刁弘揚(yáng)，胡洲勇，禹永植

1.哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001

2.北京遙感設(shè)備研究所，北京 100854

信號的波達(dá)方向(direction of arrival,DOA)估計(jì)在陣列信號處理領(lǐng)域占據(jù)重要地位，廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、醫(yī)學(xué)診療等領(lǐng)域，近年來學(xué)者們進(jìn)行了大量的研究，取得了非常顯著的成果[1?3]。以MUSIC[4]和ESPRIT[5]算法為代表的經(jīng)典子空間分解類算法，實(shí)現(xiàn)簡單且分辨率高，并且在此基礎(chǔ)上發(fā)展出了多種改進(jìn)算法[6?8]，但是這類算法運(yùn)算量大，需要在信噪比高且快拍數(shù)多的情況下才能得到較好的估計(jì)性能。壓縮感知[9?10]理論是一個(gè)新興起的領(lǐng)域，它能夠突破奈奎斯特采樣定理的限制，壓縮感知理論中的很多重構(gòu)算法都被用于DOA 估計(jì)中，其中平滑l0范數(shù)重構(gòu)算法[11?12]、

l1?SVD算法[13?14]和貪婪算法是廣泛應(yīng)用的方法。平滑l0范數(shù)重構(gòu)算法采用最速下降法[15]和梯度投影的原理，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)來近似l0范數(shù)，但是此算法不能保證重構(gòu)的精確度。l1?SVD算法利用l1范數(shù)重構(gòu)算法對信號進(jìn)行重構(gòu)，估計(jì)出信號的DOA，能夠在低快拍下實(shí)現(xiàn)DOA 估計(jì)；但是該算法重構(gòu)過程復(fù)雜，會導(dǎo)致較高的計(jì)算復(fù)雜度，并且在求解過程中，需要人工去設(shè)置所需參數(shù)，參數(shù)選取不好將會對最終的結(jié)果產(chǎn)生較大的影響。常用的貪婪算法有匹配追蹤(matching pursuit,MP)、正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit,OMP)[16]、正則OMP[17]等，該類算法需要找到測量矩陣中能夠提供最大能量的某列原子，然后一直進(jìn)行迭代，直到滿足迭代條件，得到最優(yōu)解。OMP 算法是一種常用的重構(gòu)算法，研究者們提出了多種改進(jìn)算法[18?19]，但是OMP 算法運(yùn)算時(shí)間長，DOA 估計(jì)精度有待進(jìn)一步提高。

針對稀疏陣列中貪婪算法DOA 估計(jì)求解問題，本文引入廣義正交匹配追蹤(generalized orthogonal matching pursuit,GOMP）用于DOA 估計(jì)，仿真表明直接將GOMP 算法用于DOA 估計(jì)較OMP算法性能有所提高；為了進(jìn)一步提高DOA 估計(jì)的精度，引入最優(yōu)化理論中的最速下降法，提出基于最速下降法的改進(jìn)GOMP 算法。

1 基于稀疏表示的DOA 估計(jì)模型

假設(shè)有一個(gè)由M個(gè)陣元組成的均勻線陣，陣元間距為d，有K個(gè)方向分別為θi(i=1,2,···,K)的遠(yuǎn)場窄帶信號xk(t),k∈{1,2,···,K}。通過網(wǎng)格劃分將空間信號稀疏化，整個(gè)空間范圍等角度均勻劃分為N份，則所有可能的方向可以表示為θi(i=1,2,···,N)。將空間信號進(jìn)行稀疏化，只有K個(gè)方向上存在真實(shí)的目標(biāo)信號源，其中，N遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于實(shí)際信號源的數(shù)量K。則空間中所有的方向集合都與一個(gè)導(dǎo)向矢量相對應(yīng)，導(dǎo)向矢量為A=[a(θ1),a(θ2),···,a(θN)]，導(dǎo)向矢量也稱為陣列流型矩陣，則t時(shí)刻陣列接收的信號為

式中：x(t)=[x1(t),x2(t),···,xN(t)]T為空間入射信號矢量，其稀疏度為K(K?N)，x(t)中只有K個(gè)非零元素，其余N?K個(gè)為零元素，非零元素所在的位置即為真實(shí)信號源的目標(biāo)方向；n(t)=[n1(t),n2(t),···,nM(t)]T是均值為0，方差為 σ2的高斯白噪聲；y(t)=[y1(t),y2(t),···yM(t)]T為陣列接收信號矢量。

稀疏表示的DOA 估計(jì)就是在已知陣列接收矢量y以及陣列流型矩陣A的條件下，找出x(t)中所有非零元素所在的位置集合，該位置集合即是θi(i=1,2,···,N)中實(shí)際信號源所在的角度。

2 基于改進(jìn)GOMP 算法的DOA 估計(jì)

2.1 OMP 算法

由式(1)、(2)可知，x在空間上是K階稀疏的，只有K個(gè)非零的元素，而且非零元素對應(yīng)的位置即為θi(i=1,2,···,N)中實(shí)際信號源的角度。

為了找出x中非零元素所在的位置，需要確定陣列流型矩陣A中的有效矢量。OMP 算法通過貪婪搜索的方式來搜索有效列。在每次迭代過程中，找出A中 與陣列接收信號y中剩余部分最相關(guān)的一列，剔除該列對于y的貢獻(xiàn)，標(biāo)記該列并更新殘差。當(dāng)完成K次迭代后，即可找出參與對y的線性組合中列的標(biāo)記集合，最后用該標(biāo)記集合，在集合θi(i=1,2,···,N)中找到信號源所在的真實(shí)角度位置。

2.2 GOMP 算法

基于OMP 算法的DOA 估計(jì)方法，耗時(shí)比較長且估計(jì)的精度不高，為了提高DOA 估計(jì)精度，采用廣義正交匹配追蹤算法來求解DOA 估計(jì)。

OMP 算法和GOMP 算法均是通過貪婪迭代從陣列流型矩陣A中找到能夠提供最大能量的某些列原子，代價(jià)函數(shù)選用y殘差最小。2 種算法的區(qū)別在于進(jìn)行重構(gòu)時(shí)，OMP 算法每次迭代過程中只選擇與y中剩余部分最相關(guān)的一列，而GOMP算法在每次迭代過程中會選擇與y中剩余部分最相關(guān)的K列，然后在所有選出的可能的坐標(biāo)集合中進(jìn)行搜尋，在索引坐標(biāo)集合中加入使估計(jì)能量值最大的坐標(biāo)。相對于OMP 算法，GOMP 算法的搜索選擇方式能夠更好地保證從信號能量相近或者不完全和不精確的陣列接收信號中恢復(fù)信號，能更準(zhǔn)確地找出信號源所在的真實(shí)角度位置。

2.3 最速下降法的相關(guān)理論

最速下降法基于最優(yōu)化理論[20]，從梯度的角度來求解最優(yōu)化問題。函數(shù)f(x)的泰勒展開式為

式中：o(x)是高階無窮小量，其在xk的梯度為gk=?f(xk)。記x?xk=akdk，其中，ak是步長，是一個(gè)大于零的數(shù)值，dk為梯度的方向，則泰勒展開式為f(x)=f(xk)++o(x)。在＜0時(shí)f(x)＜f(xk)，此時(shí)的函數(shù)值是下降的，dk則是下降的方向。

由柯西?施瓦茲不等式可知：

當(dāng)且僅當(dāng)dk=gk時(shí)，等號成立，最大。所以當(dāng)且僅當(dāng)dk=?gk時(shí)，最小，以此為搜索方向，此時(shí)f(x)是下降最快的。

最速下降法在每次迭代時(shí)選擇一個(gè)合適的步長，使得目標(biāo)函數(shù)每次減小的程度最大，即每次得到的值和目標(biāo)函數(shù)值之間的差距最小。用f(x)代表目標(biāo)函數(shù)，迭代步長為

梯度的迭代為

因此計(jì)算步長的公式就是為找到最好的點(diǎn)xk+1，函數(shù)f(x)在這點(diǎn)可以取得最小值，此時(shí)f(xk?agk)的極小值就是此次迭代的步長。

最速下降法的過程可以表示為在每次迭代中，從xk出發(fā)，按照梯度的負(fù)方向去尋找最好的步長值，根據(jù)尋找到的步長值來確定下一次迭代過程的出發(fā)點(diǎn)xk+1。

將函數(shù)的類型擴(kuò)展至二次型，設(shè)函數(shù)為

式中：Q是 對稱正定陣；b∈Rn；x∈Rn；令

迭代表示為

步長為

在gk=0時(shí)迭代過程停止，在不為零時(shí)，設(shè)φk(a)=f(xk?agk)，由局部最小點(diǎn)的一階必要條件得到：

2.4 改進(jìn)GOMP 算法

將最速下降法和GOMP 相結(jié)合得到改進(jìn)GOMP算法，改進(jìn)算法在信號重構(gòu)時(shí)不使用計(jì)算量大的最小二乘法，而是沿著負(fù)梯度方向進(jìn)行搜索而得到最優(yōu)解。

改進(jìn)算法中迭代選擇原子及更新索引集的過程和GOMP 算法相一致，在恢復(fù)信號過程中，GOMP等貪婪算法均使用最小二乘法進(jìn)行重構(gòu)，其矩陣公式為x=(ATA)?1ATy，由于需要進(jìn)行矩陣的求逆運(yùn)算，導(dǎo)致運(yùn)算量很大，會消耗很長的時(shí)間；而最速下降法雖然需要進(jìn)行多次運(yùn)算，但都是基本運(yùn)算，相對而言計(jì)算量較小，所要耗費(fèi)的時(shí)間也會更少。因此改進(jìn)算法使用最速下降法代替最小二乘法來恢復(fù)信號。

用Φ={φk}表示測量矩陣，此測量矩陣即為DOA 估計(jì)模型中的陣列流型矩陣，y表示要恢復(fù)的信號，xi表示第i次循環(huán)得到的近似信號，ri表示殘差，Λi表示索引集合，Ψ 表示選擇原子的列向量集合，先得到矩陣的負(fù)梯度方向?yàn)間i=ΨiTri，然后計(jì)算每次迭代的步長為

式中ci=Ψigi。從而得到恢復(fù)信號：

最后更新殘差：

完成循環(huán)，判斷是否滿足迭代停止條件。

改進(jìn)后的GOMP 算法步驟可總結(jié)如下：

1)初始化殘差r0=y，初始化索引集 Λ為空集，初始化迭代次數(shù)i=1；

2)計(jì)算殘差和測量矩陣 Φ的每一列的內(nèi)積，找出若干個(gè)絕對值最大的元素，并將這些值對應(yīng)的列序號構(gòu)成集合P；

3)更新索引集Λi=Λi?1∪P，更新列向量集合Ψi=Ψi?1∪φP；

5)利用式(4)更新殘差；

6)若滿足迭代停止條件，根據(jù)索引集 Λ在角度θi(i=1,2,···,N)中找到信號源所在的真實(shí)角度位置；若不滿足，則跳轉(zhuǎn)到步驟2)進(jìn)行下一次循環(huán)。

3 仿真結(jié)果分析

本文通過MATLAB 仿真驗(yàn)證所提算法的可行性，并與l1?SVD算法、OMP 算法、GOMP 算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對比驗(yàn)證其性能。在實(shí)驗(yàn)仿真中，采用均勻直線陣列，噪聲為高斯白噪聲，均勻線陣的陣元間距為半波長，按照等角度劃分方式將空間信號等角度劃分為181 份，每份角度為1°。均方根誤差表示為

式中：M表示蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)次數(shù)；K表示信號源的總個(gè)數(shù)；θkm表示第k個(gè)空間信號源的DOA 真實(shí)值；表示第k個(gè)空間信號源的DOA 估計(jì)值。

實(shí)驗(yàn)1殘差二范數(shù)對比實(shí)驗(yàn)。設(shè)2 個(gè)信號源以入射角10°、30°入射到均勻直線陣列上，對結(jié)合最速下降法的改進(jìn)GOMP 算法和原始GOMP算法進(jìn)行性能對比，在單快拍條件下，比較2 種情況下的殘差二范數(shù)，進(jìn)行500 次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果如圖1 所示。

圖1 改進(jìn)GOMP 算法與GOMP 算法殘差比較

通過圖1 可以看出，改進(jìn)GOMP 算法比GOMP算法的殘差值小，隨著信噪比的提升，改進(jìn)算法的殘差值下降更快，可見對GOMP 算法的優(yōu)化是有效的。

實(shí)驗(yàn)2不同信噪比下DOA 估計(jì)的性能對比實(shí)驗(yàn)。設(shè)2 個(gè)信號源以入射角10°、30°入射到均勻直線陣列上，均勻線陣陣元數(shù)為12，快拍數(shù)為8，信噪比以2 dB 為步進(jìn)從?8～8 dB 變化，在相同的實(shí)驗(yàn)條件下進(jìn)行500 次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)。當(dāng)估計(jì)偏差小于或等于1°時(shí)，認(rèn)為估計(jì)成功，在不同信噪比條件下，統(tǒng)計(jì)各個(gè)條件下的成功概率和均方根誤差，仿真結(jié)果如圖2、3 所示。

圖2 不同信噪比下DOA 估計(jì)成功概率

圖3 不同信噪比下DOA 估計(jì)均方根誤差

在不同信噪比條件下，由圖2 可以看出，與其他3 種算法相比，改進(jìn)GOMP 算法具有更高的估計(jì)成功概率，在信噪比為?2 dB 時(shí)估計(jì)成功概率接近100%。由圖3 可以看出，在高信噪比情況下，4 種算法均趨于穩(wěn)定，改進(jìn)GOMP 算法具有更小的均方根誤差，特別是在低信噪比情況下，改進(jìn)GOMP 算法具有明顯的優(yōu)勢。

實(shí)驗(yàn)3不同快拍數(shù)下的DOA 估計(jì)的性能對比實(shí)驗(yàn)。設(shè)2 個(gè)信號源以入射角10°、30°入射到均勻直線陣列上，均勻線陣陣元數(shù)為12，信噪比為?4 dB，在相同的實(shí)驗(yàn)條件下進(jìn)行500 次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)。當(dāng)估計(jì)偏差小于或等于1°時(shí)，認(rèn)為估計(jì)成功，在快拍數(shù)不同的情況下，統(tǒng)計(jì)各個(gè)條件下的成功概率和均方根誤差，仿真結(jié)果如圖4、5 所示。

圖4 不同快拍數(shù)下DOA 估計(jì)成功率

圖5 不同快拍數(shù)下DOA 估計(jì)均方根誤差

在不同快拍數(shù)情況下，由圖4 可以看出，改進(jìn)GOMP 算法具有更高的估計(jì)成功概率，且具有很高的穩(wěn)定性。在快拍數(shù)為12 時(shí)，已經(jīng)達(dá)到以100%的概率估計(jì)出信號的DOA。隨著快拍數(shù)的增加，其他3 種算法的成功率緩慢增加至趨于平穩(wěn)。由圖5 可以看出，4 種算法的均方根誤差均隨著快拍數(shù)的增加逐漸減小，改進(jìn)GOMP 算法一直保持著較小的均方根誤差，特別是在低快拍數(shù)情況下，改進(jìn)GOMP 算法具有明顯的優(yōu)勢。

實(shí)驗(yàn)4不同快拍數(shù)情況下算法運(yùn)行時(shí)間對比實(shí)驗(yàn)。由于l1-SVD 算法運(yùn)行時(shí)間相對于貪婪類算法運(yùn)行時(shí)間長，所以只比較另外3 種算法的運(yùn)行時(shí)間。由圖6 可以看出，隨著快拍數(shù)的增加，3 種算法的運(yùn)行時(shí)間均逐步上升，且改進(jìn)GOMP算法相較于其他2 種算法的運(yùn)行時(shí)間相對較短；在相同的條件下，同其他2 種算法相比，改進(jìn)GOMP 算法具有更短的運(yùn)算時(shí)間。因此從整體上看改進(jìn)GOMP 算法的運(yùn)行時(shí)間相對偏低，相比于其他2 種算法具有運(yùn)行時(shí)間上的優(yōu)勢。

圖6 不同快拍數(shù)下算法運(yùn)行時(shí)間比較

4 結(jié)論

本文提出了一種新的貪婪DOA 估計(jì)方法，該方法可有效提高DOA 估計(jì)的精度。GOMP 是一種改進(jìn)的貪婪恢復(fù)算法，其利用更好的原子選擇方式，提高了貪婪算法的穩(wěn)定性和角度估計(jì)精度。

1)利用GOMP 算法求解DOA 問題，相較于原有貪婪DOA 估計(jì)方法提高了估計(jì)精度和成功率。

2)引入最速下降法對GOMP 算法進(jìn)行優(yōu)化，并通過仿真驗(yàn)證了改進(jìn)方法具有更高的估計(jì)精度和成功率，降低了算法的運(yùn)行時(shí)間，相對于原有貪婪DOA 估計(jì)方法的性能有一定的提升。