于文莉， 周曉軍

(上海交通大學 工業(yè)工程與管理系，上海 200240)

狀態(tài)維護的有效實施取決于對設備合理的狀態(tài)評估與維護決策.隨著制造系統(tǒng)的日益復雜，設備內部各關鍵部件性能退化的隨機相關性問題日漸突出[1-2]，部件退化進程的相互影響變得不可忽略，這意味著傳統(tǒng)維護理論中對部件退化的獨立性假設將不再適用.為此，如何將部件退化的隨機相關性引入狀態(tài)維護以更為準確地識別設備的性能狀態(tài)和維護需求，是當前狀態(tài)維護建模亟待解決的新問題.

目前，面向復雜系統(tǒng)部件隨機相關性的研究大多圍繞故障交互進行，已有學者分別針對部件故障率交互[3-4]、故障沖擊損害交互[5]等問題提出相應的交互模型.但由于故障數(shù)據(jù)的收集對于系統(tǒng)的運行時長要求較高，基于故障交互理論的應用存在較大的限制.為此，有學者基于動態(tài)監(jiān)測下的部件退化過程數(shù)據(jù)，通過分析退化狀態(tài)與退化速率的影響關系以解構多部件之間的退化交互作用.Wang等[6]通過分析隨機沖擊對部件退化增量與退化速率的影響，構建了多部件隨機交互協(xié)同退化過程模型.Bian等[7]基于連續(xù)監(jiān)測下的傳感信號構建多部件退化交互模型，并實現(xiàn)動態(tài)交互下的部件剩余壽命預測.Shen等[8]通過引入交互矩陣以刻畫部件狀態(tài)惡化對相關部件退化量或退化速率的沖擊作用.然而，上述退化交互模型多假設部件隨狀態(tài)連續(xù)退化交互.實際上，由于復雜系統(tǒng)中存在的結構相關性，當某一部件的累計退化量高于特定的閾值水平時，其他部件的退化加速程度常會產(chǎn)生突變，比如常見的連桿軸承機構中，若軸承發(fā)生嚴重程度的磨損或形變，將導致傳動連桿配合不良，使得振動異常且加速老化.顯然，現(xiàn)有交互模型尚未考慮部件的不同狀態(tài)對退化交互效應的影響嚴重程度.此外，上述研究均未涉及上層的維護建模問題，尚無法解析維護動作對交互型部件退化過程所產(chǎn)生的作用.

針對多部件退化交互系統(tǒng)的狀態(tài)維護建模問題，Rasmekomen等[9]以部件退化交互損失函數(shù)與維護成本為目標建立多部件系統(tǒng)的多維預防更換閾值決策模型.楊志遠等[10]在區(qū)分主要部件和輔助部件的基礎上，提出了針對分類部件的退化交互型預防更換策略，并以單位時間維修費用最小為目標構建維修決策優(yōu)化模型.現(xiàn)有的研究大多只考慮部件各自的維護閾值優(yōu)化，而缺少對多部件系統(tǒng)維護活動的整體優(yōu)化.目前，針對多部件交互系統(tǒng)的整體維護策略研究相對較少.Mercier等[11]提出了動態(tài)交互下兩部件成組更換的閾值型預防維護策略，并基于Markov更新過程理論構建維護決策模型.Li等[12]基于雙部件并聯(lián)系統(tǒng)退化的隨機相關性與成組更換的經(jīng)濟相關性，提出了Copula交互下的概率閾值型維護合并規(guī)則.Do等[13]通過引入各相關部件的機會維護閾值以合并維護作業(yè)，同時基于Monte Carlo仿真優(yōu)化雙部件的更換閾值.上述研究中僅考慮了雙部件交互系統(tǒng)的成組更換，尚未能推廣應用于兩部件以上組成的系統(tǒng)維護，且更換閾值是基于長期規(guī)劃得到的靜態(tài)結果，忽略了各部件退化交互過程的動態(tài)特性以及由此導致的個性化維護需求.顯然，針對由更多部件組成的交互系統(tǒng)，閾值型成組更換策略尚有欠缺，結合各個部件的狀態(tài)進行短期動態(tài)規(guī)劃更為合理.此外，以上研究仍基于連續(xù)交互型的退化機制，且假設部件修復如新，缺少對退化交互型部件的修復非新機制的綜合考量.

本文面向多部件可修復系統(tǒng)，以退化狀態(tài)作為影響退化速率突變的關鍵因素，構建多部件分級退化交互模型；基于交互系統(tǒng)整體狀態(tài)，引入變周期檢測機制；通過分析修復非新對交互部件短期失效風險的改善程度，提出成本節(jié)約型的機會維護動態(tài)決策指標；建立結合變周期檢測與修復非新的多部件退化交互系統(tǒng)機會維護動態(tài)決策模型，以有效降低多部件退化交互型系統(tǒng)的單位時間總維護成本.

1 部件退化交互建模

考慮一臺由m個關鍵部件組成的設備，Xi(t)表示部件i在t時刻的退化狀態(tài)特征變量(以下簡稱退化量)，i=1,2,…,m.當t=0時，Xi(0)=0，表示部件的初始狀態(tài)全新，Xi(t)≥0，且隨著時間逐漸增大.假設部件i經(jīng)過時長u后的總退化增量為ΔXi(u)，且該增量由兩部分組成：一部分來自于自身的自然退化，另一部分來自于其他部件退化狀態(tài)的交互影響，則部件i的退化模型可定義為

(1)

1.1 部件的獨立退化增量

由于部件性能自然退化過程(如疲勞、磨損等)一般具有隨機性且單調變化，而伽馬過程能較好地表征此類特性，故假設部件的獨立退化增量ΔXii(u)服從伽馬分布Ga(x|αiiu,βi)，其概率密度函數(shù)為

(2)

1.2 部件退化交互增量

部件的退化交互影響程度與部件之間的相互影響關系以及相關部件的性能退化狀態(tài)密切相關.其中，部件之間的相互關系受到多方面因素的影響，如部件之間的結構連接關系(直接連接和間接連接等)、環(huán)境影響關系(受力關系和溫度差別等).為此，引入退化交互因子δij以表征由此類復雜原因形成的綜合退化交互影響關系.此外，考慮到部件的退化交互加速程度隨著相關部件的性能退化而發(fā)生突變，且相關部件越接近失效閾值時產(chǎn)生的退化加速影響越大，為此將部件退化過程進行非等間隔劃分，進而建立離散型退化交互模型.

(3)

Sj(t)=S(Xj(t))=

(4)

(5)

由以上定義可知，考慮交互的多部件退化模型將有別于傳統(tǒng)的獨立退化過程，部件狀態(tài)退化所導致的退化速率躍變不可忽略.以兩部件的退化交互系統(tǒng)為例，比較部件獨立與交互時的退化曲線，如圖1所示.其中：Tk為第k次檢測時間；τk+1為這一次與下一次的檢測間隔時間.由圖1可知，由于受到部件1狀態(tài)退化的影響，部件2的退化速率相對于獨立時明顯加速，達到失效維護閾值的時間也更短.因此，退化交互狀態(tài)下的部件需要更為及時的預防維護.

圖1 兩部件的退化交互過程示意圖

2 維護建模

2.1 基本假設與設定

假設到達既定檢測時間時，對m個部件同時進行檢測，檢測值為部件狀態(tài)真實值，檢測用時忽略不計，檢測后立即進行維護動作.僅考慮部件的退化失效，且失效需通過檢測判定.

(6)

式中：q(0

基于上述假設，在給定的檢測策略與預防維護閾值下，將每次停機維護看作一個機會維護決策階段，通過比較不同部件組合下的機會維護方案帶來的短期效益，動態(tài)獲取該階段機會維護的部件集合，進而對各階段維護成本進行累加以獲得規(guī)劃時間區(qū)間內的總維護成本.在此基礎上，通過最小化單位時間總維護成本獲取優(yōu)化的檢測策略與預防維護閾值.在以上決策過程中，還需完成3方面的建模工作：變周期檢測建模、機會維護動態(tài)決策建模以及規(guī)劃區(qū)間優(yōu)化目標建模，即總維護成本率的建模.

2.2 變周期檢測建模

在業(yè)已構建的退化交互模型下，相關部件的狀態(tài)等級越高，其退化交互速率越大.為此，在部件越接近失效閾值時安排更為頻繁的檢測可有效地規(guī)避失效風險.基于這一考慮，結合Barker等[14]提出的檢測間隔時間函數(shù)，本文將在交互系統(tǒng)整體退化狀態(tài)等級劃分的基礎上建立變周期檢測模型.第k+1次檢測時間定義為

(7)

式中：T0(T0≥1)為設備良好時的基準檢測間隔時間；r(0

2.3 機會維護動態(tài)決策建模

考慮到退化交互，部件的維護將產(chǎn)生兩方面的影響：一是直接降低部件的退化量水平；二是通過降低部件退化狀態(tài)等級從而間接降低對相關部件的退化加速影響.因此，設備停機維護時，部件的機會維護能延緩退化交互的加速效應，進一步提高系統(tǒng)可靠性，但同時增加了機會維護成本.

為了進一步衡量不同部件組合機會維護所帶來的短期效益，引入失效風險節(jié)余成本.由已構建的退化交互模型和變周期檢測模型可知，不同部件組合機會維護前后的狀態(tài)變化將影響系統(tǒng)的下一次檢測間隔時間以及各退化交互部件在下一次檢測前發(fā)生失效的風險水平.為此，計算所有部件階段機會維護的短期收益應包括機會維護前后各部件產(chǎn)生的所有失效風險節(jié)余成本.在此基礎上，將所增加的機會維護成本作為該階段額外增加的短期成本，進而以短期收益與短期成本之差構建動態(tài)機會維護指標，獲取部件機會維護組合.具體建模過程如下.

(1)確定維護后各部件的退化狀態(tài).不同的維護決策與維護動作決定了部件的退化狀態(tài)，考慮維護決策部件i的退化量為

(8)

(9)

(10)

(2)規(guī)劃下一次檢測間隔時間.根據(jù)維護后的部件退化量取值，更新部件狀態(tài)等級，并以θ=[θ1θ2…θm]表示系統(tǒng)各部件維護狀態(tài)向量，則下一次檢測間隔時間為

τk+1(θ)=τk+1([θ1θ2…θm])=

(11)

(12)

在此基礎上，部件i在下一次檢測時(t=Tk+1)達到失效閾值的風險概率可表示為

(13)

(14)

Ik(θ)=Ik(θ1,θ2,…,θm)=

(15)

2.4 維護優(yōu)化目標建模

(16)

結合檢測總次數(shù)K可以求得維護規(guī)劃區(qū)間內的總成本為

(17)

3 算例分析

3.1 算例描述與結果分析

考慮一臺由3個關鍵部件組成的設備，部件的退化速率水平分別為低、中、高，退化交互矩陣為

表1 各部件參數(shù)設置

6種不同的(T0,r)取值組合下總成本率隨q值的變化曲線如圖2所示.由圖2可知，對于不同的取值組合(T0,r)，均存在最優(yōu)的系統(tǒng)預防維護閾值比例因子q使得總成本率最低，進而驗證了迭代法對于求解本算例的可行性.從整體來看，基準檢測間隔時間T0(或檢測間隔調整因子r)越小，最優(yōu)q值取值越大.這是由于部件的頻繁檢測可更為及時地獲取部件退化量，從而保障部件在退化水平較高時才進行預防維護，以更充分地利用部件的剩余使用壽命.而在相同T0下，非等間隔檢測策略(r<1)的總成本率優(yōu)于等間隔檢測策略(r=1)，這是因為檢測間隔調整因子r越小，部件狀態(tài)退化時檢測越頻繁，進而更為有效地防止部件失效，從而降低總成本率.此外，當r值相同時，T0越小，最優(yōu)成本上升，此時是因為部件狀態(tài)良好時檢測頻繁，從而導致檢測成本增加，使得總成本率偏高.

圖2 不同(T0,r)組合下，q與c(q,T0,r)的關系

圖3 不同(T0,r)下的c(q*,T0,r)關系(q*=0.86)

表2 不同(T0,r)下的與最優(yōu)的GAP對比(q*=0.86)

為了進一步驗證模型的合理性，將各部件的失效更換成本取值調整為部件的預防維護成本的不同倍數(shù)，進而分析不同的成本比值對維護決策結果的影響.不同成本比值下的維護決策結果如表3所示.從表3的仿真優(yōu)化結果可知，當部件的失效更換成本接近預防維護成本時，預防維護閾值取值較高且系統(tǒng)檢測周期較長，說明在較小的成本比值下，系統(tǒng)無需過多的預防維護；而隨著成本比值增大，預防維護閾值降低且變周期檢測變得頻繁，說明在較高的失效成本下，應加大對系統(tǒng)的監(jiān)控力度與預防維護力度，以盡量規(guī)避失效帶來的巨大經(jīng)濟損失.

表3 不同成本比值下的維護決策結果

3.2 維護模型對比分析

為驗證所構建的基于退化交互的機會維護動態(tài)決策模型的優(yōu)越性，從兩方面進行對比分析：一是驗證維護決策時考慮退化交互作用的必要性；二是通過對比無機會維護的預防維護模型結果，體現(xiàn)本維護模型對于退化交互可修復系統(tǒng)的維護成本優(yōu)勢.

3.2.1退化交互考慮與否的對比分析 基于決策者忽視部件相關關系的情形(即δ=0)，按照所建維護模型求得使總成本率最低的最優(yōu)決策參數(shù)，作為不考慮退化交互時的決策結果，并以此維護決策結果用于算例中的3部件退化交互系統(tǒng)，求得該組決策參數(shù)下的總成本率，最后與考慮退化交互下的算例結果進行對比.在保持其他參數(shù)設置一致的情況下，優(yōu)化結果如表4所示.

由表4可知，在忽視部件退化交互的情形下，多部件系統(tǒng)采用了間隔相對較短的等周期檢測方式，且預防維護閾值較低，其總成本率比考慮部件退化交互下的優(yōu)化結果高出19.69%，說明對于實際中存在退化交互的多部件系統(tǒng)，忽略部件的退化相關性而做出的維護決策，將導致維護成本偏高.

表4 不同部件相關關系考慮下的維護決策結果對比

不同修復程度下的模型對比結果如表5所示，其中：Q為成本增幅.由表5可知，無論w如何取值，動態(tài)機會維護都能有效降低維護總成本率，尤其在修復程度較低的情況(如w=0.3，0.5)下，動態(tài)機會維護具有顯著的成本優(yōu)勢.當w=0.1時，兩種模型下的最優(yōu)決策參數(shù)一致，此時機會維護下的總成本率仍比較低，這是由于部件發(fā)生失效更換時，其他部件進行機會維護能降低退化交互加速影響，從而降低失效風險，減少失效維護成本.

表5 不同w下的模型結果對比

4 結語

本文針對多部件系統(tǒng)中部件退化狀態(tài)影響退化速率的動態(tài)特點，基于狀態(tài)分級交互思想，構建多部件退化交互模型.在此基礎上，引入考慮系統(tǒng)整體狀態(tài)的變周期檢測機制，建立成本節(jié)約型的多部件退化交互可修復系統(tǒng)機會維護動態(tài)決策模型.3部件退化交互系統(tǒng)的算例分析表明，維護決策時忽視部件退化相關性將導致系統(tǒng)的維護成本偏高.同時，不同修復程度下的模型結果表明，與不考慮機會維護的閾值型預防維護模型相比，機會維護動態(tài)決策模型在多部件交互系統(tǒng)的維護決策中具有成本優(yōu)勢.