趙云強(qiáng)

(中國(guó)鐵路設(shè)計(jì)集團(tuán)有限公司，天津 300251)

變形監(jiān)測(cè)的目的是掌握工程建筑和地質(zhì)構(gòu)造的穩(wěn)定性，以便為施工安全診斷提供必要的信息，并為后期工程管理提供相應(yīng)的數(shù)據(jù)支持[1]。 由于高速鐵路的沉降變形量較小，且觀測(cè)過(guò)程中隨機(jī)噪聲會(huì)對(duì)高鐵沉降變形預(yù)測(cè)和數(shù)據(jù)質(zhì)量分析造成較大影響。 因此，為了掌握高鐵沉降變形規(guī)律，并對(duì)其未來(lái)的變形趨勢(shì)做出準(zhǔn)確預(yù)判，需要建立一種合適的算法模型，以便達(dá)到準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)結(jié)果[2-3]。 已有許多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究，文鴻雁等將小波去噪與GM(1，1)模型組應(yīng)用于高鐵線下工程，認(rèn)為用小波去噪處理后的數(shù)據(jù)建立GM(1，1)模型模擬精度和預(yù)測(cè)效果較好[4]。 陳晨等將卡爾曼濾波和GM-AR 組合模型運(yùn)用到高層建筑物沉降變形中，認(rèn)為該方法可減弱觀測(cè)噪聲對(duì)數(shù)據(jù)分析的影響，提高監(jiān)測(cè)值的預(yù)測(cè)精度[5-6]。 雷孟飛等將自適應(yīng)卡爾曼濾波運(yùn)用到BDS 變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理中，認(rèn)為自適應(yīng)卡爾曼濾波對(duì)粗差的剔除效果明顯優(yōu)于普通卡爾曼濾波，并且能夠保留被監(jiān)測(cè)物的真實(shí)位移[7-8]。

目前，在高鐵沉降變形中運(yùn)用組合模型分析的案例較少，而高鐵沉降變形監(jiān)測(cè)成果精度要求較高。 因此，在前人研究的基礎(chǔ)上，提出了一種適用于高鐵沉降分析的新方法，其主要思想為:選擇經(jīng)典卡爾曼濾波與方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波兩個(gè)不同算法中濾波效果較好的對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行消噪處理，然后利用GM(1，1)-AR 模型對(duì)濾波值進(jìn)行建模預(yù)測(cè)。

1 組合模型算法理論

1.1 卡爾曼濾波算法

經(jīng)典卡爾曼濾波算法可以用如下兩個(gè)方程表示

式中，Xk為狀態(tài)向量(n 維)；Lk為觀測(cè)向量(m維)；Φk/k-1轉(zhuǎn)移矩陣(n×n)；Wk-1動(dòng)態(tài)噪聲(r 維)；Fk-1為動(dòng)態(tài)噪聲矩陣(n×r)；Hk為觀測(cè)矩陣(m×n)；Vk為觀測(cè)噪聲(m 維)。

根據(jù)最小二乘原理，可以推得離散隨機(jī)系統(tǒng)的卡爾曼濾波遞推公式，一步預(yù)測(cè)值為

在給定了初始值^X0、^P0后，就可以運(yùn)用式(3)～式(7)進(jìn)行卡爾曼濾波遞推公式計(jì)算，實(shí)現(xiàn)濾波以及有效剔除隨機(jī)誤差干擾噪聲的影響。

方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波的基本原理用公式表示如下。

假定有正態(tài)序列{Ωk}和{Δk}，X0是正態(tài)向量，則定義i 步預(yù)測(cè)殘差為

式中，Vk+i表示預(yù)報(bào)殘差，Lk+i為第k+i 期的觀測(cè)值，^Lk+i是Lk+i的最佳預(yù)測(cè)值。

若 在 觀 測(cè) 時(shí) 間 段 tk+1， tk+2… tk+N內(nèi)， 假 定DΩr-1Ωr-1為常值對(duì)角陣，記

式(11)是關(guān)于diagDΩΩ的線性方程組，當(dāng)N≥r 時(shí)有唯一解，有

根據(jù)上述各式，可求得任意長(zhǎng)度時(shí)間段的DΩΩ作為動(dòng)態(tài)噪聲協(xié)方差陣的實(shí)時(shí)估計(jì)[8-11]。

1.2 GM(1，1)模型

在研究少數(shù)據(jù)、小樣本、貧信息等不確定性問(wèn)題上，GM(1，1)模型有著極大的優(yōu)勢(shì)[12-13]，原理如下。

若有一組非負(fù)的初始時(shí)間序列可以表示為x(0)(k)={x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)}，其中，n 為序列長(zhǎng)度，k=1，2，…，n。 第一次累加該原始序列后生成序列(1-AGO)

對(duì)式(13)進(jìn)行時(shí)間求導(dǎo)，得到GM(1，1)模型的影子方程

式中，a、b 為待定系數(shù)，a 稱為發(fā)展灰數(shù)，b 稱為灰作用量。 方程(9)求解，可得到影子方程的時(shí)間響應(yīng)式，即

1.3 AR 自回歸模型

設(shè)時(shí)間序列{yk}具有正態(tài)、平穩(wěn)、零均值的特性[14-15]，其自回歸模型為

式中，φ1，φ2，…，φp是自回歸模型參數(shù)，ak為白噪聲序列，p 為模型階數(shù)。

令k=p+1，p+2，…，N，則

對(duì)p 取值(正整數(shù))，令p=1，2，…n，可得到AR(1)，AR(2)，…，AR(n)。

AR 模型的參數(shù)采用最小二乘法估計(jì)，對(duì)模型階數(shù)p 的確定采用最小信息準(zhǔn)則(AIC)，即

式中，p 為序列數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)，使式(8)值達(dá)到最小所對(duì)應(yīng)的p 為最佳階數(shù)，p 值一般不大于5，σ2為各階數(shù)對(duì)應(yīng)的殘差方差。

1.4 基于方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波的GMAR 模型

基于方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波的GM-AR 模型算法的研究思路為:對(duì)比分析經(jīng)典卡爾曼濾波與方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波兩個(gè)不同算法對(duì)高鐵沉降監(jiān)測(cè)值消噪的適用性，選取其中效果較好的方法對(duì)原始觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波消噪處理，獲取有效地變形量，然后利用GM(1，1)模型對(duì)濾波值進(jìn)行建模預(yù)測(cè)，提取其中的趨勢(shì)項(xiàng)，最后利用AR 時(shí)間序列模型對(duì)殘差序列進(jìn)行建模預(yù)測(cè)，并與單一的GM(1，1)模型和GM(1，1)-AR 模型的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，以此得到新模型的預(yù)測(cè)精度以及可靠性。

2 工程實(shí)例分析

2.1 實(shí)驗(yàn)案例簡(jiǎn)介

高速鐵路沉降監(jiān)測(cè)中布設(shè)的監(jiān)測(cè)點(diǎn)較多，監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)量較大。 以某工程隊(duì)在其項(xiàng)目標(biāo)段內(nèi)的高速鐵路L052 號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)共30 期的觀測(cè)數(shù)據(jù)為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，原始觀測(cè)值如表1 所示。

表1 L052 號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)前20 期沉降監(jiān)測(cè)值

續(xù)表1

研究步驟為:①采用經(jīng)典卡爾曼濾波與方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波分別對(duì)L052 號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)前10 期的實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理，選取濾波效果較好的一組數(shù)據(jù)作為該點(diǎn)實(shí)際變形值；②對(duì)實(shí)際變形值采用GM(1，1)-AR 模型進(jìn)行建模后再對(duì)其后20 期數(shù)據(jù)進(jìn)行模型預(yù)測(cè)，得到其預(yù)測(cè)值，再根據(jù)實(shí)際監(jiān)測(cè)值與預(yù)測(cè)值的殘差大小來(lái)檢驗(yàn)預(yù)測(cè)結(jié)果的可靠性。

2.2 兩種濾波方法結(jié)果比較

此次實(shí)驗(yàn)中，卡爾曼濾波模型的狀態(tài)參數(shù)采用L052 號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的初始位置和沉降速率，動(dòng)態(tài)參數(shù)采用加速度，以此確定觀測(cè)噪聲協(xié)方差陣DΔ(0)= 2，動(dòng)態(tài)噪聲協(xié)方差陣為DΩ(0)= 0.5，濾波初始值為X(0)=[0.34，0.002 3]T，DX(0)=圖1 和表2 為不同濾波方法對(duì)監(jiān)測(cè)點(diǎn)前10 期實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的濾波結(jié)果。

圖1 不同濾波方法結(jié)果對(duì)比

表2 L052 號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)沉降值與濾波值比較 mm

根據(jù)表2 中的結(jié)果，計(jì)算出兩種不同方法的信噪比和均方差，結(jié)果如表3 所示。

表3 兩種濾波方法精度對(duì)比

從表3 中可以看出，方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波較經(jīng)典卡爾曼濾波信噪比大，但均方差小，這說(shuō)明前一種方法對(duì)于誤差的剔除效果要優(yōu)于后一種方法，且監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)曲線的整體變化趨勢(shì)更加平穩(wěn)。 因此，選擇方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波算法的濾波結(jié)果作為L(zhǎng)052 號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的實(shí)際變形值來(lái)進(jìn)行后續(xù)的建模和預(yù)測(cè)。

2.3 建模預(yù)測(cè)與精度評(píng)定

在2.2 節(jié)中得到監(jiān)測(cè)點(diǎn)實(shí)際變形值的基礎(chǔ)上，采用GM(1，1)灰度模型對(duì)其進(jìn)行建模后得到相應(yīng)的殘差序列，利用AR 模型對(duì)殘差序列進(jìn)行建模，再預(yù)測(cè)該監(jiān)測(cè)點(diǎn)后20 期的變形數(shù)據(jù)。 同時(shí)，以前10 期未經(jīng)濾波的實(shí)測(cè)值為基礎(chǔ)，分別采用GM(1，1)、GM(1，1)-AR 模型進(jìn)行建模，同樣對(duì)后20 期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。 預(yù)測(cè)結(jié)果如表4 所示。

3 種不同方法的預(yù)測(cè)結(jié)果如圖2。

3 種模型預(yù)測(cè)精度比較見(jiàn)表5。

表4 不同方法預(yù)測(cè)結(jié)果比較 mm

圖2 不同方法預(yù)測(cè)結(jié)果

表5 不同方法預(yù)測(cè)精度比較 mm

從圖2 中可以看出，GM(1，1)模型的預(yù)測(cè)值的曲線走向與實(shí)際監(jiān)測(cè)值的曲線走向差距最大，基于方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波的GM(1，1)-AR 組合模型的預(yù)測(cè)值的曲線走向最接近實(shí)際監(jiān)測(cè)值的曲線走向，且曲線也更為平滑。 由此可見(jiàn)，相比兩種較單一的模型，組合模型隨著時(shí)間的推移，更接近實(shí)際值。

從表5 中可以看出，新方法得出的預(yù)測(cè)值的平均殘差、平均絕對(duì)誤差、殘差方差分別為0.033 0 mm、0.007 3 mm、0.000 1 mm，且平均殘差、平均絕對(duì)誤差、殘差方差分別為 GM(1，1)、GM(1，1)-AR 模型的6.4%、6.0%、0.5%、17.6%、13.1%、2.1%，其預(yù)測(cè)精度遠(yuǎn)高于GM(1，1)、GM(1，1)-AR 模型，且較文獻(xiàn)[5]與文獻(xiàn)[6]中得到的平均殘差、平均絕對(duì)誤差以及殘差方差更小。 由此可見(jiàn)，相較于經(jīng)典卡爾曼濾波算法，方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波算法對(duì)沉降曲線中波動(dòng)較大的點(diǎn)的濾波效果明顯較優(yōu)，曲線整體平穩(wěn)性更好，且相較于另外兩種預(yù)測(cè)模型，新組合模型預(yù)測(cè)精度更高，預(yù)測(cè)結(jié)果也更接近真實(shí)值。

3 結(jié)論

(1)在高鐵變形監(jiān)測(cè)分析中，方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波算法相比經(jīng)典卡爾曼濾波算法，其信噪比較大，均方差較小，其曲線變化也更為平穩(wěn)。 說(shuō)明方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波結(jié)果精度更高，效果更好，可在很大程度上削弱隨機(jī)誤差的干擾。

(2)基于方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波的GM(1，1)-AR 組合模型對(duì)高鐵監(jiān)測(cè)點(diǎn)變形值的預(yù)測(cè)精度遠(yuǎn)高于其余兩種模型，且其預(yù)測(cè)值的變化趨勢(shì)很接近實(shí)際監(jiān)測(cè)值的變化趨勢(shì)。

(3)基于方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波的GM(1，1)-AR 組合模型在一定程度上汲取了3 種模型各自的優(yōu)勢(shì)，突破了利用單一模型進(jìn)行變形預(yù)測(cè)的局限性，在高鐵建設(shè)階段的變形監(jiān)測(cè)實(shí)例分析中具有一定的運(yùn)用價(jià)值。