(shù)化研究；李國強(qiáng)等[7]進(jìn)行了民用建筑的抗爆分析，并提出相應(yīng)的設(shè)計(jì)規(guī)范。上述有限元模擬或者試驗(yàn)研究，對爆炸荷載作用下鋼筋混凝土(reinforce concrete,RC)墩柱的動(dòng)力響應(yīng)分析具有重要意義，但由于有限元模型建立和試驗(yàn)?zāi)Ｐ驮O(shè)計(jì)的復(fù)雜性和與局限性，在橋梁抗爆設(shè)計(jì)中并不實(shí)用，只能作為驗(yàn)證手段。因此，本文提出了一種快速、精確計(jì)算結(jié)構(gòu)在爆炸沖擊荷載作用下最大反應(yīng)的方法。

1 理論分析

爆炸荷載是一種荷載作用大、持續(xù)時(shí)間極短的沖擊荷載，結(jié)構(gòu)承受爆炸荷載與承受周期性荷載或諧振荷載相比，阻尼對控制結(jié)構(gòu)的最大反應(yīng)顯得不太重要[8]。所以在研究柱體結(jié)構(gòu)的抗爆分析時(shí)，可不考慮阻尼的影響。

1.1 運(yùn)動(dòng)偏微分方程

RC柱在爆炸荷載作用下的受力示意見圖1。

圖1 承受動(dòng)力荷載的墩柱受力示意

綜合微段水平方向的動(dòng)力平衡關(guān)系式和微端下端的彎矩平衡方程，以及彎矩和曲率之間的關(guān)系式，可導(dǎo)出RC柱在爆炸荷載下的運(yùn)動(dòng)偏微分方程，如式(1)。

(1)

式中：m(z)為柱體的線質(zhì)量；N(z)為作用在截面上的軸力；v(z,t)為平行于截面上的橫向力；EI(z)為墩柱的截面抗彎慣性矩；p(z,t)為作用在柱體上的爆炸荷載。

墩柱是橋梁結(jié)構(gòu)中的關(guān)鍵承重構(gòu)件，其完整性對橋梁的安全與運(yùn)營有直接影響。在設(shè)計(jì)中，墩柱豎向承載力通常能滿足甚至遠(yuǎn)大于實(shí)際需求，在實(shí)際情況中，墩柱更多是被“搖倒”而很少被壓潰，軸向力的存在可以提高墩柱的抗彎能力，所以研究墩柱在橫向爆炸沖擊荷載作用下[9]的最大反應(yīng)時(shí)偏安全地不考慮軸向力的作用，在考慮墩柱截面性質(zhì)不變的情況下，m(z)、EI(z)取為定值m、EI。則式(1)可以化簡為式(2)形式。

(2)

1.2 等效單自由度體系

實(shí)際上RC墩柱都是連續(xù)分布體系，位移形式有無數(shù)多種，所以上述求得的RC墩柱的運(yùn)動(dòng)偏微分方程有無數(shù)多個(gè)解，每個(gè)解對應(yīng)1種振型。求解每個(gè)振型的精確解較困難，而且很不經(jīng)濟(jì)。在許多工程實(shí)際問題中，設(shè)計(jì)師們并不需要求解出結(jié)構(gòu)的所有振型，而只較為關(guān)心結(jié)構(gòu)前幾階較低的自振頻率。特別是在沖擊荷載作用下，墩柱迅速達(dá)到最大反應(yīng)，一般只需考慮其第一階振型。因此，將連續(xù)分布體系簡化成單自由度計(jì)算較低頻率就顯得很有意義了。等效單自由度體系只允許墩柱有單一的變形形式，并使得到的結(jié)果與真實(shí)值差別不大，與該自由度關(guān)聯(lián)的質(zhì)量、剛度、荷載稱為等效質(zhì)量Me、等效剛度Ke、等效荷載Pe。將體系轉(zhuǎn)化為等效單自由度體系后，其分析方法與單自由度體系完全一樣。

根據(jù)伽遼金原理可以求解式(2)得式(3)。

(3)

式中：φ(z)、p(z)為動(dòng)荷載沿跨度變化及隨時(shí)間變化的特征函數(shù)；w(z)為假定的撓度分布形式也稱形函數(shù)；函數(shù)v(t)為描述結(jié)構(gòu)位移隨時(shí)間的變化規(guī)律的動(dòng)力函數(shù)。

則式(3)可簡化為

(4)

式(4)是關(guān)于單個(gè)正則坐標(biāo)v(t)常微分方程，它與單自由度體系強(qiáng)迫振動(dòng)的常微分方程完全相似。

對于爆炸沖擊荷載，式(4)的解為

(5)

式中:τ為爆炸荷載作用到柱體表面的時(shí)間；Ie為等效荷載沖量，ωe為自振角頻率。

(6)

(7)

最終可以得到動(dòng)力位移表達(dá)式，如式(8)。

y(z,t)=w(z)v(t)=

(8)

等效單自由度計(jì)算流程圖見圖2。

圖2 等效單自由度計(jì)算流程圖

2 固端柱的計(jì)算

柱體在爆炸荷載作用下必然產(chǎn)生一定程度的破壞，只允許柱體發(fā)生彈性變形很不經(jīng)濟(jì)；在實(shí)際工程中，柱體在爆炸荷載作用下發(fā)生一定的塑性變形，但不影響結(jié)構(gòu)的正常使用，或者經(jīng)修復(fù)后可以正常使用，對工程師來講，都是可以接受的。這里以兩端固接、等截面RC柱為例，研究柱體在均布爆炸荷載下的最大塑性變形。固端柱的工作特點(diǎn)是在支座和中部截面處均有可能出現(xiàn)塑性鉸，而且出現(xiàn)的時(shí)間一般不同，其先后次序取決于支座截面與中部截面剛度的比值。在正常配筋條件下，一般先在支座處形成塑性鉸，然后在柱體中部出現(xiàn)塑性鉸[10]。固端柱在爆炸荷載作用下的變形過程示意見圖3。

圖3 固端柱在爆炸荷載作用下的變形過程示意

2.1 彈性階段的計(jì)算

p(z,t)沿跨度均勻分布，則式(3)中φ(z)=1，根據(jù)固端柱的邊界條件z=0和z=l處，y=0和y′=0可得

(9)

式中：τ為爆炸荷載到達(dá)柱體表面的時(shí)間；ω1為彈性階段一階振型的自振角頻率，計(jì)算方法見式(10)。

(10)

主體端部能承受的最大彎矩為M0(常數(shù))，爆炸荷載作用下端部荷載超過最大彎矩時(shí)會(huì)形成塑性鉸，出現(xiàn)塑性鉸的時(shí)間t1可通過式(11)求得。

(11)

2.2 彈塑性工作階段計(jì)算

在時(shí)間t>t1后，固端柱的兩端出現(xiàn)塑性鉸，則柱體支座處等效有2個(gè)集中力矩(M0)作用的簡支梁，且除柱體兩端外，其他位置均屬于彈性階段。該階段計(jì)算工作同2.1彈性工作階段計(jì)算。

在時(shí)刻t=t1時(shí)，柱體兩端達(dá)到塑性極限彎矩M0，出現(xiàn)塑性鉸，式(11)可改寫為式(12)。

(12)

設(shè)該階段的動(dòng)力撓度曲線方程為

yz(z,t)=w2(z)v2(t)+w1(z)v(t1)

(13)

此時(shí)在邊界條件z=0和z=l處，y=0和EIy″=M0。

在此基礎(chǔ)上可求得撓度曲線為

(14)

解得動(dòng)力函數(shù)為

(15)

式中：ω2為彈塑性變形階段的一階振型的自振角頻率，計(jì)算方法見式(16)。

(16)

柱體的中部出現(xiàn)塑性鉸彎矩也為M0，則出現(xiàn)塑性鉸的時(shí)間t2可由式(27)求得

(17)

(18)

2.3 塑性階段計(jì)算

如果在某一時(shí)刻t2滿足式(17)，則在跨中截面處出現(xiàn)塑性鉸。塑性階段時(shí)，柱轉(zhuǎn)化為由塑性鉸相聯(lián)結(jié)的2根絕對剛性的半梁，在柱體端部和柱中部有附加集中力矩M0。

設(shè)塑性階段梁的動(dòng)力撓曲方程為

y3(z,t)=w1(z)v(t1)+w2(z)v2(t2)+φ(t)z

(19)

運(yùn)用虛位移原理可求得以轉(zhuǎn)角表示的運(yùn)動(dòng)方程

(20)

(21)

(22)

塑性階段結(jié)束時(shí)，柱體中部達(dá)到的最大位移ym，為

(23)

等效單自由度法的優(yōu)勢在于可以快速、準(zhǔn)確地得到結(jié)構(gòu)的最大變形，為結(jié)構(gòu)抗爆設(shè)計(jì)提供依據(jù)。墩柱抗爆設(shè)計(jì)流程圖見圖4，設(shè)計(jì)者只需輸入墩柱的幾何性質(zhì)(彈性模量E、截面慣性矩I、線質(zhì)量m、墩柱高度l)、墩柱的邊界條件、考慮應(yīng)變率效應(yīng)得到的極限彎矩M0、爆炸荷載沖量大小Ie和墩柱中部最大容許位移yd，即可驗(yàn)證設(shè)計(jì)是否滿足抗爆要求。

圖4 墩柱抗爆設(shè)計(jì)流程圖

3 有限元驗(yàn)證分析

3.1 有限元模型

本文采用AUTODYN有限元軟件對RC柱進(jìn)行數(shù)值模擬，柱體高3.4 m(其中柱凈高3 m，柱頭和柱腳分別高0.2 m)。設(shè)置柱頭和柱腳可以避免鋼筋從混凝土里拔出，也便于在柱的兩端施加牢固的固端約束，爆炸模型示意圖見圖5。柱體的主筋采用8根直徑18 mm的HPB300鋼筋，箍筋采用10 mm的HPB300鋼筋，在柱頭和柱腳箍筋的間距為100 mm，柱中箍筋的間距為200 mm。鋼筋混凝土柱的網(wǎng)格大小為20 mm，鋼筋與混凝土通過Lagrange-Lagrange耦合。爆炸荷載采用平面布置，平面起爆，以便產(chǎn)生均勻荷載。在鋼筋混凝土迎爆面上布置7個(gè)測點(diǎn)(測點(diǎn)1～7)，間距為50 cm；在鋼筋混凝土中心布置11個(gè)測點(diǎn)(測點(diǎn)8～18)，間距為30 cm?？諝獠捎脷W拉單元建立，網(wǎng)格大小為20 mm，空氣與鋼筋混凝土柱通過Lagrange-Euler耦合。

圖5 爆炸示意圖、測點(diǎn)布置示意圖與柱體橫斷面示意(單位：mm)

3.2 建模材料

混凝土材料采用CONC-35 MPa，空氣材料選用理想氣體，鋼筋材料選用STEEL4340，爆炸荷載通過引爆TNT產(chǎn)生，材料參數(shù)見表1、表2。

表1 CONC-35 MPa材料性質(zhì)

表2 STEEL 4340材料性質(zhì)

3.3 有限元結(jié)果

爆炸荷載作用下，迎爆面2～6號測點(diǎn)的超壓時(shí)程曲線圖見圖6。

圖6 測點(diǎn)2～6號測點(diǎn)的超壓時(shí)程曲線

由圖6可以看出2～6號測點(diǎn)的超壓時(shí)程曲線完全重合，說明在迎爆面上，爆炸荷載作用在柱上的荷載是隨時(shí)間變化的均布荷載，超壓峰值為81.1 MPa，到達(dá)峰值的時(shí)間為0.3 ms，其后快速衰減，整個(gè)作用時(shí)間極短不超過1.5 ms。柱體任一截面的累積荷載沖量為10.0 MPa·ms，爆炸荷載沖量圖見圖7。

圖7 爆炸荷載沖量

在均布爆炸沖擊荷載作用下，柱體的撓度時(shí)程曲線圖見圖8。由圖8可見，各測點(diǎn)的振動(dòng)趨勢一致，振幅從柱的兩端到柱的中部逐漸增大，且關(guān)于柱中部對稱。在短暫的爆炸沖擊荷載下作用后，柱體開始振動(dòng)，在12.6 ms時(shí)，柱體的變形達(dá)到最大，柱的中部位移值為77.0 mm，之后快速衰減，最后趨于穩(wěn)定值(4 mm)，有一定的殘余變形，表明柱體已經(jīng)發(fā)生了塑性變形。且從圖中可以看出，振幅衰減很快，經(jīng)過一兩個(gè)周期后，柱體停止振動(dòng)，表明柱體結(jié)構(gòu)在塑性階段耗能很快，這有利于結(jié)構(gòu)在爆炸荷載中幸存。

圖8 柱體撓度時(shí)程曲線圖

3.4 理論計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果對比

將爆炸荷載及鋼筋混凝土柱的各參數(shù)帶入到固端柱計(jì)算理論可以得到墩柱撓度值，理論計(jì)算值與仿真值對比結(jié)果見圖9、圖10。

圖9 墩柱中部測點(diǎn)理論計(jì)算最大變形與仿真結(jié)果對比圖

圖10 墩柱中部測點(diǎn)理論計(jì)算振型與仿真結(jié)果對比圖

由圖9可見，通過等效單自由度法與有限元計(jì)算結(jié)果相差不大，兩者在變形圖上有略微差距，有限元得到的變形圖比較平滑，而等效單自由度法得到的變形圖在柱中部地方不平滑，這是因?yàn)槔碚摵喕治鰰r(shí)，將塑性鉸理想化為集中在柱中部的點(diǎn)，而實(shí)際塑性鉸是一段區(qū)域，這對最后結(jié)構(gòu)影響不大。在RC墩柱跨中位置：簡化單自由度計(jì)算結(jié)果為74.2 mm，有限元計(jì)算結(jié)果為77.0 mm，誤差為3.6%。由圖10可見，理論計(jì)算振型和仿真計(jì)算結(jié)果，兩者振動(dòng)趨勢一致，幅值有略微差別，兩者到達(dá)最大變形的時(shí)間區(qū)別也極小，僅相差4.8 ms，減去爆炸沖擊波傳播和作用在結(jié)構(gòu)上的時(shí)間，兩者的差距會(huì)進(jìn)一步縮小。

4 結(jié)語

本文介紹了一種快速、精確計(jì)算結(jié)構(gòu)在爆炸沖擊荷載作用下動(dòng)力響應(yīng)的方法：等效單自由度法。并以RC墩柱為研究對象，詳細(xì)介紹了RC墩柱在爆炸荷載作用下動(dòng)力響應(yīng)的理論計(jì)算過程，最后結(jié)合有限元數(shù)值模擬驗(yàn)證了該理論方法的有效性和可行性。這種方法可以快速地計(jì)算墩柱在爆炸荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)和抗爆能力，設(shè)計(jì)工作者只需輸入爆炸荷載的大小、邊界條件、墩柱的幾何尺寸、截面性質(zhì)等參數(shù)，即可求解出橋墩的振型、振動(dòng)頻率和最大動(dòng)位移，為橋墩抗爆設(shè)計(jì)提供依據(jù)。