李小彭, 陳仁楨, 尚東陽, 陳延煒

(東北大學 機械工程與自動化學院， 沈陽 110819)

機動飛行指飛機飛行狀態(tài)隨時間改變的飛行動作，是對航空發(fā)動機性能評價的重要指標[1]. 機動飛行狀態(tài)會將附加的激勵力即機動載荷引入到航空發(fā)動機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，并改變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學狀態(tài). 在某些參數(shù)下，可能造成系統(tǒng)的嚴重失穩(wěn)，對航空發(fā)動機的安全運行造成嚴重威脅. 此外，系統(tǒng)實際工作過程中，軸承的剛度特性是受轉(zhuǎn)子運動狀態(tài)影響而不斷改變的，同時轉(zhuǎn)子運動狀態(tài)也會受軸承剛度變化的影響而發(fā)生變化. 含碰摩故障的航空發(fā)動機在機動飛行狀態(tài)下高轉(zhuǎn)速運行時尤其如此，碰摩故障、軸承與轉(zhuǎn)子系統(tǒng)相互耦合，使系統(tǒng)表現(xiàn)出強烈的非線性行為.

一直以來，高速滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究都是學者們關(guān)注的熱點. Harsha等[2]建立了考慮軸承徑向間隙及滾道表面波紋度等因素的深溝球軸承-高速轉(zhuǎn)子分析模型. Liew等[3]基于Hertz理論對齒輪系統(tǒng)中滾動軸承剛度的時變特征進行了分析計算. Petersen等[4]提出了一個考慮變載荷和時變剛度的滾動軸承模型，并對軸承含缺陷時的剛度變化進行了計算和分析. 曹宏瑞等[5]建立了考慮離心力、陀螺力矩、軸承內(nèi)圈離心膨脹和熱變形的高速滾動軸承模型，并計算了軸承的時變剛度. Cao等[6]提出了一種新的基于剛性元件的滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動態(tài)建模方法并進行了實驗驗證. Wu等[7]利用力與變形的關(guān)系建立了圓錐滾子軸承彎曲剛度的計算模型，并采用傳遞矩陣法研究了軸承變形對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響.

Batailly等[8]利用模態(tài)坐標轉(zhuǎn)換法將離散后的高自由度方程簡化為低自由度的方程，基于拉格朗日乘子法研究了葉片和機匣間的碰摩問題. Groll等[9]提出了一種數(shù)值方法，求解了碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)周期解及其穩(wěn)定性，基于諧波平衡的思想，分析了系統(tǒng)的分岔行為. 陳果等[10]建立了考慮葉片數(shù)和動態(tài)轉(zhuǎn)靜間隙的碰摩模型，并對模型的碰摩特性進行了研究. Ma等[11]分析了碰摩與裂紋故障耦合動力學及碰摩與油膜失穩(wěn)故障耦合動力學.

楊永鋒等[12-13]研究了機動飛行作用下的考慮裂紋因素的剛性支撐轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學響應. 但對機動飛行的研究所建立的模型為簡單平面運動，對于空間復雜飛行運動沒有給出機動載荷的推導. 祝長生等[14-15]利用拉格朗日方程建立了飛機在做任意機動飛行時多盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運動微分方程，用數(shù)值方法研究了飛機在水平盤旋、俯沖拉起和橫滾機動飛行對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學影響. 但是僅考慮了線性支承，忽略了大量非線性因素對系統(tǒng)的影響. Hou等[16-17]建立了滾動軸承支承下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在機動飛行條件下的動力學微分方程，并且考慮了碰摩及裂紋等故障，利用數(shù)值法研究了機動載荷對系統(tǒng)的非線性動力學影響.

為建立更符合實際工況的軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，考慮滾動軸承時變剛度與轉(zhuǎn)子非線性動力學特性之間的相互影響，本文建立了爬升-俯沖機動飛行狀態(tài)下含滾動軸承時變剛度的軸承-碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，討論了軸承剛度的時變規(guī)律與轉(zhuǎn)子動態(tài)特性間的相互關(guān)系，研究了機動載荷對系統(tǒng)非線性動力學特性的影響，并分析了含碰摩剛度的變剛度軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學特性.

1 系統(tǒng)模型

1.1 機動飛行狀態(tài)下軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型

圖1為變剛度軸承-碰摩轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有限元模型結(jié)構(gòu)圖. 模型考慮了節(jié)點位移對軸承支承剛度kb1與kb2的動態(tài)影響，同時考慮在節(jié)點5處發(fā)生單點碰摩. 此外，模型考慮轉(zhuǎn)子偏心及滾動軸承徑向間隙的影響.

節(jié)點1、6—高速滾動軸承；節(jié)點2、5—集中質(zhì)量圓盤；m1、m2—轉(zhuǎn)盤1、2的集中質(zhì)量;mb1、mb2—左、右支撐軸承的集中質(zhì)量；e1、e2—轉(zhuǎn)盤1和2的偏心距；Jdi、Jpi(i=1,2)—轉(zhuǎn)盤1和2的直徑轉(zhuǎn)動慣量和極轉(zhuǎn)動慣量；kb1、kb2—左、右支撐軸承的剛度；cb1、cb2—左、右軸承外圈與軸承座的連接阻尼，Kr—碰摩剛度；μr—摩擦因數(shù)

圖1 轉(zhuǎn)子-滾動軸承系統(tǒng)模型

Fig. 1 Rotor-bearing system model

根據(jù)Lagrange方程，對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)單元軸段的動力學微分方程進行推導：

(1)

(2)

(3)

(4)

式(1)～(4)中，方程右端包括轉(zhuǎn)子不平衡力和機動飛行所引起的附加剛度、阻尼和激勵力效應，機動飛行效應寫成矩陣形式為

FF=FF1+FF2+FF3=

式中：FF1為附加剛度效應，F(xiàn)F2為附加阻尼效應，F(xiàn)F3為附加慣性力及附加慣性力矩. 通常情況下，附加剛度效應遠小于系統(tǒng)固有的剛度，附加阻尼效應與飛機橫滾運動有直接關(guān)系.

設F1為飛機做水平盤旋運動時對轉(zhuǎn)盤引起的附加激勵力，F(xiàn)2為飛機做俯沖-拉起運動時對轉(zhuǎn)盤引起的附加激勵力，F(xiàn)3為飛機做橫滾運動時對轉(zhuǎn)盤引起的附加激勵力，且

由此可得機動飛行對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生的附加激勵力. 方程的推導中并沒有將轉(zhuǎn)盤的歐拉角假設成小量. 因此該模型不僅適用于簡單飛行狀況，還能用于飛機在空間任意飛行狀態(tài)的研究.

1.2 滾動軸承時變剛度模型

如圖2所示，設時間t0=0時轉(zhuǎn)軸軸心與軸承內(nèi)圈軸心重合于坐標零點，當t1=t0+Δt時，軸承內(nèi)圈隨轉(zhuǎn)軸運動產(chǎn)生位移Δ1=[δx1δy1φx1φy1]T，利用Hertz接觸理論和Harris滾動軸承模型，采用文獻[18]計算得到的軸承主對角剛度矩陣K，即可得到t1時刻轉(zhuǎn)軸對軸承的作用力F=Δ1K，將軸承對轉(zhuǎn)子的支反力-F=[-Fx1-Fy1-Mx1-My1]T引入系統(tǒng)整體有限元模型，即可計算當t2=t1+Δt時的轉(zhuǎn)軸位置Δ2=[δx2δy2φx2φy2]T，以此類推即可得到軸承剛度隨轉(zhuǎn)子運動產(chǎn)生的時變規(guī)律及轉(zhuǎn)子受軸承時變剛度影響所產(chǎn)生的非線性動力學行為.

圖2 滾動軸承時變剛度模型

1.3 有限元建模及求解

采用Rayleigh梁進行有限元建模，得動力學微分方程為

式中:Fp為單點碰摩力矩陣，采用文獻[10]的新型碰摩模型計算獲得，另有不平衡力矩陣Fe、重力矩陣G及軸承力矩陣Fb為

本文僅考慮系統(tǒng)在豎直平面內(nèi)迅速爬升-俯沖的飛行狀態(tài)，故引入爬升-俯沖機動載荷矩陣

(8)

式中:v為航行速度，ωx為俯仰角速度.

使用Newmark-β法對系統(tǒng)動力學方程進行求解，計算過程如圖3所示.

圖3 系統(tǒng)動力學方程求解流程圖

軸承選用7204C角接觸球軸承. 轉(zhuǎn)軸彈性模量E=209 GPa，泊松比μ=0.3，材料密度ρ=7 850 kg/m3，轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1.

表1 轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)參數(shù)

2 系統(tǒng)動力學特性分析

2.1 軸承時變剛度對系統(tǒng)的影響

圖4給出了不同轉(zhuǎn)速下軸承徑向剛度時變規(guī)律圖及系統(tǒng)軸心軌跡圖. 不考慮機動載荷及碰摩故障的影響，圖4(a)、(b)、(c)分別表示系統(tǒng)處于擬周期運動、單周期運動、混沌運動狀態(tài)時軸承剛度的時變規(guī)律. 可見，當系統(tǒng)處于單周期運動狀態(tài)時，軸承剛度的波動范圍較小，且隨著工作時間的推移剛度趨于穩(wěn)定，此時軸承剛度可近似為定值；當系統(tǒng)處于擬周期運動狀態(tài)時，軸承剛度呈周期性變化，剛度變化范圍較單周期運動時有所增大；當系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)后，軸承剛度的變化也失去周期性，剛度波動幅度進一步增大.

圖5～7為定剛度軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)和周期時變剛度軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分岔圖. 其中圖5未考慮機動載荷及碰摩故障的影響，圖6中僅引入機動載荷G=4，圖7中僅考慮碰摩剛度Kr=3×106N/m. 對比圖5與圖8(a)、圖6與圖8(b)、圖7與圖9可見，考慮軸承時變剛度的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型在各個參數(shù)影響下均表現(xiàn)出更豐富的非線性動力學狀態(tài). 圖9中三維頻譜圖橫坐標頻率比(Frequency ratio)代表系統(tǒng)共振頻率與主頻率比值.

(a) ω=13 400 r/min

(b) ω=14 000 r/min

(c) ω=20 600 r/min

(a)定剛度 (b)周期變剛度

(a)定剛度 (b)周期變剛度

(a)定剛度 (b)周期變剛度

Fig.7 System response under different bearing stiffness forKr=3×106N/m

(a)G=0 (b)G=4

Fig.8 Bifurcation diagram of bearing-rotor system with variable stiffness

圖9 Kr=3×106 N/m時系統(tǒng)響應

在轉(zhuǎn)速低于15 000 r/min及高于22 600 r/min區(qū)間，系統(tǒng)產(chǎn)生大量倍周期分岔現(xiàn)象，且整體倍周期分岔點向低轉(zhuǎn)速方向平移. 軸承時變剛度對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在低轉(zhuǎn)速區(qū)間的影響不僅適用于航空發(fā)動機，也適用于離心機及壓縮機等工業(yè)機械，而其對高轉(zhuǎn)速區(qū)間的影響也是提高轉(zhuǎn)子系統(tǒng)最高轉(zhuǎn)速的限制條件之一.

綜上可見，以往將系統(tǒng)中軸承剛度視為定值或周期變化值所建立的模型并不能準確表述系統(tǒng)所有的運動狀態(tài)，有必要建立軸承剛度隨轉(zhuǎn)子瞬時運動狀態(tài)改變而改變的系統(tǒng)模型.

2.2 機動載荷對變剛度軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響

不考慮碰摩故障的影響，設G=ωxv/g為俯仰機動載荷. 圖8所示分別為不含機動載荷(G=0)和含機動載荷(G=4)時系統(tǒng)的整體分岔圖. 可見，當轉(zhuǎn)速位于ω=10 000～12 000r/min時，系統(tǒng)穩(wěn)定性提高，更多轉(zhuǎn)速區(qū)間表現(xiàn)為單周期運動；當轉(zhuǎn)速為ω=12 000～15 000 r/min時，系統(tǒng)分岔點提前，且含機動載荷時系統(tǒng)的倍周期運動區(qū)間更大，轉(zhuǎn)子軸心軌跡軸向位移增大；當轉(zhuǎn)速為ω=15 000～ 25 000 r/min時，系統(tǒng)分岔增加，穩(wěn)定區(qū)間減小. 可見，引入機動載荷的影響后，系統(tǒng)動態(tài)特性產(chǎn)生了較為顯著的變化.

圖10為ω=16 000 r/min，機動載荷G=2時系統(tǒng)的軸心軌跡及龐加萊截面圖. 結(jié)合圖8可知，在機動載荷G=0和G=4時，系統(tǒng)表現(xiàn)為單周期運動或擬周期運動；當G=2時系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌運動，可見在該轉(zhuǎn)速區(qū)間特定機動載荷會對系統(tǒng)產(chǎn)生較大的影響.

(a)軸心軌跡 (b)龐加萊截面

綜上可見，在低轉(zhuǎn)速下，機動載荷能在一定程度上提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因為在低轉(zhuǎn)速下機動載荷的對系統(tǒng)施加的豎直方向上的離心力抑制了軸承非線性力對系統(tǒng)的影響. 在中高轉(zhuǎn)速區(qū)間特定機動載荷會導致系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)，應盡量避免. 在超高轉(zhuǎn)速區(qū)間，變剛度軸承的非線性力對系統(tǒng)的影響占據(jù)主導地位，機動載荷的影響相對減小. 其中，將ω=10 000～14 000 r/min視為相對低轉(zhuǎn)速區(qū)間，將ω=14 000～18 000 r/min視為中轉(zhuǎn)速區(qū)間，將ω=18 000～22 000 r/min視為高轉(zhuǎn)速區(qū)間，將ω=22 000～25 000 r/min視為超高轉(zhuǎn)速區(qū)間.

2.3 機動飛行下碰磨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學分析

考慮節(jié)點5處發(fā)生單點碰摩，圖9、11、12分別為不同碰摩剛度下系統(tǒng)全局分岔圖和三維頻譜圖. 由分岔圖可見，當轉(zhuǎn)速低于12 400 r/min時，系統(tǒng)運動狀態(tài)受碰摩剛度影響較小； 當轉(zhuǎn)速高于12 400 r/min時，隨著碰摩剛度的提高，系統(tǒng)的動力學特性變得愈加的復雜，分岔及混沌區(qū)間增加，系統(tǒng)穩(wěn)定運動區(qū)間減小.

由頻譜圖可見，當轉(zhuǎn)速低于12 400 r/min時，系統(tǒng)產(chǎn)生超諧共振，頻率成分主要包含ω、1.14ω及1.29ω；當轉(zhuǎn)速高于12 400 r/min后，頻率成分以亞諧共振為主，包括0.14ω、0.43ω、0.5ω及0.71ω等，且隨碰摩剛度增大頻率成分增多，振幅增大.

設碰摩剛度Kr=3×106N/m，圖13為不同機動載荷下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)全局分岔. 對比圖9可見，當系統(tǒng)存在碰摩故障時，隨著機動載荷提高，系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)間減少，倍周期運動區(qū)間增加，且在多個轉(zhuǎn)速區(qū)間表現(xiàn)出更加復雜的分岔現(xiàn)象. 由此可知，機動載荷的提高一定程度上等效于增大了系統(tǒng)的碰磨量.

圖11 Kr=1×106 N/m時系統(tǒng)響應

圖12 Kr=5×106 N/m時系統(tǒng)響應

(a)G=2 (b)G=4

Fig.13 Response of the system under different maneuvering loads forKr=3×106N/m

3 結(jié) 論

1)軸承時變剛度不僅對處于正常工作轉(zhuǎn)速區(qū)間的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學狀態(tài)存在影響，也是限制轉(zhuǎn)子系統(tǒng)最高轉(zhuǎn)速的因素之一. 為準確描述軸承、轉(zhuǎn)子非線性動力學間的相互影響，有必要建立軸承剛度隨轉(zhuǎn)子瞬時運動狀態(tài)改變而改變的系統(tǒng)模型.

2)在機動載荷的作用下，系統(tǒng)產(chǎn)生的更加復雜的非線性現(xiàn)象. 隨著機動載荷的增加，系統(tǒng)整體穩(wěn)定運動區(qū)間減少. 在低轉(zhuǎn)速區(qū)間，提高機動載荷能一定程度上提高系統(tǒng)穩(wěn)定性，且在中高轉(zhuǎn)速下特定機動載荷能導致系統(tǒng)產(chǎn)生強烈的非線性現(xiàn)象，在超高轉(zhuǎn)速區(qū)間軸承非線性力的作用超過機動載荷對系統(tǒng)的影響.

3)碰摩故障會對機動飛行狀態(tài)下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生明顯的影響. 隨著碰摩剛度的提高，系統(tǒng)的分岔和混沌運動區(qū)間增加，系統(tǒng)運動穩(wěn)定性降低，且碰摩故障對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響隨轉(zhuǎn)速的提高而增大. 系統(tǒng)頻率成分以亞諧共振為主，當碰摩故障達到一定程度時會導致系統(tǒng)損毀失效. 提高機動載荷一定程度上等效于增大了系統(tǒng)的碰磨量.