江西省瑞金第一中學(342500) 魏東升

我們可能都曾有過這種感受,就是明明對一種事物很熟悉,但隨著我們對其了解的深入,卻出現(xiàn)了越來越陌生的感覺,比如從小到大伴隨我們成長的圓,可謂是大家最熟悉的圖形之一了.但是當其以阿波羅尼斯圓、蒙日圓等這類隱形圓的身份出現(xiàn)在高考題中時,不少人卻陌生了.為此,本文通過例舉蒙日圓在部分有心二次曲線(有對稱中心的二次曲線)問題上的應用,來讓大家感受運用蒙日圓解題的美妙.

在有心二次曲線中,任意兩條相互垂直的切線的交點都在同一個圓上,它的圓心是有心二次曲線的中心,半徑由有心二次曲線的二次項系數(shù)決定,這個圓就是蒙日圓.用符號語言可以表示為:

定理若過一動點P能向有心二次曲線C:mx2+引兩條相互垂直的切線,則該動點P的軌跡是一個圓,其方程為:(當C為雙曲線時,此軌跡不含與漸近線的交點).

證明假設點P(x0,y0),當兩條切線斜率存在且不為0時,設其斜率分別為k1和k2,并設經(jīng)過點P的切線方程為:y=k(x ?x0)+y0,與曲線C的方程mx2+ny2=1 聯(lián)立消去y整理得:

當m+nk2/=0 時,整理得: (n?mnx02)k2+2mnkx0y0?mny02+m=0,可知k1和k2是該方程的兩個根,所以k1k2==?1,整理得:

當m+nk2=0 時,方程①為關于x的一次方程,即不存在滿足題意的兩條相互垂直的切線,此時的點P剛好在雙曲線的漸近線上; 當C為雙曲線時,滿足題設的兩條直線斜率存在且不為0;當C不為雙曲線時,滿足題設的兩條直線斜率不存在或為0,此時點P的坐標為或滿足方程②.

綜上所述,點P的軌跡方程為:x2+y2=(當C為雙曲線時,此軌跡不含與漸近線的交點).

以下筆者將分別從圓、雙曲線和橢圓等三個角度例析蒙日圓的應用.

1 蒙日圓與圓

例1過橢圓=1(a ＞b ＞0)上點P作圓C2:x2+y2=b2的兩條相互垂直的切線,則橢圓C1的離心率的取值范圍是____.

通解設橢圓C1的左頂點為A,圓C2上的兩個切點為M,N.因為橢圓C1的左右頂點離圓C2最遠,所以橢圓上的點和切點所形成的∠MPN中,∠MAN最小,從而要使橢圓C1上的點P作得的圓C2的兩條切線相互垂直,則必須滿足最小的∠MAN≤如圖1,此時即2b2≤a2,解得

圖1

妙解由定理可知,點P是在圓C2的蒙日圓上,其軌跡方程為:x2+y2=b2+b2=2b2.又點P在橢圓C1上,所以橢圓C1和圓C2有公共點,所以2b2≤a2,解得

評析本題通解運算量看似不遜色于妙解,但其難點在于能夠及時把“橢圓C1上的點P作圓C2的兩條切線能相互垂直”轉化為“∠MAN≤并且還需要知道“∠MAN≤和離心率的聯(lián)系,對學生的思維能力和素養(yǎng)要求較高.從這點來說,蒙日圓的優(yōu)勢不言而喻.

2 蒙日圓與雙曲線

例2已知雙曲線=1(a ＞0,b ＞0)的離心率為過點E(?1,0)的雙曲線的兩條切線相互垂直,則雙曲線C的標準方程為____.

通解易知過點E的直線切雙曲線于左支.不妨設在x軸上方的切點為M,x軸下方的切點為N,由雙曲線的對稱性可得直線ME的方程為y=?x ?1,由所以雙曲線的標準方程為=1,和方程y=?x ?1 聯(lián)立得:3x2+ 12x+ 6 + 2c2=0,由Δ=0 解得c=從而所以雙曲線C的標準方程為?y2=1.

妙解由定理可知,點E其實是在雙曲線C的蒙日圓上,其軌跡方程為:x2+y2=所以又雙曲線離心率解得所以雙曲線C的標準方程為

評析“直線和雙曲線相切”這個條件的處理并不像“直線和圓相切”那么方便明了,常規(guī)的辦法只能是通過聯(lián)立方程后令判別式為0,即便是能想到“切線斜率與原點到切點連線斜率的乘積為定值”這一定值結論,較之妙解也免不了相當?shù)倪\算量.

3 蒙日圓與橢圓

例3如圖2,若矩形ABCD的四條邊都與橢圓相切,則矩形ABCD面積的最大值為____.

圖2

通解假設點A(x0,y0),當AB,AD斜率存在且不為0 時,設其斜率分別為k1和k2,設過點A的直線方程y=k(x ?x0)+y0.代入橢圓方程整理得:

整理得: (x02?4)k2?2x0y0k+y02?3=0((x02/=4),可知k1和k2是該方程的兩個根,所以k1k2==?1,整理得:

當題設中的兩條直線斜率不存在或為0 時,點A的坐標滿足方程②.

綜上所述,點A的軌跡方程為:x2+y2=7.同理,B,C,D的軌跡方程也為:x2+y2=7.即A,B,C,D四點在以原點為圓心,為半徑的圓上.所以四邊形ABCD是以原點為圓心,為半徑的圓的內接矩形,只有當ABCD為正方形時面積最大,可得最大值SABCD=14.

妙解由定理可知,四邊形ABCD的頂點是在橢圓的蒙日圓上,其軌跡方程為:x2+y2=7.所以結合基本不等式等知識可知只有當ABCD為正方形時面積最大,最大值SABCD=14.

評析此題的妙解可謂是把蒙日圓解題的優(yōu)勢體現(xiàn)地淋漓盡致! 通法實際上是把“四邊形ABCD的頂點是在橢圓的蒙日圓上”這個結論給證明了一遍,作為一個小題,這樣處理實在是得不償失,但這是在不知道結論的情況下的不得已而為之.其實高考就曾經(jīng)以橢圓的蒙日圓為背景考查過大題,大家不妨參閱2014年高考廣東卷理科第20 題.

結語笛卡爾說過:“我所解決的每一個問題都將成為一個范例,以用于解其他問題”.為了應對高考,每天龐大的題量給學生的心理帶來了很大的負擔和壓力,給學生減負于我們而言責無旁貸.因此,我們只有跳進題海,善于對同一類問題做深入的研究和總結,做到觸類旁通,才能讓學生跳出題海,才能在解題時化難為易,化繁為簡.像利用蒙日圓和阿氏圓等這類隱形圓進行解題教學,不僅可以讓學生在解題中直接獲益,更可以培養(yǎng)其分析和解決問題的能力,從而提升其數(shù)學的解題素養(yǎng).