陳曉玥

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130012)

0 引言

在當(dāng)前經(jīng)濟(jì)飛速發(fā)展的時(shí)代，人口的流動(dòng)也越發(fā)的頻繁，而人口流動(dòng)所面臨的首要問(wèn)題就是住房.對(duì)于流動(dòng)人口來(lái)說(shuō)，租房成了理想選擇.根據(jù)租房大數(shù)據(jù)報(bào)告顯示，租房市場(chǎng)處于持續(xù)增長(zhǎng)的狀態(tài)，租房也成為人們備受關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題.隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，多款租房app也相繼上線，如房天下、百姓網(wǎng)、58網(wǎng)、口碑網(wǎng)等.網(wǎng)上租房作為一種新潮租賃方式，依托互聯(lián)網(wǎng)的優(yōu)勢(shì)，可隨時(shí)隨地看房節(jié)省時(shí)間、房源量多選擇廣泛，省去中介環(huán)節(jié)，更加省時(shí)省錢，減去了不必要的資源和人力浪費(fèi).由于網(wǎng)上租房和中介租房所面對(duì)的需求群體基本一致，必將產(chǎn)生資源競(jìng)爭(zhēng)，從而導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)問(wèn)題.為了獲取最大的經(jīng)濟(jì)效益，研究網(wǎng)上租房和中介租房合理共存是關(guān)鍵.利用兩個(gè)群體間關(guān)系建立生物數(shù)學(xué)模型，研究?jī)扇后w動(dòng)態(tài)系統(tǒng).

為了研究方便，給出相關(guān)定理：

平面考慮自治系統(tǒng)[1]：

(1)

定理1若對(duì)一切t∈(-,+)，x(t)≡x*，y(t)≡y*(x*,y*)∈D，則稱x=x*,y=y*為(1)的一個(gè)定常解,它所對(duì)應(yīng)的積分曲線是(t,x,y)空間中平行于t軸的直線x=x*,y=y*.對(duì)應(yīng)此解的軌線是相平面中一個(gè)點(diǎn)(x*,y*)，稱(x*,y*)為奇點(diǎn)(或平衡點(diǎn)).顯然(x*,y*)是(1)的一個(gè)奇點(diǎn)(或平衡點(diǎn))的充分必要條件是P(x*,y*)=Q(x*,y*)=0.

1 系統(tǒng)分析

近年來(lái)，隨著居民對(duì)住房消費(fèi)觀念的轉(zhuǎn)變，“買改租”之風(fēng)逐步興起.數(shù)據(jù)顯示，自2017年起我國(guó)房屋租賃市場(chǎng)一直處于增長(zhǎng)的狀態(tài)，而到了2019年約2.2億人口通過(guò)租賃市場(chǎng)解決居住問(wèn)題，尤其在“北上廣深”等城市，房屋租賃市場(chǎng)更加廣闊.租賃人口的增加，使“找房難”成了熱點(diǎn)問(wèn)題.隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)手段的提升，網(wǎng)絡(luò)滲透到各個(gè)行業(yè)，走進(jìn)國(guó)民生活，對(duì)提高國(guó)民生活水平起著至關(guān)重要的作用.與此同時(shí)，租房app也融入了人們的生活，由于網(wǎng)上租房消耗的人力和物力資源更小，租房app數(shù)量不斷增長(zhǎng)，這對(duì)傳統(tǒng)的房屋租賃公司造成了前所未有的沖擊，也對(duì)中介人員的利益造成了損失.因而建立網(wǎng)上租房和中介租房的數(shù)學(xué)模型并對(duì)其動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行分析，使得租房軟件數(shù)量和房屋租賃公司成立數(shù)量達(dá)到穩(wěn)定和平衡，從而取得最大的經(jīng)濟(jì)效益，使得資源得到有效配置.建立中介租房和網(wǎng)上租房在t時(shí)刻同時(shí)增長(zhǎng)的經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)模型，如下

(2)

其中x(t)表示租賃公司數(shù)量；y(t)表示租房app數(shù)量；K表示社會(huì)對(duì)租賃公司的最大需求；A表示租房app的Allee系數(shù)，也是開(kāi)發(fā)租房app的最小數(shù)量；r3表示使用租房app的系數(shù).

為了便于模型的分析，令

可將模型轉(zhuǎn)化為：

(3)

以下是關(guān)于正平衡點(diǎn)穩(wěn)定性討論

[H1] 系統(tǒng)(3)存在唯一正平衡點(diǎn)[2]C(x*,y*).

[H2] 平衡點(diǎn)C(x*,y*)是穩(wěn)定結(jié)點(diǎn).

證明 系統(tǒng)(3)在(x*,y*)處的Jacobi矩陣

有Δ=a11a22-a12a21=(p1q2-p2q1)x*y*>0δ=-(a11+a22)=p1x*+q2y*>0 故平衡點(diǎn)C(x*,y*)是穩(wěn)定[3]結(jié)點(diǎn).綜上所述平衡點(diǎn)C(x*,y*)是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的.

圖1 系統(tǒng)(3)的軌跡示意圖

用Matlab模擬系統(tǒng)(3)的的穩(wěn)定平衡點(diǎn)，如圖1所示.

[H3] 系統(tǒng)(3)在區(qū)域D內(nèi)無(wú)閉軌跡[4]

2 生物學(xué)意義

在系統(tǒng)(3)中，中介租房和網(wǎng)上租房在所面對(duì)的需求和經(jīng)濟(jì)群體相同的條件下，兩個(gè)群體隨時(shí)間t的變化而變化，系統(tǒng)明確二者的曲線變化，無(wú)論兩個(gè)群體的初始值為何，最終二者都會(huì)達(dá)到各自的平衡點(diǎn)x*和y*.

租房問(wèn)題[6]已經(jīng)成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)，對(duì)于傳統(tǒng)的中介租房，中介提供全程服務(wù)，其中包括咨詢、看房、成交、售后等，而且為客戶的整個(gè)交易提供安全保障，與此同時(shí)需要的資源和人員更多，中介租房費(fèi)用更大.而網(wǎng)上租房房源多，不受地域影響可隨時(shí)瀏覽房源信息，方便又快捷，但房源的真實(shí)性難以保障，相對(duì)于中介租房虛擬成分過(guò)多.綜合二者的優(yōu)缺點(diǎn)，利用所建立的數(shù)學(xué)模型，找到平衡點(diǎn)C(x*,y*)，以此進(jìn)行人為干涉，使兩個(gè)群體達(dá)到最合理共存狀態(tài)，更好地為國(guó)民服務(wù)，并獲得經(jīng)濟(jì)最大化.