章堅武，余皓，章謙驊

（1.杭州電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院，浙江 杭州 310018；2.之江實驗室智能網(wǎng)絡(luò)研究中心，浙江 杭州 311121）

1 引言

隨著現(xiàn)代通信技術(shù)的發(fā)展，毫米波通信以及同時同頻全雙工通信是目前5G 研究中的熱點研究領(lǐng)域[1-2]。在這些研究領(lǐng)域中，為更好地進行高指向性波束校準(zhǔn)以及相應(yīng)的信號檢測，需要進行干擾噪聲的自適應(yīng)對消，該類問題是目前的研究難點之一。Widrow 等[3]最早在20 世紀(jì)80 年代提出了最小均方誤差（LMS,least mean square）算法，LMS 算法具有計算簡便、實現(xiàn)難度低、適應(yīng)能力強等特點，在雷達波束成形、干擾噪聲自適應(yīng)對消和新一代移動通信技術(shù)等領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用[4-8]。

傳統(tǒng)LMS 算法的步長為定值（下文稱為定步長LMS 算法），不能同時滿足快速收斂和低穩(wěn)態(tài)誤差的要求。鑒于此，為了改善定步長LMS 算法的性能，研究者開展了大量的研究。文獻[9]提出了基于S 函數(shù)的變步長LMS 算法，該算法利用S 函數(shù)控制步長變化，使步長因子在收斂初期取得一個較大值，在接近或達到收斂時，賦予步長因子一個較小值。相較于定步長LMS 算法，變步長LMS 算法具有更快的收斂速度和更低的穩(wěn)態(tài)誤差。但在趨于收斂時，由于S 函數(shù)的特性，該算法在接近原點時曲線過于陡峭，會導(dǎo)致步長因子取值迅速變化，使算法在穩(wěn)態(tài)時的誤差變大。文獻[10]將S 函數(shù)經(jīng)過平移翻轉(zhuǎn)變換，并引入?yún)?shù)改善了S 函數(shù)的底部變化，獲得了較好的性能，但由于該算法模型過于復(fù)雜，影響了算法的靈活性。文獻[11]則基于具有S函數(shù)曲線特性的Q 函數(shù)，并利用補償項的相對誤差互相關(guān)函數(shù)控制步長的更新，提出了一種新的變步長LMS 算法，由于Q 函數(shù)的特性，該算法同樣面臨著收斂時穩(wěn)態(tài)誤差大的問題。文獻[12]使用了梯度的統(tǒng)計平均控制步長因子，提高了算法的收斂速度并獲得了較好的穩(wěn)態(tài)誤差性能，不足是該算法的抗干擾性能較差，且引入的判斷門限使算法的復(fù)雜度過高。文獻[13]通過引入指數(shù)函數(shù)，提出了基于指數(shù)函數(shù)的變步長算法，但該算法在運行過程中使用了過多的指數(shù)運算，同樣導(dǎo)致算法的復(fù)雜度過高。文獻[14]在文獻[13]的基礎(chǔ)上，將其中的變步長方法用于部分濾波加權(quán)系數(shù)的更新，提高了收斂速度，并降低了復(fù)雜度。然而，在低信噪比環(huán)境下，該算法在接近收斂時的步長較大，導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)性能較差。文獻[15-16]則建立了步長因子與迭代次數(shù)的非線性關(guān)系，可以提高算法的收斂速度，同時改善了抗干擾性能，但它們的跟蹤性能卻明顯不足。

綜上所述，已有的變步長算法不能同時較好地解決噪聲干擾、系統(tǒng)跟蹤性能差、穩(wěn)態(tài)誤差較高等問題。為了解決以上問題，本文提出了基于改進雙曲正切函數(shù)的變步長LMS 算法（IVSSLMS,improved variable step-size LMS），該算法在雙曲正切函數(shù)的基礎(chǔ)上，利用誤差信號的相關(guān)值和步長反饋因子，共同調(diào)節(jié)步長因子的取值，使算法在保證快速收斂的同時，降低穩(wěn)態(tài)誤差，并提高了算法的系統(tǒng)跟蹤性能。與已有變步長算法對比，本文所提算法具有更優(yōu)異的性能。

2 定步長LMS 算法

自適應(yīng)濾波器的原理框架如圖1 所示。輸入信號x(n)經(jīng)過未知系統(tǒng)與外界噪聲v(n)疊加后形成期望信號d(n)，x(n)經(jīng)過自適應(yīng)濾波器后的輸出信號為y(n)。將期望信號d(n)與輸出信號y(n)相減得到誤差信號e(n)。e(n)反饋給自適應(yīng)濾波器來更新自適應(yīng)濾波器的加權(quán)系數(shù)向量，使更新后的輸出信號更加接近于期望信號，從而達到自適應(yīng)濾波的目的。

圖1 自適應(yīng)濾波器原理框架

自適應(yīng)濾波器的輸出信號y(n) 為

其中，X(n)=[x(n),x(n?1),…,x(n?M+1)]T，W(n)=[w(n),w(n?1),…,w(n?M+1)]T均為自適應(yīng)濾波器的加權(quán)系數(shù)向量，M為自適應(yīng)濾波器的階數(shù)。誤差信號e(n)為期望信號與自適應(yīng)濾波器輸出信號之差，其值為

誤差信號的均方誤差（MSE,mean square error）E[e2(n)]為

LMS 算法自適應(yīng)濾波器的加權(quán)系數(shù)更新式為

其中，μ為步長因子，其值為常數(shù)；?(·)為求梯度。

對均方誤差的梯度向量?I進行估計，如式(5)所示。

聯(lián)立式(4)和式(5)可得

定步長的LMS 算法的流程為

由文獻[1]可知，LMS 算法的收斂條件為

其中，λmax為自適應(yīng)濾波器輸入信號自相關(guān)矩陣的最大特征值。

3 改進的變步長LMS 算法

傳統(tǒng)的定步長LMS 算法中步長因子為恒定值，不能同時改善收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差性能，為了解決這種問題，各種變步長算法被提出。覃景繁等[17]給出的步長選取原則為步長因子在算法初期應(yīng)取得一個較大值，使算法能夠快速收斂，當(dāng)算法趨于收斂時，使步長因子取得一個較小值，以減小穩(wěn)態(tài)誤差。

由于步長因子為正值，將式(11)變成偶函數(shù)，即

文獻[18]在雙曲正切函數(shù)的基礎(chǔ)上，利用誤差信號的相關(guān)值e(n)e(n-1)，代替e(n)減小了隨機噪聲的干擾，并通過引入?yún)?shù)改善了步長因子的底部特性，一定程度上解決了定步長LMS 算法的缺陷。但該算法的系統(tǒng)跟蹤能力略顯不足，因此，為了加強步長與輸入信號的關(guān)系，使算法具有良好的跟蹤能力，本文在文獻[18]的基礎(chǔ)上加入一個步長反饋因子J(n)，J(n)的表達式如式(13)所示。

將誤差信號的相關(guān)值e(n)e(n?1)代替e(n)，并把J(n)的二范數(shù)作為自變量代入式(12)中，得到式(14)。

為防止輸入信號功率突然增大導(dǎo)致算法發(fā)散，在加權(quán)系數(shù)向量更新時，加入“歸一化”算法對μ(n)進行限制，即

其中，φ是為了避免分母過小而設(shè)置的常數(shù)，取值為0.01。

至此，IVSSLMS 算法流程可總結(jié)為

由式(18)可知，當(dāng)e(n)→0時，；當(dāng)e(n)→∞時，，即μ(n)的最大值為α。由式(10)可得，IVSSLMS 算法的收斂條件為

4 算法理論分析

4.1 參數(shù)選擇

本節(jié)通過誤差函數(shù)與步長因子的關(guān)系曲線，將IVSSLMS 算法中參數(shù)對步長的影響進行討論分析，關(guān)系曲線如圖2 所示。其中，圖2(a)為β=20、m=600、k=0.6，α分別為0.1、0.2、0.3 時的步長曲線；圖2(b)為α=0.3、m=600、k=0.6，β分別為15、25、50時的步長曲線；圖2(c)為α=0.3、β=20、k=0.6，m分別取60、600、6 000 時的步長曲線；圖2(d)為α=0.3、β=20、m=600，k取0.3、0.6、0.9 時的步長曲線。

從圖2 可以看出，參數(shù)α對步長的取值起到了至關(guān)重要的作用。隨著α的增大，步長的取值也較大，即在滿足式(20)的情況下，較大的α能獲得較大的步長，算法能獲得較高的收斂速度。

參數(shù)β、m、k對步長函數(shù)的形狀影響較大?？梢钥吹?，β越小，m越大，k越小，則在同一誤差值下，步長的取值越小。另外，由圖2(d)可以看出，若k選的過大，誤差信號還未為0 時，步長因子就已經(jīng)為0 或幾乎為0，這將嚴(yán)重減緩算法的收斂速度。因此，在實際的工程運用中，需要對α、β、m、k的取值進行折中考慮。

圖2 各參數(shù)變化時μ(n)與e(n)曲線

4.2 算法抗干擾性分析

式(18)中涉及隨機性的因子只有e(n)e(n-1)||J(n)||2，采用統(tǒng)計平均來分析系統(tǒng)的抗干擾能力。步長反饋因子J(n)=kJ(n?1)+e(n)X(n)，其中，J(0)為零向量，將步長反饋因子進行簡化得到

計算e(n)e(n-1)||J(n)||2的期望為

由式(22)可以得到，當(dāng)i≠j時，由于0＜k＜ 1，n→∞，E{e(n)e(n?1)||J(n)||2}=0，即此時的步長變化對算法沒有干擾。

當(dāng)i=j時，式(22)可以寫成

由式(23)可知，系統(tǒng)的統(tǒng)計平均特性不含噪聲v(n)，系統(tǒng)不受獨立噪聲v(n)的影響。因此IVSSLMS算法利用調(diào)節(jié)步長因子可以提高算法的抗干擾能力。

5 仿真分析研究

5.1 算法參數(shù)對性能的影響分析

本文的所有仿真在MATLAB R2016a 軟件下進行。設(shè)自適應(yīng)濾波器的階數(shù)M=6，假設(shè)未知系統(tǒng)為橫向FIR（finite impulse response）結(jié)構(gòu)，抽頭系數(shù)為[?0.580 6,0.653 7,?0.322 3,0.657 7,?0.058 2,0.289 5]，在迭代次數(shù)N=500 時將系統(tǒng)的抽頭系數(shù)設(shè)置為[?0.580 6,0.485 6,?0.238 7,0.159 6,?0.325 4,0.102 5]。假設(shè)自適應(yīng)濾波器的輸入信號x(n)和干擾噪聲v(n)均為0 均值的高斯白噪聲，x(n)的方差為1，v(n)的方差為0.001，即信噪比為30 dB。系統(tǒng)的取樣點數(shù)為1 000，每條學(xué)習(xí)曲線均為200 次獨立仿真后求其統(tǒng)計平均的結(jié)果。參數(shù)α和β變化時的學(xué)習(xí)曲線如圖3 所示。

圖3(a)是β=3 000、m=10、k=0.9，α分別取0.1、0.5、0.8、1.0、1.5 時的學(xué)習(xí)曲線。分析圖3(a)可知，在α從0.1 增加到1.5 的過程中，算法的收斂速度越來越快，但穩(wěn)態(tài)誤差也相應(yīng)提高。當(dāng)α=0.1 時，算法達到穩(wěn)態(tài)的次數(shù)為200 左右；當(dāng)α=1.5 時，算法達到穩(wěn)態(tài)的次數(shù)為50 左右，但α=1.5 時的穩(wěn)態(tài)誤差較大。經(jīng)過仿真驗證，α為0.8 左右時算法性能較優(yōu)異。在工程應(yīng)用中，α的取值首先需要分析輸入信號的統(tǒng)計特性，其次還要使α值滿足式(20)。

圖3(b)是α=0.8、m=10、k=0.9，β分別取2、25、200、3 500、40 000 時的學(xué)習(xí)曲線。分析圖3(b)可知，隨著β的增大，算法的穩(wěn)態(tài)誤差和收斂效果都逐漸變好。當(dāng)β分別為3 500 和40 000 時，兩者的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差接近。為了降低系統(tǒng)的計算量，提高算法的運行速度，經(jīng)過仿真驗證，β為3 500左右時算法性能較優(yōu)異。

圖3 參數(shù)α 和β 變化時的迭代次數(shù)與均方誤差曲線

參數(shù)m和k變化時的學(xué)習(xí)曲線如圖4 所示。

圖4(a)是α=0.8、β=3 000、k=0.9，m分別取1、15、150、5 000、10 000 時的學(xué)習(xí)曲線，分析圖4(a)可知，m=1 時的學(xué)習(xí)曲線與m=15 時學(xué)習(xí)曲線的收斂速度相近，但m=15 時的穩(wěn)態(tài)誤差較低。經(jīng)過仿真驗證，m為15 左右時算法性能較優(yōu)異。

圖4(b)是α=0.8、β=3 000、m=1 000，k分別取0.6、0.7、0.8、0.9、1.5 時的學(xué)習(xí)曲線，分析圖4(b)可知，參數(shù)k越大，對應(yīng)算法趨于穩(wěn)態(tài)時的誤差越小。但k的值過大會導(dǎo)致算法的收斂速度降低，如k=1.5 所示。經(jīng)過仿真驗證，k為0.9 左右時算法性能較優(yōu)異。

圖4 參數(shù)m 和k 變化時的迭代次數(shù)與均方誤差曲線

5.2 算法穩(wěn)健性分析

本節(jié)將分析IVSSLMS 算法的穩(wěn)健性，仿真設(shè)置的環(huán)境與5.1 節(jié)設(shè)置的環(huán)境相同，算法參數(shù)設(shè)置為α=0.85、β=3 500、k=0.9、m=15。不同信噪比下算法的學(xué)習(xí)曲線如圖5 所示。

圖5 不同信噪比下的學(xué)習(xí)曲線

由圖5 可知，在IVSSLMS 算法達到穩(wěn)態(tài)后，隨著系統(tǒng)參數(shù)的改變，IVSSLMS 算法仍可以快速恢復(fù)到收斂狀態(tài)，這表明IVSSLMS 算法具有較好的跟蹤能力。在低信噪比條件下，IVSSLMS 算法仍可以保持良好的性能，這表明IVSSLMS 算法具有良好的穩(wěn)健性。

6 多種變步長LMS 算法性能對比

本節(jié)將IVSSLMS 算法與文獻[18-21]這幾種變步長算法在信噪比分別為30 dB 和15 dB 時進行仿真，仿真設(shè)置的環(huán)境與5.1 節(jié)設(shè)置的環(huán)境相同。幾種變長算法對比如表1 所示。

系統(tǒng)取樣點為1 000、每條曲線均為200 次獨立仿真后取平均的結(jié)果，仿真結(jié)果如圖6 所示。

由圖 6(a)可知，當(dāng)信噪比為 30 dB 時，IVSSLMS 算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差性能均明顯高于其他4 種變步長LMS 算法，文獻[18]算法在系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)生變化時，收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差性能均受到嚴(yán)重影響，表明該算法的系統(tǒng)跟蹤能力較差。文獻[19]算法的穩(wěn)態(tài)誤差較高。文獻[20]算法的收斂速度快于文獻[21]算法，但穩(wěn)態(tài)誤差高于文獻[21]算法。由圖6(b)可知，當(dāng)信噪比為15 dB 時，文獻[18-20]算法的收斂速度均快于文獻[21]算法，但穩(wěn)態(tài)誤差低于文獻[21]算法。文獻[21]算法的穩(wěn)態(tài)誤差接近于 IVSSLMS 算法，但IVSSLMS 算法的收斂速度比文獻[21]算法快了2 倍以上。通過以上對比分析可知，在高低信噪比背景下，相比于這4 種變步長LMS 算法，IVSSLMS算法的收斂速度優(yōu)勢明顯，穩(wěn)態(tài)誤差也較低，對外界系統(tǒng)的適應(yīng)性也更強。

表1 幾種變步長算法對比

圖6 不同信噪比環(huán)境下各算法的學(xué)習(xí)曲線

7 結(jié)束語

本文分析了多種已有變步長LMS 算法，提出了一種新的變步長算法IVSSLMS。該算法基于改進的雙曲正切函數(shù)，引入步長反饋因子和誤差信號的相關(guān)值控制步長因子的更新，使在收斂初期步長獲得較大值提高算法的收斂速度，在趨于收斂時步長獲得恒定的較小值減小穩(wěn)態(tài)誤差。仿真實驗表明，IVSSLMS 算法在高/低信噪比下的性能相較于其他變步長算法更優(yōu)異。但IVSSLMS 算法引入的參數(shù)較多，與其他變步長算法相比計算量稍大，但以目前的硬件水平是完全可以接受的，因此IVSSLMS 算法具有廣闊的工程應(yīng)用場景和較高的實際應(yīng)用價值。