張立康，仰楓帆

(南京航空航天大學 電子信息工程學院，江蘇 南京，211106)

0 引言

在過去的幾年中，許多作者研究了不同的信道編碼在協作通信系統下的性能表現，包括低密度奇偶校驗碼 (Low Density Parity Check，LDPC)[1]，Turbo碼[2]和Polar碼[3]等，但關于協作通信下的RS碼的研究卻很少。里德-所羅門 (Reed Solomon Code，RS)碼是當今無線通信系統中使用最廣泛的編碼方案之一，已經被幾種3G標準采用，包括數字視頻廣播(Digital Video Broadcasting，DVB) 標準[4]以及全球微波接入互操作性 (Worldwide Interoperability for Microwave Access，WiMAX)標準等[5]。

協作分集是最近引入的分集技術，利用中繼節(jié)點來改善系統的范圍和可靠性。最常見的協議是解碼轉發(fā) (Decode and Forward，DF)協議和放大轉發(fā)(Amplify and Forward，AF)協議 。在DF協議中，中繼首先從源廣播中解碼信號，重新編碼并將其轉發(fā)到目標[6]。AF協議中，中繼放大接收到的信號，并將放大后的信號轉發(fā)到目的地[7]。將不同的信道編碼方案與所述的中繼協議集成，可以進一步提高協同系統的性能。這些類型的方案，也稱為分布式編碼，顯著提高了協作系統的端到端性能[8]。RS碼，作為一種極大距離可分碼 (Maximum Distance Separable，MDS)，廣泛用于分布式存儲[9]，以求更好地達到冗余和可靠性的權衡點，已經被證實為最好的檢錯編碼[10]。在無線通信的過程中，無限信道的衰落特性與通信質量息息相關，協作技術的提出有效地改善了信道衰落對無線通信質量的影響[11]，但是基于RS碼的協作研究是非常少的。

本文提出了一種新的基于分布式RS碼的權重協作方案，由于不同信道條件對判決結果所帶來的影響不同，利用源節(jié)點和中繼節(jié)點到目的節(jié)點的信道條件的差異性和多進制正交振幅調制(Multiple Quadrature Amplitude Modulation，MQAM)硬判決的特性[12]，在目的節(jié)點對兩路信號權重分配后，采用文獻[13]中提出的伯利坎普(Berlekamp) 迭代譯碼算法進行聯合譯碼。通過實驗仿真證明了該方案具有良好的性能增益，同時也從數學理論角度對該算法進行了推導，為該方案提供了理論依據。

1 RS碼的編碼與譯碼

1.1 RS碼編碼

符號取自GF(q)、糾t個錯誤的RS碼，其生成多項式h(x)以α，α2，…，α2t為其全部的根，這是文獻[14]中給出的定義，如式(1)所示：

h(x)=(x-α)(x-α2)…(x-α2t)，

(1)

式中，αi為GF(q)中的元素，0≤i≤2t。RS碼具有如下參數：

分組長度：n=q-1，

(2)

奇偶校驗符號數：n-k=2t，

(3)

維數：k=q-1-2t，

(4)

最小距離：dmin=2t+1。

(5)

從另一個角度來說。RS碼是商環(huán)R=Fq[x]/(xn-1) 上的主理想[15]，其中R是主理想環(huán)(每個理想環(huán)都可以由單個元素生成)。

令u(x)=u0+u1x+…+uk-1xk-1為消息多項式，其中uj∈GF(q)，0≤j≤k-1，編碼過程是一種映射[16]：

ρ:u(x)→v(x)。

(6)

其中，系統級RS碼的編碼過程是：

v(x)=u(x)xn-k-[u(x)xn-kmodh(x)]。

(7)

1.2 Berlekamp譯碼算法

w(x)=w0+w1x+…+wn-1xn-1，

(8)

r(x)=r0+r1x+…+rn-1xn-1，

(9)

e(x)=r(x)-w(x)=e0+e1x+…+en-1xn-1，

(10)

式中，w(x) 為傳輸的碼多項式；r(x) 為接受多項式；e(x) 為錯誤模式[17]。由定義得ei=ri-vi，ei是GF(q)中的符號，假設e(x)在位置xb1，xb2，…，xbv上v個錯誤，其中0≤b1

e(x)=eb1xb1+eb2xb2+…+ebvxbv。

(11)

同時定義矯正子如下：

Mi=e(αi)，1≤i≤2t，α1，α2，…，α2t∈GF(q)。

(12)

對于1≤i≤v，令βi?αbi，μi?ebi。

定義錯誤位置多項式為：

δ(x)=(1-β1x)(1-β2x)…(1-βvx)=

δ0+δ1x+…+δvxv=1+δ1x+…+δvxv。

(13)

譯碼步驟為:

(1) 計算矯正子(M1，M2，…，M2t)。

(2) 確定錯誤位置多項式：

在求解錯誤位置多項式的過程中，設定:

δ(-1)(x)=1，

(14)

δ(0)(x)=1，

(15)

δ(1)(x)=1-M1x。

(16)

需要經過2t次迭代后取得錯誤位置多項式δ(x)=1+δ1x+…+δvxv，其中迭代方程如下：

1≤s≤2t-1，-1≤ρ

(17)

ρ的取值于[-1，s]范圍內使得{ρ-lρ}的值最大的值，其中，ls和lρ為δ(s)(x)和δ(ρ)(x)的多項式的階，ds和dρ的定義如下：

(18)

(19)

經過2t次迭代后，得到δ(x)=1+δ1x+…+δvxv，自此確定了錯誤位置多項式。

(3) 確定錯誤估值函數：

求得δ(x)的根，并求得這些根的倒數集{β1，β2，…，βv}，并定義錯誤估值函數：

(20)

(21)

(22)

整理得：

(23)

2 分布式RS碼中繼協作系統的構造

相對于傳統的點對點或者一點對多點的蜂窩網絡，協作網絡基于復雜的相互作用，所涉及的節(jié)點彼此協作，從而改善自己的通信性能[19]?；谥欣^節(jié)點的協作通信已經成為提高網絡覆蓋、頻譜與功率效率以及減少中斷概率的有效方法[20]。

2.1 信道模型

2.1.1 AWGN信道

加性高斯白噪聲(Additive White Gaussian Noise，AWGN) 信道是常見的通信研究信道，噪聲是符合N～(0，σ2)的高斯白噪聲，其條件概率密度函數如式(24)所示：

(24)

對于RS(63，51) 碼，采用的是64-QAM的調制方式，MQAM是一種將多進制數字相位鍵控(Multiple Phase Shift Keying，MPSK) 和多進制幅移鍵控(Multiple Amplitude Shift Keying，MASK) 結合起來的調制技術?？芍猄NR=Eb/N0+10lg(K/N)+10lg(lb(M))，其中K為信息位長度，N為碼長，M為調制的階數。在信號功率一致時，噪聲功率不同的加性高斯白噪聲概率密度函數的方差不同。

為了方便解釋權重加法的原理，這里基于AWGN信道下的1 bit情況的2PSK調制進行討論信噪比不同所帶來的影響。

(25)

(26)

根據PDF的定義，當收到1 bit信息x時，判決為-1的概率p(-1|x)為：

(27)

判決為1的概率p(1|x)為：

(28)

當σ1=σ2=1時，f(x)，g(x)及p(1|x)的函數圖如圖1所示。

圖1 f(x)，g(x) 和 p(1|x) 的數學函數圖Fig.1 Mathematical function diagram for f(x)，g(x) and p(1|x)

圖1的橫坐標為自變量x的取值范圍，縱坐標為對應函數的值。當σ1=σ2=1時，1 bit信息x加噪前為1的概率滿足圖1中的函數p(1|x)，在x=0時，加噪前為1和-1的概率都為0.5。在x>0后，加噪前為1的概率大于0.5，并逐漸趨近于1。當σ1=1，σ2=0.8時，p(1|x)的函數圖如圖2所示，圖2的橫坐標為變量x的取值范圍，縱坐標為條件概率函數p(1|x) 的取值。

圖2 條件概率函數 p(1|x) 的數學函數圖Fig.2 Mathematical function graph of conditional probability function p(1|x)

由圖2可知，在x=0時，函數的值為0.485 5，此時加噪前為1的概率小于加噪前為-1的概率，這是由于方差不同所帶來的對置信率(即判決結果的可靠性)的影響。

對于協作方案，做一個假設，設從源節(jié)點發(fā)送來的1 bit信息為x1=a+n1，從中繼節(jié)點發(fā)送來的1 bit信息為x2=a+n2。假設中繼節(jié)點到目的節(jié)點的信道的SNR要比源節(jié)點到目的節(jié)點的信道的SNR大2 dB，即：

SNR(r，d)=SNR(s，d)+2。

(29)

即噪聲n1的概率分布函數的方差比噪聲n2的概率分布函數的方差要大，因此在這種條件下，從概率分布的角度上說，x1的置信率要比x2稍大。令權重加法系數c=0.6。因此，將判決前的信號表示為x=a+0.4n1+0.6n2。并且基于條件，從置信率角度來說，p(n1>n2)>p(n1

假設a=1：① 當n1和n2同為正號時，將x判決為1的置信率較高，此時判決正確。② 當n1和n2同為負號時，進行加權后，在Eb/N0較大的情況下，x<0的概率極低。因此，即使出現了n1和n2其中一個小于-1的情況，在和另一個加權后，會削弱較強噪聲帶來的影響，加權后x的值也會有一定的概率大于0。③ 當n1和n2異號時，同時有p(n1>n2)>p(n1

當a=-1時，與a=1的情況是對稱的，因此不在此討論。對于以上3種情況的討論，在|n1|和|n2|不變的情況下，對判決影響最大的是情況②。不難得出，在n1和n2都不為0時，發(fā)生n1和n2同為負號的概率為1/4。

2.1.2 衰落信道

衰落是指信號強度隨時間的變化，由于接收信號是通過天線接收從遠端的發(fā)射機發(fā)出的，所以變化是在發(fā)送方與接收方之間的通信信道中產生的。在接收信號含有直達分量時，信號幅度衰落呈現萊斯分布，反之，信道幅度衰落服從瑞利分布[21]。其概率密度函數為：

(30)

本文主要研究的是瑞利信道，信道模型如圖3所示。

圖3 瑞利信道模型Fig.3 Rayleigh channel model

圖3中，xk，yk分別為信道輸入及輸出信號；nk為服從N(0，σ2)的信道高斯白噪聲；rk為信道衰落系數，與時間具有相關性，因此該信道模型可表示為：

yk=rkxk+nk。

(31)

(32)

衰落通常分為快衰落和慢衰落2種：

(1) 快衰落

幅度變化隨著頻率變化很快，快衰落起因于多路徑引起的相消干涉，多普勒擴展導致頻率擴散和時間選擇性衰落[22]。

(2) 慢衰落

它不會隨著頻率變化很快。它的產生受機動性的影響，是由陰影和障礙物(如樹木或建筑物等)引起的信號路徑變化的結果[23]。

2.2 系統模型

系統模型采用方案如圖4所示。

圖4 RS碼的中繼協作方案圖Fig.4 RS code relay cooperation scheme

2.2.1 分布式RS碼編碼

1.1小節(jié)中論述了RS碼的編碼，對于源節(jié)點，φ(x)要編碼的信息，其中生成多項式如式(1)所示。信息進行編碼后得到碼字c(x)，將c(x)分別發(fā)送給中繼節(jié)點和目的節(jié)點。在中繼節(jié)點接收到來自源節(jié)點的信號解調判決后得到碼多項式c′(x)，使用Berlekamp譯碼后得到消息多項式φ′(x)，并將譯碼后的信息重新編碼得到碼字多項式c″(x) ，調制后發(fā)送至目的節(jié)點。

例1：設α為GF(26)的本原元，該域是使用如下的本原多項式進行構造：

q(x)=1+x+x6。

(33)

考慮碼長為63個符號，信息長度為51個符號，最小距離為13的RS(63，51)碼，符號取自GF(26)。其生成多項式有6個連續(xù)根，依次為α，α2，α3，α4，α5，α6，所以生成多項式為：

h(x)=(x+α)(x+α2)(x+α3)(x+α4)

(x+α5)(x+α6)。

(34)

1.1小節(jié)中論述了RS碼的編碼原理，使用式(34)中的生成多項式即可編碼。

① 首先將消息比特ω1映射為GF(26) 中的符號，映射后得到消息多項式φ(x)=φ0+φ1x+φ2x2+…+φ50x50，通過RS(63，51)編碼器編碼后得到碼多項式c(x)=c0+c1x+c2x2+…+c61x61+c62x62，然后經過64-QAM調制后，發(fā)送至目的節(jié)點和中繼節(jié)點。

2.2.2 聯合譯碼算法

目的節(jié)點接收到來自源節(jié)點的幅值多項式θ(x)和來自于中繼節(jié)點的幅值多項式μ(x)之后，對2個多項式相同的位進行帶權值的加法運算，得到幅值多項式r(x)。將r(x)送入判決器之后得到碼字多項式s(x)，對s(x)進行聯合譯碼后得到消息多項式φ″(x)。

例2：目的節(jié)點接收到來自源節(jié)點的幅值多項式θ(x)=θ0+θ1X+θ2X2+…+θ61X61+θ62X62，θi為復數，0≤i≤62。收到來自中繼節(jié)點[17]的幅值多項式μ(x)=μ0+μ1x+μ2x2+…+μ61x61+μ62x62，μj也為復數，0≤j≤62。對每一符號位的值進行帶有權值(Coefficient)的加法。

為了方便說明，在64-QAM中取點a和點b。其中點a=0.304 1-3.445 4i，b=0.682 6-2.867 3i，c=0.4a+0.6b。a，b，c在星座圖中的位置如圖5所示，圖中橫坐標為同相振幅，縱坐標為正交振幅。

圖5 64-QAM星座圖中的權重分配示例Fig.5 Example of weight assignment in a 64-QAM constellation diagram

假設r(x)為相加后的幅值信號，設權重系數為0.6，則r(x)的值如式(35)所示：

r(x)=(0.6μ0+0.4θ0)+(0.6μ1+0.4θ1)x+…+

(0.6μ61+0.4θ61)x61+(0.6μ62+0.4θ62)x62=

r0+r1x+r2x2+…+r62x62。

(35)

3 仿真結果與分析

在仿真中，假設從源節(jié)點到中繼節(jié)點之間的SNR=∞，僅考慮從中繼節(jié)點到目的節(jié)點之間的差異性影響。

之前介紹了RS(63，51) 碼的編碼，為探究在不同信道條件下，權值加法系數對碼性能的影響，加入RS(255，239) 碼進行參照對比。

設β為GF(28)的本原元，該域使用如下的本原多項式進行構造：

p(x)=1+x2+x3+x4+x8。

(36)

考慮碼長為255個符號，信息長度為239個符號，最小距離為17的RS(255，239)碼，所有符號取自GF(28)。其生成多項式有8個連續(xù)根，依次為β，β2，β3，β4，β5，β6，β7，β8，所以生成多項式為:

h(x)=(x+β)(x+β2)(x+β3)(x+β4)(x+β5)

(x+β6)(x+β7)(x+β8)。

(37)

1.1小節(jié)中論述了RS碼的編碼原理，使用式(37)中的生成多項式即可編碼。

其中第一組為RS(63，51) 碼和RS(255，239) 碼在AWGN信道下的仿真結果，由圖6可知，在源節(jié)點到中繼節(jié)點信道完美，且在SNR(r，d)=SNR(s，d)+2 時，對于碼RS(63，51)，最佳權值系數(Coefficient)c=0.6(注：這里的量化單位精度到小數點后1位，即量化間隔最低0.1，經實驗證實，0.01的單位精度下，系數之間的性能差異性不是很大。所以通過沿著(Eb/N0)從小往大并從大往小兩側逼近的方式，找到精度為0.1的最佳系數)。誤碼率在10-6時，相比于非協作通信，c= 0.6的方案大約有4 dBs的增益。

圖6 采用權重協作方案的分布式RS(63，51)通過AWGN信道的BER性能曲線，編碼率r=51/126 Fig.6 BER performance curve of distributed RS (63，51) using weight cooperation scheme over AWGN channel，coding rate r=51/126

考慮碼RS(255，239) 在AWGN信道下的協作表現，圖7采用和圖6中一樣信道條件進行仿真對比，顯而易見，c=0.6 依舊是在SNR(r，d)=SNR(s，d)+2信道條件下的最佳系數?？芍?，在AWGN信道下，權值分配方案在協作通信中具有較好的性能表現。

圖7 采用權重協作方案的分布式RS(255，239)通過AWGN信道的BER性能曲線，編碼率r=51/126 Fig.7 BER performance curve of distributed RS (255，239) using weight cooperation scheme over AWGN channel，coding rate r=51/126

圖8是在快衰落信道下的表現。在SNR(r，d)=SNR(s，d)+2 的信道條件下，在25 dB之后，各協作方案的BER曲線都有了大幅下降。系數c=0.6的協作方案的誤碼率是要略低于c=0.7的協作方案，是性能最優(yōu)的方案，且性能差異較為明顯。系數c=0.6的協作方案，相對于非協作方案來說，誤碼率在10-6時，大約有5 dBs的性能增益。

圖8 采用權重協作方案的分布式RS(255，239)通過快衰落信道的BER性能表現，編碼率r=239/510Fig.8 BER performance of distributed RS (255，239) using weight cooperation scheme over fast fading channel，coding rate r=239/510

4 結束語

提出了分布式RS碼的中繼協作系統和基于權重分配的譯碼算法，研究了2種信道條件下的性能表現。對于RS(63，51)和RS(255，239)來說，該方案帶來的性能增益顯著，不過在特定情況下，不同協作系數的性能差異不明顯。除了文中提到的情況外的系數選擇，需要通過實驗中逐漸逼近的方式得到。該方案加入MIMO之后的性能增益和不同MIMO帶來的性能差異，是之后的研究方向。