齊夢晨，張肖雄，賀佳

基于改進(jìn)觀測方程的非線性恢復(fù)力免模型識別方法

齊夢晨，張肖雄，賀佳

(湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院 風(fēng)工程與橋梁工程湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長沙 410082)

現(xiàn)有的非線性恢復(fù)力參數(shù)化識別方法需已知非線性模型，并明確模型中參數(shù)的物理意義，而非參數(shù)化方法(如基于各類多項(xiàng)式的識別方法)往往難以準(zhǔn)確識別突變處的恢復(fù)力。為進(jìn)一步改進(jìn)方法，提出一種非線性恢復(fù)力免模型識別法。該方法利用改進(jìn)的觀測方程，將非線性恢復(fù)力視作虛擬外激勵，無需對非線性恢復(fù)力做參數(shù)化或非參數(shù)化模型假設(shè)，利用最小二乘和擴(kuò)展卡爾曼濾波原理，同步識別結(jié)構(gòu)參數(shù)和非線性恢復(fù)力，并且通過多次整體迭代保證識別結(jié)果穩(wěn)定收斂。以含有Bingham模型和分段線性系統(tǒng)的5層框架數(shù)值模型為例，驗(yàn)證了該方法的有效性，并將其識別結(jié)果與基于切比雪夫多項(xiàng)式模型的非參數(shù)化識別方法進(jìn)行對比，體現(xiàn)了該方法在識別恢復(fù)力非平滑處的優(yōu)越性。

非線性恢復(fù)力；全局迭代；擴(kuò)展卡爾曼濾波；虛擬外激勵；免模型識別；

土木結(jié)構(gòu)受某些因素影響，例如強(qiáng)動力荷載、疲勞累積、環(huán)境腐蝕等，易產(chǎn)生不同程度的損傷，從而影響結(jié)構(gòu)安全、縮短使用壽命，甚至產(chǎn)生破壞，給人民生命財(cái)產(chǎn)造成損失。因此，有效識別結(jié)構(gòu)損傷、評估結(jié)構(gòu)健康狀況顯得十分重要?；诮Y(jié)構(gòu)動力響應(yīng)信息，識別結(jié)構(gòu)參數(shù)變化，進(jìn)而判斷結(jié)構(gòu)損傷程度是目前損傷識別常用方法之一[1-2]。然而，在動力荷載作用下，結(jié)構(gòu)損傷的發(fā)生、發(fā)展過程往往具有非線性特征，基于結(jié)構(gòu)模態(tài)信息或特征值提取的損傷識別方法將不再適用，因此，發(fā)展適合非線性系統(tǒng)的損傷識別方法具有重要意義。非線性恢復(fù)力(Nonlinear Restoring Force, NRF)往往與結(jié)構(gòu)速度或位移有關(guān)，不僅可以表征結(jié)構(gòu)非線性發(fā)生發(fā)展的過程，還可以定量評估結(jié)構(gòu)在振動過程中耗能特性，因此，研究結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力識別方法對非線性結(jié)構(gòu)損傷識別具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。目前，非線性恢復(fù)力的識別方法基本可分為參數(shù)化識別和非參數(shù)化識別。參數(shù)化識別方法以非線性恢復(fù)力模型為基礎(chǔ)，并往往要求模型參數(shù)具有物理意義。非線性模型眾多，因此，針對不同的對象、不同的研究目標(biāo)，有不同的參數(shù)化識別方法。由于篇幅限制和研究相關(guān)性，本文僅給出了近年來發(fā)展的基于擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter, EKF)的一些非線性參數(shù)化識別方法?；贓KF算法，LEI等[3]提出了部分觀測信息下的非線性參數(shù)識別方法，并通過Bouc-Wen模型數(shù)值算例驗(yàn)證了方法的有效性。利用直接微分方法，Ebrahimian 等[4]提出了基于EKF的非線性模型修正方法。通過依次采用EKF和無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter, UKF)，LIU等[5]提出了非線性系統(tǒng)參數(shù)的分步識別方法。針對非線性時變系統(tǒng)，XIAO等[6]提出了基于EKF的自適應(yīng)識別法。為考慮模型非確定性，Astroza等[7-8]提出了基于自適應(yīng)非線性模型修正方法，并與基于卡爾曼濾波(Kalman Filter, KF)的模型修正方法進(jìn)行了比較。以上各種基于EKF的非線性識別方法，在有效識別了非線性參數(shù)后，均能計(jì)算得到結(jié)構(gòu)的非線性恢復(fù)力。然而，一旦非線性模型不確定，以上方法就不再適用，因此，不少學(xué)者開展了非參數(shù)化識別方法的研究。類似的，這里僅給出了基于EKF的一些非參數(shù)化識別方法。XU等[9-10]提出了基于雙重切比雪夫多項(xiàng)式的非線性恢復(fù)力識別方法，并通過安裝有形狀記憶合金阻尼器的鋼框架模型實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的可行性。LIU等[11]將非線性系統(tǒng)等效線性化后，采用EKF對非線性進(jìn)行定位，進(jìn)而基于UKF識別該用冪級數(shù)多項(xiàng)式描述的非線性恢復(fù)力。利用冪級數(shù)多項(xiàng)式表征NRF，LEI等[12-13]提出了基于等價線性理論和EKF的非線性識別方法。ZHANG等[14]將非線性恢復(fù)力線性化，根據(jù)響應(yīng)重構(gòu)識別弱非線性框架的剛度和阻尼。SU等[15]提出兩步非線性恢復(fù)力識別法，在結(jié)構(gòu)非線性行為較弱時，將非線性系統(tǒng)等效成線性系統(tǒng)，基于EKF原理識別結(jié)構(gòu)參數(shù)后，再將非線性恢復(fù)力視作“未知外激勵”采用KF-UI(Kalman Filter with unknown input)算法進(jìn)行識別。利用線性結(jié)構(gòu)參數(shù)，李靖等[16]提出了基于等價線性原理和UKF的NRF免參數(shù)識別方法。同樣利用線性結(jié)構(gòu)參數(shù)，雷鷹等[17]借助EKF和最小二乘(Least Squares Estimation, LSE)對結(jié)構(gòu)橡膠支座非線性部分免參數(shù)識別。許斌等[18-19]還提出基于切比雪夫多項(xiàng)式和冪級多項(xiàng)式的EKF免參數(shù)識別方法。以上基于各類多項(xiàng)式的非參數(shù)識別方法均能有效識別結(jié)構(gòu)的非線性特征，然而，在某種程度上，這些方法仍依賴于選取的非參數(shù)化模型的合理性和有效性，同時，由于多項(xiàng)式模型的本身的特性，在非線性恢復(fù)力非平滑處往往難以實(shí)現(xiàn)可靠識別。本文提出一種基于改進(jìn)觀測方程的非線性恢復(fù)力免模型識別方法，該方法將非線性恢復(fù)力視為“虛擬外激勵”，利用投影矩陣，獲得了一種不顯式包含該“虛擬外激勵”的觀測方程，基于LSE和EKF原理，實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)狀態(tài)的遞推估計(jì)和非線性恢復(fù)力的同步識別。此外，為確保識別結(jié)果穩(wěn)定收斂，該方法在一次迭代過程結(jié)束時，將遞推估計(jì)的結(jié)構(gòu)參數(shù)最終識別值作為下一個迭代的初始值，重復(fù)上述過程，直至滿足收斂條件。

1 理論推導(dǎo)

一般的，非線性結(jié)構(gòu)的運(yùn)動平衡方程可寫成：

將非線性恢復(fù)力視作“虛擬外激勵”，則式(1)可寫成，

其中

文中假設(shè)觀測了部分加速度響應(yīng)，則離散化的觀測方程為：

式中：為第步的加速度響應(yīng)觀測值；為位置觀測矩陣；為均值為0；協(xié)方差為的觀測噪聲。

式(7)和式(8)之間的估計(jì)誤差可寫成：

其中

圖1 基于EKF的非線性恢復(fù)力免模型識別流程圖

圖2 基于EKF的全局迭代流程圖

2 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證算法的有效性，對圖3所示的含有非線性構(gòu)件的5層框架結(jié)構(gòu)在2種工況下的非線性恢復(fù)力進(jìn)行了免模型識別。結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)為m=500 kg，k=1.5×105N/m。這里，考慮底層分別存在2種不同的非線性模型，即Bingham模型和分段線性模型。此外，為考察外激勵位置和形式對識別結(jié)果的影響，分別考慮了2種荷載工況，即作用于結(jié)構(gòu)第2層的隨機(jī)激勵和作用于基底的地震荷載。

圖3 數(shù)值模型

2.1 工況1：Bingham模型

在工況1中，假設(shè)隨機(jī)外激勵作用于結(jié)構(gòu)第2層，非線性構(gòu)件的力學(xué)行為由Bingham模型描述，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其中：為層間速度，均為Bingham模型參數(shù)，這里取，，=0 N。外激勵作用時間為3 s，如圖4所示。

此工況中，結(jié)構(gòu)阻尼采用瑞利阻尼模型，阻尼系數(shù)取值=0.220 3；=0.003 1。結(jié)構(gòu)響應(yīng)由龍格庫塔法計(jì)算得出，計(jì)算時間步長為0.001 s。由于實(shí)際情況中，實(shí)測信號不可避免地存在噪聲，故在觀測信號中引入5%的噪聲。取結(jié)構(gòu)第1，2，3和5層的加速度響應(yīng)作為觀測量，假設(shè)結(jié)構(gòu)參數(shù)初始值為真實(shí)值的50%。并且假定當(dāng)<0.00 5時，迭代過程結(jié)束。

計(jì)算過程在迭代4次后結(jié)束，結(jié)構(gòu)參數(shù)最終識別結(jié)果及相對誤差如表1所示?？梢钥闯?，最大誤差只有-1.04%，識別結(jié)果相對準(zhǔn)確。圖5進(jìn)一步給出了第1次迭代和最后一次迭代的參數(shù)識別結(jié)果，受篇幅限制，這里僅給出了第一層的剛度1以及阻尼系數(shù)的識別結(jié)果。由圖中不難看出，在第1次迭代中，雖然剛度識別結(jié)果較好，但是阻尼系數(shù)并未穩(wěn)定收斂；在最后一次迭代中，剛度和阻尼系數(shù)在整個遞推過程中均穩(wěn)定收斂于真實(shí)值附近。圖6為識別的NRF，可以看出識別值與真實(shí)值吻合 較好。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)識別結(jié)果

2.2 工況2：分段線性模型

工況2假設(shè)以峰值加速度為3.4的El Centro地震波作用于該結(jié)構(gòu)，底層的非線性模型采用分段線性模型，如圖7所示，其表達(dá)式如下：

(a)1(第1次迭代)；(b)1(第4次迭代)；(c)(第1次迭代)；(d)(第4次迭代)

圖5 參數(shù)識別結(jié)果

Fig. 5 Identified structural parameters

(a) 時程曲線；(b) 滯回曲線

為考察阻尼的影響，該工況中結(jié)構(gòu)采用黏滯阻尼模型，取值為c=350 (N?s)/m，(=1,2,…,5)。結(jié)構(gòu)非線性時程響應(yīng)同樣由龍格庫塔法求得，計(jì)算步長設(shè)為0.001 s。假設(shè)結(jié)構(gòu)第1，2，3和5層的加速度響應(yīng)為觀測量，考慮5%的噪聲影響。結(jié)構(gòu)參數(shù)初始值取為結(jié)構(gòu)參數(shù)真實(shí)值的30%，同樣假定當(dāng)<0.005時，迭代過程結(jié)束。

識別過程在迭代3次后結(jié)束，最終識別結(jié)果及相對誤差如表2所示，從表2中不難看出，最大識別誤差為-2.62%，識別結(jié)果可靠。為進(jìn)一步了解計(jì)算過程中參數(shù)收斂情況，圖8給出了第1次和最后一次迭代過程中的結(jié)構(gòu)剛度和阻尼系數(shù)的識別情況，由于篇幅限制，僅給出了第4層(未觀測加速度層)的結(jié)構(gòu)參數(shù)識別過程。從圖8中同樣可以看出，在第1次迭代過程中，雖然結(jié)構(gòu)剛度參數(shù)收斂得較好，但是阻尼系數(shù)不能穩(wěn)定收斂；在最后一次迭代中，剛度和阻尼參數(shù)均穩(wěn)定收斂于真實(shí)值。

圖7 分段線性模型

表2 結(jié)構(gòu)參數(shù)識別結(jié)果

(a) k4(第1次迭代)；(b) k4(第3次迭代)；(c) c4(第1次迭代)；(d) c4(第3次迭代)

為了表明算法在識別恢復(fù)力非平滑點(diǎn)處的優(yōu)越性，這里也采用基于高階切比雪夫多項(xiàng)式(待識別系數(shù)高達(dá)25個)的非參數(shù)化方法識別了結(jié)構(gòu)的NRF。圖9(a)比較了2種方法的識別結(jié)果，從圖中可以看出，本文方法的NRF識別值與真實(shí)值吻合更好，尤其在剛度突變處。為便于比較，圖9(b)給出了2種結(jié)果識別誤差的時程曲線，從圖中不難看出，本文提出的方法的識別誤差普遍低于基于切比雪夫多項(xiàng)式的非參數(shù)化方法的識別誤差。為進(jìn)一步對比分析，以層間位移為橫坐標(biāo)，圖9(c)給出了2種方法的誤差對比，圖9中點(diǎn)畫線表示臨界相對位移，即剛度突變處，從圖9(c)可以看出，在剛度突變點(diǎn)處本文方法的識別誤差明顯小于基于切比雪夫多項(xiàng)式識別的誤差。

(a) 識別值與真實(shí)值比較；(b) 誤差比較(時間為橫坐標(biāo))；(c) 誤差比較(相對位移為橫坐標(biāo))

3 結(jié)論

1) 提出一種基于改進(jìn)觀測方程的非線性恢復(fù)力免模型識別方法，該方法將NRF視作虛擬外激勵，因而，無需提前對其做參數(shù)化或非參數(shù)模型 假設(shè)。

2) 利用投影矩陣，獲得了改進(jìn)的觀測方程，并基于LSE和EKF原理，同步識別了結(jié)構(gòu)相關(guān)參數(shù)和對應(yīng)的NRF的時程信息，并通過經(jīng)過多次整體迭代，有效保證了識別結(jié)果穩(wěn)定收斂。

3) 文中通過一個安裝有Bingham模型和分段線性模型的5層框架數(shù)值模型驗(yàn)證了該方法的可行性，并與基于高階切比雪夫多項(xiàng)式的NRF識別方法進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)本文提出的方法能更有效地識別剛度突變處的恢復(fù)力大小。

[1] LI Jun, HAO Hong. A review of recent research advances on structural health monitoring in Western Australia[J]. Structural Monitoring and Maintenance, 2016, 3(1): 33- 49.

[2] XU Youlin, HE Jia. Smart civil structures[M]. Boca Raton: CRC Press, 2017: 333-389.

[3] LEI Ying, WU Yan, LI Tao. Identification of nonlinear structural parameters under limited input and output measurements[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2012, 47(10): 1141–1146.

[4] Ebrahimian H, Astroza R, Conte J P. Extended Kalman filter for material parameter estimation in nonlinear structural finite element models using direct differentiation method[J]. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 2015, 44(10): 1495-1522.

[5] LIU Lijun, LEI Ying, HE Mingyu. A two-stage parametric identification of strong nonlinear structural systems with incomplete response measurements[J]. International Journal of Structural Stability and Dynamics, 2016(16): 1640022

[6] XIAO Mengli, ZHANG Yongbo, WANG Zhihua. An adaptive three-stage extended Kalman filter for nonlinear discrete-time system in presence of unknown inputs[J]. ISA Transactions, 2018(75): 101-117.

[7] Astroza R, Alessandri A, Conte J P. A dual adaptive filtering approach for nonlinear finite element model updating accounting for modeling uncertainty[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2019(115): 782-800.

[8] Astroza R, Ebrahimian H, Conte J P. Performance comparison of Kalman-based filters for nonlinear structural finite element model updating[J]. Journal of Sound Vibration, 2019(438): 520-542.

[9] XU Bin, HE Jia, DYKE S J. Model-free nonlinear restoring force identification for SMA dampers with double Chebyshev polynomials: Approach and validation [J]. Nonlinear Dynamics, 2015, 82(3): 1507-1522.

[10] Xu Bin, He Jia, Masri S F. Data-based model-free hysteretic restoring force and mass identification for dynamic systems[J]. Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering, 2015, 30(1): 2-18.

[11] Liu Lijun, Lei Ying, He Mingyu. Locating and identifying model-free structural nonlinearities and systems using incomplete measured structural responses [J]. Smart Structures and Systems, 2015, 15(2): 409-424.

[12] Lei Ying, Hua Wei, Luo Sujuan, et al. Detection and parametric identification of structural nonlinear restoring forces from partial measurements of structural responses [J]. Structural Engineering and Mechanics, 2015, 54(2): 291-304.

[13] Lei Ying, Luo Sujuan, He Mingyu. Identification of model-free structural nonlinear restoring forces using partial measurements of structural responses[J]. Advances in Structural Engineering, 2017, 20(1): 69-80.

[14] Zhang Genbei, Zang Chaoping, Friswell M I. Identification of weak nonlinearities in MDOF systems based on reconstructed constant response tests [J]. Archive of Applied Mechanics, 2019, 89(10): 2053- 2074.

[15] Su Han, Yang Xiongjun, Liu Lijun, et al. Identifying nonlinear characteristics of model-free MR dampers in structures with partial response data[J]. Measurement, 2018, 130: 362-371.

[16] 李靖, 許斌. 部分觀測下結(jié)構(gòu)質(zhì)量及非線性恢復(fù)力免模型識別[J]. 噪聲與振動控制, 2019, 39(1): 160-165. LI Jing, XU Bin. Identification of structural mass and model free nonlinear restoring forces with partial measurements[J]. Noise and Vibration Control, 2019, 39(1): 160-165.

[17] 雷鷹, 何明煜, 林樹枝. 結(jié)構(gòu)中基底橡膠隔震支座非線性特性的無模型識別[J]. 振動與沖擊, 2013, 32(20): 1-4. LEI Ying, HE Mingyu, LIN Shuzhi. Model free identification of nonlinear properties of rubber-bearings in base-isolated buildings[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(20): 1-4.

[18] 許斌, 王云. 利用部分加速度測量的結(jié)構(gòu)滯回特性免模型識別[J]. 工程力學(xué), 2018, 35(2): 180-187. XU Bin, WANG Yun. Model free structural hysteritic behavior identification with limited acceleration measurements[J]. Engineering Mechanics, 2018, 35(2): 180-187.

[19] 許斌, 辛璐璐, 賀佳. 基于切比雪夫多項(xiàng)式模型的多自由度結(jié)構(gòu)非線性恢復(fù)力時域識別[J]. 工程力學(xué), 2014, 31(11): 99-109. XU Bin, XIN Lulu, HE Jia. Time domain nonlinear- restoring force identification for MD of structures with chebyshev polynomial model[J]. Engineering Mechanics, 2014, 31(11): 99-109.

Identification of nonlinear restoring force in a model-free manner based on revised observation equation

QI Mengchen, ZHANG Xiaoxiong, HE Jia

(Key Laboratory of Wind and Bridge Engineering of Hunan Province, College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)

The existing parametric approaches for the identification of nonlinear restoring force (NRF) basically require their deterministic NRF models and have to clarify the physical meaning of each parameter. For many nonparametric techniques, their nonparametric models or approximations may result in undesirable results or oscillations around unsmooth points. Therefore, based on the revised observation equation, a model-free NRF identification approach was proposed in this study. The NRF to be identified was treated as “unknown fictitious input”, and thus the prior knowledge of the expression of NRF was not required. The revised observation equation, where the unknown NRF was implicitly involved, was employed. Based on the principle of least squares estimation (LSE) and extended Kalman filter (EKF), the formulas of the proposed approach for the identification of NRF were then derived. The structural parameters and the NRF could be simultaneously identified. A global iteration procedure was employed to assure the convergence of the identification results. The effectiveness of the proposed approach is numerically verified via a five-story building equipped with Bingham model and piecewise linear model. As compared with the nonparametric identification method using Chebyshev polynomial model, the superiority of the proposed method in identifying the non-smoothness of NRF is demonstrated.

nonlinear restoring force; global iteration; extended Kalman filter; unknown fictitious input; model-free identification

TU3

A

1672 - 7029(2020)11 - 2729 - 09

10.19713/j.cnki.43-1423/u.T20200068

2020-01-20

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51708198)；湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2018JJ3054)

賀佳(1983-)，男，湖南長沙人，副教授，博士，從事結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測及系統(tǒng)識別研究；E-mail：jiahe@hnu.edu.cn

(編輯 蔣學(xué)東)